线性算子代数

                     

贡献者: 零穹

1. 线性算子

预备知识 多重线性映射,矩阵与线性映射

   域 $\mathbb{F}$ 上所有从 $n$ 维矢量空间 $V$ 到 $m$ 维矢量空间 $W$ 的线性映射 $f:V\rightarrow W$ 的集合用符号 $\mathcal{L}(V,W)$ (或者 $\mathrm{Hom}(V,W)$) 表示,它仍是一个矢量空间,其上的一个线性映射和一个 $m\times n$ 的矩阵一一对应.在 $V=W$ 的情形,矢量空间 $\mathcal{L}(V,W)$ 简记为 $\mathcal{L}(V)$(或 $\mathrm{End}(V)$),它的向量通常称为线性算子

   符号约定:在线性代数部分,线性算子将用拉丁字母 $\mathcal{A,B,C,\cdots}$ 表示,而在矢量空间 $V$ 的基底 $( e_i)$ 之下对应的矩阵用粗体正体字母 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} ,\cdots$ 表示,另一基底 $( e_i')$ 之下对应矩阵则表示为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ', \boldsymbol{\mathbf{B}} ', \boldsymbol{\mathbf{C}} ',\cdots$.总是用 $\mathcal{E}=\mathrm{Id}$ 和 $E=(\delta_{ij})$ 表示恒等(单位)映射 $ x\mapsto x$.算子 $\mathcal{A}$ 作用在 $ x$ 上的结果简写成 $\mathcal{A} x$ (代替 $\mathcal{A}( x)$ ).

   线性算子 $\mathcal{B}$ 称为 $\mathcal{A}$ 的逆算子,如果 $\mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal{E}$.算子 $\mathcal{A}$ 的逆算子通常记为 $\mathcal{A}^{-1}$.由推论 1 ,$\mathcal{A}^{-1}$ 存在等价于 $\mathrm{Ker}\mathcal{A}=0$ 或者 $\mathrm{dim}\;V=\mathrm{dim\;Im}\mathcal{A}$.$\mathrm{dim\;Ker}\mathcal{A}$ 称为 $\mathcal{A}$ 的亏数

例 1 零算子

   零算子 $\mathcal{O}$ 把每个向量 $ v\in V$ 都变成零:$\mathrm{rank}\; \mathcal{O}=0$

例 2 相似算子

   $\mathcal{A} x=\lambda x$,其中 $\lambda\in\mathbb{F}$.

例 3 投影算子

   设 $V=U\oplus W$,则 $ x= x_U+ x_W$ 且 $\mathcal{P} x= x_U$,那么称 $\mathcal{P}$ 为投影算子或在子空间 $U$ 平行于 $W$ 的投影.显然 $\mathcal{P}^2=\mathcal{P}$

2. 算子代数

   根据线性映射的数乘,加法运算,及映射复合定义 6 ,可令

\begin{equation} (\mathcal{A}+\mathcal{B}) x=\mathcal{A} x+\mathcal{B} x,\quad (\lambda\mathcal A) x=\lambda(\mathcal A x),\quad (\mathcal{AB}) x=\mathcal{A}(\mathcal{B} x) \end{equation}
也就是说,复合 $\mathcal{A\circ B}$ 可直接表达为 $\mathcal{AB}$.

   由式 1 可直接验证

\begin{equation} \begin{aligned} &\alpha(\mathcal{A+B})=\alpha\mathcal{A}+\alpha\mathcal{B}\\ &(\alpha+\beta)\mathcal{A}=\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{A}\\ &(\alpha\beta)\mathcal{A}=\alpha(\beta\mathcal{A})\\ &1\cdot \mathcal{A}=\mathcal A\\ &\mathcal{A}(\mathcal{BC})=(\mathcal{AB})\mathcal C\quad(\text{结合律})\\ &\mathcal A(\mathcal{B+C})=\mathcal{AB+AC},\quad (\mathcal{A+B})\mathcal C=\mathcal{AC+BC}\quad(\text{分配律})\\ &\lambda(\mathcal{AB})=(\lambda\mathcal{A})\mathcal{B}=\mathcal{A}(\lambda \mathcal B) \end{aligned} \end{equation}
我们看到,$\mathcal{L}(V)$ 不仅是个矢量空间,同时也是个结合环定义 2 ,最后的关系式建立了纯量和算子之间乘法的补充定律.这样一个满足补充定律 $\lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b)$ , 又是环又是域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间 $K$,就称为域 $\mathbb{F}$ 上的代数定义 1 .$K$ 作为矢量空间的维数即称为代数 $K$ 的维数

