算子代数

                     

贡献者： 零穹; Giacomo

1. 算子代数

　　 根据线性映射的数乘，加法运算，及映射复合定义 6 ，可令

也就是说，我们把线性算子之间的复合理解成线性算子空间上的乘法。

　　 由式 1 可直接验证

我们看到，$\mathcal{L}(V)$ 不仅是个矢量空间，同时也是个结合环定义 2 ，最后的关系式建立了纯量和算子之间乘法的补充定律。这样一个满足补充定律 $\lambda (ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b)$ , 又是环又是域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间 $K$，就称为域 $\mathbb{F}$ 上的代数，定义 1 。$K$ 作为矢量空间的维数即称为代数 $K$ 的维数。

2. 单一算子生成的子代数

　　 已经知道，定义在域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间 $K$，如果它同时是一个环，它就是一个代数。如果这个向量空间 $K$ 的子空间 $L$ 对于 $K$ 作为环的乘法封闭，那么 $L$ 就称为代数 $K$ 的子代数。

　　 现在要研究包含算子 $\mathcal{A}$ 的最小子代数（且含环的单位元 $\mathcal{E}$），这个子代数记作 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$（之所以这样记，是因为这个子代数是域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环例 3 ）。

　　 要找包含算子 $\mathcal{A}$ 的最小子代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$，可以这样思考：首先考虑这个子代数是个向量空间并且含有 $\mathcal{E}$，那么由算子 $\mathcal{A}\mathcal{,}\mathcal{E}\mathcal{,}\mathcal{O}$（$\mathcal{O}$ 为零算子例 1 ）进行向量空间的加法和数乘得到的元素形为 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\mathrm{\forall }{a}_0,a_1\in \mathbb{F}$。现在，这个子代数至少包含 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\mathrm{\forall }{a}_0,a_1\in \mathbb{F}$。考虑子代数也是个环，那么由算子 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\mathrm{\forall }{a}_0,a_1\in \mathbb{F}$ 进行环的乘法得到的元素形为 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A},a_2{\mathcal{A}}^2\mathrm{\forall }{a}_0,a_1,a_2\in \mathbb{F}$，所以现在这个子代数至少包含算子 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A},a_2\mathcal{A}\mathrm{\forall }{a}_0,a_1,a_2\in \mathbb{F}$；再考虑它是个向量空间及环，如此重复可得到这个子代数至少包含所有下面形式的元素（注意 ${\mathcal{A}}^0=\mathcal{E}$）

易验证，所有形如式 3 的元素构成一个子代数，这个子代数便是要找的 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$，称为由算子 $\mathcal{A}$ 生成的子代数。

交换性

　　 代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$ 是交换的，因为 ${\mathcal{A}}^k\cdot {\mathcal{A}}^l={\mathcal{A}}^{k+l}={\mathcal{A}}^l\cdot {\mathcal{A}}^k$（利用 $\mathcal{A}$ 本身的交换性和结合性易证该性质），易验证 $f(\mathcal{A})g(\mathcal{A})=g(\mathcal{A})f(\mathcal{A})$。

　　 与线性算子作用在向量上的方式一样，$f(\mathcal{A})$ 通过以下方式作用在 $\mathbf{x}\in V$ 上：

极小多项式

　　 证明： (1)定理前一部分的证明

　　 设

那么 ${\mathcal{A}}^0,\mathcal{A},\cdots {\mathcal{A}}^{m-1}$ 必然线性无关。因为，若 $\sum _{i=0}^{m-1}{\lambda }_i{\mathcal{A}}^i=\mathcal{O}$，就意味着 $\sum _{i=0}^{m-1}{\lambda }_i{\mathcal{A}}^i=\mathcal{O}$ 零化 $\mathcal{A}$，而它的次数小于 $m$，与 ${\mu }_{\mathcal{A}}(t)$ 是极小多项式矛盾。反之，若 ${\mathcal{A}}^0,\mathcal{A},\cdots {\mathcal{A}}^{m-1}$ 线性无关，而 ${\mathcal{A}}^m$ 可由它们线性表示，则极小多项式次数为 $m$，因为 就意味 $t^m-\sum _{i=0}^{m-1}{\lambda }_i{\mathcal{t}}^i$ 是极小多项式。

　　 由于 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]\subset \mathcal{L}(V)$，而 $\dim (V)=n^2$（因为 $\mathcal{L}(V)$ 上的线性算子和 $n$ 阶矩阵相对应，而 $n$ 阶矩阵构成 $n^2$ 维的向量空间，它以第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1，其余为 0 的矩阵 $E_{ij}$ 为基底向量），所以 $m\le n^2$。

　　 由于每一线性算子 $\mathcal{A}$ 都有与之对应的子代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$，其至少是一维的（这一维对应基底 ${\mathcal{E}\mathcal{=}\mathcal{A}}^0$），而上述表明 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$ 的维度 $m$（$1\le m\le n$）一定存在，这对应 $m$ 个线性无关向量 ${\mathcal{A}}^0,\mathcal{A},\cdots {\mathcal{A}}^{m-1}$ ,那么式 6 的 ${\mathcal{A}}^m$ 和它们一起便构成极小多项式 $t^m-\sum _{i=0}^{m-1}{\lambda }_i{\mathcal{t}}^i$。即每一线性算子都有极小多项式，且次数就是代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$ 的维度。

　　 (2)定理后一部分证明

　　 若 ${\mu }_0=0$，那么

即 $\mathcal{A}$ 有零因子定义 1 $\sum _{i=1}^{m-1}{\mu }_i{\mathcal{A}}^i+\mathcal{A}\ne \mathcal{O}$（${\mu }_{\mathcal{A}}(t)$ 的极小性），而环中有零因子的元素无逆元（因为若 $a$ 可逆且 $ab=0,b\ne 0\Rightarrow 0\ne b=a^{-1}0=0$）。反过来，若 ${\mu }_0\ne 0$，那么 显然 $\mathcal{A}$ 可逆。

　　 证毕！

　　 . 证明：由定理 1 ，可设

那么 这与 $\mathrm{deg}r(t)<\mathrm{deg}{\mu }_{\mathcal{A}}(t)$ 矛盾。即 $r(t)=0$。

　　 证毕！