算子代数

                     

贡献者: 零穹; Giacomo

预备知识 线性算子

1. 算子代数

   根据线性映射的数乘,加法运算,及映射复合定义 6 ,可令

\begin{equation} (\mathcal{A}+\mathcal{B}) x=\mathcal{A} x+\mathcal{B} x~,\quad (\lambda\mathcal A) x=\lambda(\mathcal A x)~,\quad (\mathcal{AB}) x=\mathcal{A}(\mathcal{B} x)~. \end{equation}
也就是说,我们把线性算子之间的复合理解成线性算子空间上的乘法。

   由式 1 可直接验证

\begin{equation} \begin{aligned} &\alpha(\mathcal{A+B})=\alpha\mathcal{A}+\alpha\mathcal{B}~,\\ &(\alpha+\beta)\mathcal{A}=\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{A}~,\\ &(\alpha\beta)\mathcal{A}=\alpha(\beta\mathcal{A})~,\\ &1\cdot \mathcal{A}=\mathcal A~,\\ &\mathcal{A}(\mathcal{BC})=(\mathcal{AB})\mathcal C\quad(\text{结合律})~,\\ &\mathcal A(\mathcal{B+C})=\mathcal{AB+AC}~,\quad (\mathcal{A+B})\mathcal C=\mathcal{AC+BC}\quad(\text{分配律})~,\\ &\lambda(\mathcal{AB})=(\lambda\mathcal{A})\mathcal{B}=\mathcal{A}(\lambda \mathcal B)~. \end{aligned} \end{equation}
我们看到,$\mathcal{L}(V)$ 不仅是个矢量空间,同时也是个结合环定义 2 ,最后的关系式建立了纯量和算子之间乘法的补充定律。这样一个满足补充定律 $\lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b)$ , 又是环又是域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间 $K$,就称为域 $\mathbb{F}$ 上的代数定义 1 。$K$ 作为矢量空间的维数即称为代数 $K$ 的维数

2. 单一算子生成的子代数

   已经知道,定义在域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间 $K$,如果它同时是一个环,它就是一个代数。如果这个向量空间 $K$ 的子空间 $L$ 对于 $K$ 作为环的乘法封闭,那么 $L$ 就称为代数 $K$ 的子代数

   现在要研究包含算子 $\mathcal{A}$ 的最小子代数(且含环的单位元 $\mathcal{E}$),这个子代数记作 $\mathbb{F}[\mathcal A]$(之所以这样记,是因为这个子代数是域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环例 3 )。

   要找包含算子 $\mathcal{A}$ 的最小子代数 $\mathbb{F}[\mathcal A]$,可以这样思考:首先考虑这个子代数是个向量空间并且含有 $\mathcal{E}$,那么由算子 $\mathcal{A,E,O}$($\mathcal{O}$ 为零算子例 1 )进行向量空间的加法和数乘得到的元素形为 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\;\forall a_0,a_1\in\mathbb{F}$。现在,这个子代数至少包含 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\;\forall a_0,a_1\in\mathbb{F}$。考虑子代数也是个环,那么由算子 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\;\forall a_0,a_1\in\mathbb{F}$ 进行环的乘法得到的元素形为 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A},a_2\mathcal{A}^2\;\forall a_0,a_1,a_2\in\mathbb{F}$,所以现在这个子代数至少包含算子 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A},a_2\mathcal{A}\;\forall a_0,a_1,a_2\in\mathbb{F}$;再考虑它是个向量空间及环,如此重复可得到这个子代数至少包含所有下面形式的元素(注意 $\mathcal{A}^0=\mathcal{E}$)

\begin{equation} f(\mathcal{A})=\sum_{i=0}^ma_i\mathcal{A^i},\;m\in\mathbb{N}~. \end{equation}
易验证,所有形如式 3 的元素构成一个子代数,这个子代数便是要找的 $\mathbb{F}[\mathcal A]$,称为由算子 $\mathcal{A}$ 生成的子代数

交换性

   代数 $\mathbb{F}[\mathcal A]$ 是交换的,因为 $\mathcal A^{k}\cdot \mathcal{A}^l=\mathcal{A}^{k+l}=\mathcal A^{l}\cdot \mathcal{A}^k$(利用 $\mathcal{A}$ 本身的交换性和结合性易证该性质),易验证 $f(\mathcal{A})g(\mathcal{A})=g(\mathcal{A})f(\mathcal{A})$。

   与线性算子作用在向量上的方式一样,$f(\mathcal{A})$ 通过以下方式作用在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V$ 上:

\begin{equation} f(\mathcal{A}) \boldsymbol{\mathbf{x}} =a_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} +\sum_{i=1}^m a_i\mathcal{A}^i \boldsymbol{\mathbf{x}} ~. \end{equation}

极小多项式

定义 1 极小多项式

   称多项式 $f(t)$ 零化 算子 $\mathcal{A}$,如果 $f(\mathcal{A})=\mathcal O$。次数(定义 1 )最低且首项系数为 1 的多项式称为算子 $\mathcal{A}$ 的极小多项式

定理 1 

   所有线性算子 $\mathcal{A}$ 都有极小多项式 $\mu_\mathcal{A}(t)$,其次数与代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$ 的维数一致。算子 $\mathcal{A}$ 可逆,当且仅当 $\mu_\mathcal{A}(t)$ 的常数项不为 0.

