算子代数

                     

贡献者: 零穹; Giacomo

预备知识 线性算子

1. 算子代数

   根据线性映射的数乘,加法运算,及映射复合定义 6 ,可令

(1)(A+B)x=Ax+Bx ,(λA)x=λ(Ax) ,(AB)x=A(Bx) .
也就是说,我们把线性算子之间的复合理解成线性算子空间上的乘法。

   由式 1 可直接验证

(2)α(A+B)=αA+αB ,(α+β)A=αA+βA ,(αβ)A=α(βA) ,1A=A ,A(BC)=(AB)C(结合律) ,A(B+C)=AB+AC ,(A+B)C=AC+BC(分配律) ,λ(AB)=(λA)B=A(λB) .
我们看到,L(V) 不仅是个矢量空间,同时也是个结合环定义 2 ,最后的关系式建立了纯量和算子之间乘法的补充定律。这样一个满足补充定律 λ(ab)=(λa)b=a(λb) , 又是环又是域 F 上的向量空间 K,就称为域 F 上的代数定义 1 K 作为矢量空间的维数即称为代数 K维数

2. 单一算子生成的子代数

   已经知道,定义在域 F 上的向量空间 K,如果它同时是一个环,它就是一个代数。如果这个向量空间 K 的子空间 L 对于 K 作为环的乘法封闭,那么 L 就称为代数 K子代数

   现在要研究包含算子 A 的最小子代数(且含环的单位元 E),这个子代数记作 F[A](之所以这样记,是因为这个子代数是域 F 上的多项式环例 3 )。

   要找包含算子 A 的最小子代数 F[A],可以这样思考:首先考虑这个子代数是个向量空间并且含有 E,那么由算子 A,E,OO 为零算子例 1 )进行向量空间的加法和数乘得到的元素形为 a0E,a1Aa0,a1F。现在,这个子代数至少包含 a0E,a1Aa0,a1F。考虑子代数也是个环,那么由算子 a0E,a1Aa0,a1F 进行环的乘法得到的元素形为 a0E,a1A,a2A2a0,a1,a2F,所以现在这个子代数至少包含算子 a0E,a1A,a2Aa0,a1,a2F;再考虑它是个向量空间及环,如此重复可得到这个子代数至少包含所有下面形式的元素(注意 A0=E

(3)f(A)=i=0maiAi,mN .
易验证,所有形如式 3 的元素构成一个子代数,这个子代数便是要找的 F[A],称为由算子 A 生成的子代数

交换性

   代数 F[A] 是交换的,因为 AkAl=Ak+l=AlAk(利用 A 本身的交换性和结合性易证该性质),易验证 f(A)g(A)=g(A)f(A)

   与线性算子作用在向量上的方式一样,f(A) 通过以下方式作用在 xV 上:

(4)f(A)x=a0x+i=1maiAix .

极小多项式

定义 1 极小多项式

   称多项式 f(t) 零化 算子 A,如果 f(A)=O。次数(定义 1 )最低且首项系数为 1 的多项式称为算子 A极小多项式

定理 1 

   所有线性算子 A 都有极小多项式 μA(t),其次数与代数 F[A] 的维数一致。算子 A 可逆,当且仅当 μA(t) 的常数项不为 0.

   证明: (1)定理前一部分的证明

   设

(5)μA(t)=i=0m1μiti+tm ,
那么 A0,A,Am1 必然线性无关。因为,若 i=0m1λiAi=O,就意味着 i=0m1λiAi=O 零化 A,而它的次数小于 m,与 μA(t) 是极小多项式矛盾。反之,若 A0,A,Am1 线性无关,而 Am 可由它们线性表示,则极小多项式次数为 m,因为
(6)Am=i=0m1λiAi ,
就意味 tmi=0m1λiti 是极小多项式。

   由于 F[A]L(V),而 dim(V)=n2(因为 L(V) 上的线性算子和 n 阶矩阵相对应,而 n 阶矩阵构成 n2 维的向量空间,它以第 i 行第 j 列元素为 1,其余为 0 的矩阵 Eij 为基底向量),所以 mn2

   由于每一线性算子 A 都有与之对应的子代数 F[A],其至少是一维的(这一维对应基底 E=A0),而上述表明 F[A] 的维度 m1mn)一定存在,这对应 m 个线性无关向量 A0,A,Am1 ,那么式 6 Am 和它们一起便构成极小多项式 tmi=0m1λiti。即每一线性算子都有极小多项式,且次数就是代数 F[A] 的维度。

   (2)定理后一部分证明

   若 μ0=0,那么

(7)O=μA(A)=A(i=1m1μiAi+A) .
A 有零因子定义 1 i=1m1μiAi+AOμA(t) 的极小性),而环中有零因子的元素无逆元(因为若 a 可逆且 ab=0,b00b=a10=0)。反过来,若 μ00,那么
(8)A(i=1m1μiμ0Ai1+1μ0Am1)=E ,
显然 A 可逆。

   证毕!

定理 2 

   若 f(t) 零化算子 A,则 μA(t)|f(t)定义 1

   . 证明:定理 1 ,可设

(9)f(t)=q(t)μA(t)+r(t),degr(t)<degμA(t) ,
那么
(10)O=f(A)=q(A)O+r(A)=r(A) ,
这与 degr(t)<degμA(t) 矛盾。即 r(t)=0

   证毕!


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