定理 1 

   如果

\begin{equation} \mathcal{A}: e_k\mapsto \mathcal{A} e_k=\sum_i^{n}a_{ik} e_i,\quad \mathcal{B}: e_j\mapsto \mathcal{B} e_j=\sum_{k=1}^n b_{kj} e_k \end{equation}
是线性空间 $V$ 在基底 $( e_i)$ 之下以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} =(a_{ij}), \boldsymbol{\mathbf{B}} =(b_{kj})$ 为矩阵的线性算子,那么,算子 $\mathcal{AB}$ 在同一基底下的矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{AB}} $

   证明:

\begin{equation} \begin{aligned} \sum_i c_{ij} e_i&=(\mathcal{AB}) e_j=\mathcal{A}(\mathcal{B} e_j)=\mathcal{A} \left(\sum_k b_{kj} e_k \right) =\sum_k b_{kj}\mathcal{A} e_k\\ &=\sum_k b_{kj}\sum_i a_{ik} e_i=\sum_{i,k}a_{ik}b_{kj} e_i= \boldsymbol{\mathbf{AB}} e_i \end{aligned} \end{equation}
证毕

3. 不同基底下线性算子对应的矩阵

定理 2 

   若线性算子 $\mathcal A$ 在基底 $( e_1\cdots e_n)$ 下对应矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,则在另一基底 $( e'_1\cdots e'_n)$ 之下对应的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} '$ 为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} '= \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{AB}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 为基底 $( e_i)$ 向基底 $( e_j')$ 的过渡矩阵.

   证明: 由定理条件,若设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} =(a_{ij}), \boldsymbol{\mathbf{A}} '=(a_{kj}'), \boldsymbol{\mathbf{B}} =(b_{ij})$,则

\begin{equation} \begin{aligned} &\mathcal{A} e_i=\sum_{k} a_{ki} e_k \\ &\mathcal{A} e_j'=\sum_{k} a'_{kj} e'_k\\ & e_j'=\sum_i b_{ij} e_i \end{aligned} \end{equation}
引入算子 $\mathcal{B}$,它在基底 $( e_1\cdots e_n)$ 下对应的矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $,那么
\begin{equation} \mathcal{B} e_j=\sum_i b_{ij} e_i= e_j' \end{equation}

   由于线性算子与矩阵之间在固定基底之下一一对应,所以可定义一算子 $\mathcal{A'}$,它在基底 $( e_1\cdots e_n)$ 之下对应的矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} '$,即

\begin{equation} \mathcal A' e_j=\sum_i a'_{ij} e_i \end{equation}
于是
\begin{equation} \mathcal{AB} e_j=\mathcal{A} e'_j=\sum_i a'_{ij} e'_i=\sum_i a'_{ij}\mathcal{B} e_i=\mathcal{B} \left(\sum_i a'_{ij} e_i \right) =\mathcal{BA'} e_j \end{equation}
于是
\begin{equation} \mathcal{A'}=\mathcal{B}^{-1}\mathcal{AB} \end{equation}
定理 1 ,上式对应的矩阵的形式就为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} '= \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{AB}} \end{equation}
证毕

定义 1 相似矩阵

   称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} '$ 相似于矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,如果存在非退化矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $,使得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} '= \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{AB}} \end{equation}
并记作 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} '\sim \boldsymbol{\mathbf{A}} $.

   容易验证,矩阵的相似关系是一种等价关系子节 3 .

   定理 2 表明,每一个线性算子都对应一个相似矩阵类(所以相似的矩阵构成的集合),而其中每一矩阵都相当于同一线性算子在不同基底下的矩阵.

4. 线性算子的行列式与迹

   设 $\mathcal{A}$ 对应矩阵为 $A$,则定理 2

\begin{equation} \begin{aligned} &\mathrm{det}( \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{AB}} )=\mathrm{det}( \boldsymbol{\mathbf{A}} )\\ &\mathrm{tr}\;( \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{AB}} )=\mathrm{tr}\;( \boldsymbol{\mathbf{ABB}} ^{-1})=\mathrm{tr}\;( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \end{aligned} \end{equation}

定义 2 

   称 $ \mathrm{det}\;\mathcal{A}=\mathrm{det}\;A $ 为线性算子 $\mathcal{A}$ 的行列式

   称 $ \mathrm{tr}\;\mathcal{A}=\mathrm{tr}\;A $ 为线性算子 $\mathcal{A}$ 的

   式 13 表明,线性算子 $\mathcal{A}$ 的行列式和迹是 $\mathcal{A}$ 的不变量,即这个定义是适当的.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利