   证明: (1)定理前一部分的证明

   设

\begin{equation} \mu_\mathcal{A}(t)=\sum_{i=0}^{m-1}\mu_i\mathcal t^i+t^m~, \end{equation}
那么 $\mathcal{A}^0,\mathcal{A},\cdots \mathcal{A}^{m-1}$ 必然线性无关。因为,若 $\sum\limits_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal{A}^i=\mathcal{O}$,就意味着 $\sum\limits_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal{A}^i=\mathcal{O}$ 零化 $\mathcal A$,而它的次数小于 $m$,与 $\mu_\mathcal{A}(t)$ 是极小多项式矛盾。反之,若 $\mathcal{A}^0,\mathcal{A},\cdots \mathcal{A}^{m-1}$ 线性无关,而 $\mathcal{A}^m$ 可由它们线性表示,则极小多项式次数为 $m$,因为
\begin{equation} \mathcal A^m=\sum_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal A^i~, \end{equation}
就意味 $t^m-\sum\limits_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal t^i$ 是极小多项式。

   由于 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]\subset\mathcal{L}(V)$,而 $\mathrm{dim}(V)=n^2$(因为 $\mathcal{L}(V)$ 上的线性算子和 $n$ 阶矩阵相对应,而 $n$ 阶矩阵构成 $n^2$ 维的向量空间,它以第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1,其余为 0 的矩阵 $E_{ij}$ 为基底向量),所以 $m\leq n^2$。

   由于每一线性算子 $\mathcal A$ 都有与之对应的子代数 $\mathbb{F}[\mathcal A]$,其至少是一维的(这一维对应基底 $\mathcal{E=A}^0$),而上述表明 $\mathbb{F}[\mathcal A]$ 的维度 $m$($1\leq m\leq n$)一定存在,这对应 $m$ 个线性无关向量 $\mathcal{A}^0,\mathcal{A},\cdots \mathcal{A}^{m-1}$ ,那么式 6 的 $\mathcal A^m$ 和它们一起便构成极小多项式 $t^m-\sum\limits_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal t^i$。即每一线性算子都有极小多项式,且次数就是代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$ 的维度。

   (2)定理后一部分证明

   若 $\mu_0= 0$,那么

\begin{equation} \mathcal O=\mu_\mathcal{A}(\mathcal A)=\mathcal A(\sum_{i=1}^{m-1}\mu_i\mathcal A^i+\mathcal{A})~. \end{equation}
即 $\mathcal{A}$ 有零因子定义 1 $\sum\limits_{i=1}^{m-1}\mu_i\mathcal A^i+\mathcal{A}\neq \mathcal O$($\mu_\mathcal{A}(t)$ 的极小性),而环中有零因子的元素无逆元(因为若 $a$ 可逆且 $ab=0,b\neq 0\Rightarrow 0\neq b=a^{-1}0=0$)。反过来,若 $\mu_0\neq0$,那么
\begin{equation} -\mathcal{A} \left(\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\mu_i}{\mu_0}\mathcal A^{i-1}+\frac{1}{\mu_0}\mathcal A^{m-1} \right) =\mathcal{E}~, \end{equation}
显然 $\mathcal{A}$ 可逆。

   证毕!

定理 2 

   若 $f(t)$ 零化算子 $\mathcal A$,则 $\mu_{A}(t)|f(t)$定义 1

   . 证明:定理 1 ,可设

\begin{equation} f(t)=q(t)\mu_\mathcal{A}(t)+r(t),\quad\mathrm{deg}\;r(t)<\mathrm{deg}\;\mu_{\mathcal{A}}(t)~, \end{equation}
那么
\begin{equation} \mathcal O=f(\mathcal A)=q(\mathcal A)\mathcal O+r(\mathcal A)=r(\mathcal A)~, \end{equation}
这与 $\mathrm{deg}\;r(t)<\mathrm{deg}\;\mu_{\mathcal A}(t)$ 矛盾。即 $r(t)=0$。

   证毕!


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利