贡献者： 零穹
已经知道，定义在域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间 $K$，如果它同时是一个环，它就是一个代数子节 2 。如果这个向量空间 $K$ 的子空间 $L$ 对于 $K$ 作为环的乘法封闭，那么 $L$ 就称为代数 $K$ 的子代数。
现在要研究包含算子 $\mathcal{A}$ 的最小子代数（且含环的单位元 $\mathcal{E}$），这个子代数记作 $\mathbb{F}[\mathcal A]$（之所以这样记，是因为这个子代数是域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环例 3 ）。
要找包含算子 $\mathcal{A}$ 的最小子代数 $\mathbb{F}[\mathcal A]$，可以这样思考：首先考虑这个子代数是个向量空间并且含有 $\mathcal{E}$，那么由算子 $\mathcal{A,E,O}$（$\mathcal{O}$ 为零算子例 1 ）进行向量空间的加法和数乘得到的元素形为 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\;\forall a_0,a_1\in\mathbb{F}$。现在，这个子代数至少包含 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\;\forall a_0,a_1\in\mathbb{F}$。考虑子代数也是个环，那么由算子 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A}\;\forall a_0,a_1\in\mathbb{F}$ 进行环的乘法得到的元素形为 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A},a_2\mathcal{A}^2\;\forall a_0,a_1,a_2\in\mathbb{F}$，所以现在这个子代数至少包含算子 $a_0\mathcal{E},a_1\mathcal{A},a_2\mathcal{A}\;\forall a_0,a_1,a_2\in\mathbb{F}$；再考虑它是个向量空间及环，如此重复可得到这个子代数至少包含所有下面形式的元素（注意 $\mathcal{A}^0=\mathcal{E}$）
\begin{equation}
f(\mathcal{A})=\sum_{i=0}^ma_i\mathcal{A^i},\;m\in\mathbb{N}~.
\end{equation}
易验证，所有形如
式 1 的元素构成一个子代数，这个子代数便是要找的 $\mathbb{F}[\mathcal A]$，称为由
算子 $\mathcal{A}$ 生成的子代数。
1. 代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$ 的交换性
代数 $\mathbb{F}[\mathcal A]$ 是交换的，因为 $\mathcal A^{k}\cdot \mathcal{A}^l=\mathcal{A}^{k+l}=\mathcal A^{l}\cdot \mathcal{A}^k$（利用 $\mathcal{A}$ 本身的交换性和结合性易证该性质），易验证 $f(\mathcal{A})g(\mathcal{A})=g(\mathcal{A})f(\mathcal{A})$。
与线性算子作用在向量上的方式一样，$f(\mathcal{A})$ 通过以下方式作用在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V$ 上：
\begin{equation}
f(\mathcal{A}) \boldsymbol{\mathbf{x}} =a_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} +\sum_{i=1}^m a_i\mathcal{A}^i \boldsymbol{\mathbf{x}} ~.
\end{equation}
2. 极小多项式
定义 1 极小多项式
称多项式 $f(t)$ 零化 算子 $\mathcal{A}$，如果 $f(\mathcal{A})=\mathcal O$。次数（定义 1 ）最低且首项系数为 1 的多项式称为算子 $\mathcal{A}$ 的极小多项式。
定理 1
所有线性算子 $\mathcal{A}$ 都有极小多项式 $\mu_\mathcal{A}(t)$，其次数与代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$ 的维数（子节 2 ）一致。算子 $\mathcal{A}$ 可逆，当且仅当 $\mu_\mathcal{A}(t)$ 的常数项不为 0.
证明：
(1)定理前一部分的证明
设
\begin{equation}
\mu_\mathcal{A}(t)=\sum_{i=0}^{m-1}\mu_i\mathcal t^i+t^m~,
\end{equation}
那么 $\mathcal{A}^0,\mathcal{A},\cdots \mathcal{A}^{m-1}$ 必然线性无关。因为，若 $\sum\limits_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal{A}^i=\mathcal{O}$，就意味着 $\sum\limits_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal{A}^i=\mathcal{O}$ 零化 $\mathcal A$，而它的次数小于 $m$，与 $\mu_\mathcal{A}(t)$ 是极小多项式矛盾。反之，若 $\mathcal{A}^0,\mathcal{A},\cdots \mathcal{A}^{m-1}$ 线性无关，而 $\mathcal{A}^m$ 可由它们线性表示，则极小多项式次数为 $m$，因为
\begin{equation}
\mathcal A^m=\sum_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal A^i~,
\end{equation}
就意味 $t^m-\sum\limits_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal t^i$ 是极小多项式。
由于 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]\subset\mathcal{L}(V)$，而 $\mathrm{dim}(V)=n^2$（因为 $\mathcal{L}(V)$ 上的线性算子和 $n$ 阶矩阵相对应，而 $n$ 阶矩阵构成 $n^2$ 维的向量空间，它以第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1，其余为 0 的矩阵 $E_{ij}$ 为基底向量），所以 $m\leq n^2$。
由于每一线性算子 $\mathcal A$ 都有与之对应的子代数 $\mathbb{F}[\mathcal A]$，其至少是一维的（这一维对应基底 $\mathcal{E=A}^0$），而上述表明 $\mathbb{F}[\mathcal A]$ 的维度 $m$（$1\leq m\leq n$）一定存在，这对应 $m$ 个线性无关向量 $\mathcal{A}^0,\mathcal{A},\cdots \mathcal{A}^{m-1}$ ,那么式 4 的 $\mathcal A^m$ 和它们一起便构成极小多项式 $t^m-\sum\limits_{i=0}^{m-1}\lambda_i\mathcal t^i$。即每一线性算子都有极小多项式，且次数就是代数 $\mathbb{F}[\mathcal{A}]$ 的维度。
(2)定理后一部分证明
若 $\mu_0= 0$，那么
\begin{equation}
\mathcal O=\mu_\mathcal{A}(\mathcal A)=\mathcal A(\sum_{i=1}^{m-1}\mu_i\mathcal A^i+\mathcal{A})~.
\end{equation}
即 $\mathcal{A}$ 有零因子
定义 1 $\sum\limits_{i=1}^{m-1}\mu_i\mathcal A^i+\mathcal{A}\neq \mathcal O$（$\mu_\mathcal{A}(t)$ 的极小性），而环中有零因子的元素无逆元（因为若 $a$ 可逆且 $ab=0,b\neq 0\Rightarrow 0\neq b=a^{-1}0=0$）。反过来，若 $\mu_0\neq0$，那么
\begin{equation}
-\mathcal{A} \left(\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\mu_i}{\mu_0}\mathcal A^{i-1}+\frac{1}{\mu_0}\mathcal A^{m-1} \right) =\mathcal{E}~,
\end{equation}
显然 $\mathcal{A}$ 可逆。
证毕！
定理 2
若 $f(t)$ 零化算子 $\mathcal A$，则 $\mu_{A}(t)|f(t)$定义 1 。
.
证明：由定理 1 ，可设
\begin{equation}
f(t)=q(t)\mu_\mathcal{A}(t)+r(t),\quad\mathrm{deg}\;r(t)<\mathrm{deg}\;\mu_{\mathcal{A}}(t)~,
\end{equation}
那么
\begin{equation}
\mathcal O=f(\mathcal A)=q(\mathcal A)\mathcal O+r(\mathcal A)=r(\mathcal A)~,
\end{equation}
这与 $\mathrm{deg}\;r(t)<\mathrm{deg}\;\mu_{\mathcal A}(t)$ 矛盾。即 $r(t)=0$。
证毕！
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