一元多项式

             

贡献者: 零穹; addis

  1数论里有加减乘除,带余除法,(公)因子,(公)倍数,素数,辗转相除法等概念,这些都可以推广到一元多项式里面.一元多项式和 $\lambda$ -矩阵密切相关,$\lambda$ -矩阵又是所谓的 Jordan 标准形的基本概念,而 Jordan 标准形是方阵分解的特例,也为理解方阵分解提供了一个很好的样本.为掌握更高阶的知识,我们得一点点的夯实基础,而这个过程本身就是一个很具有意义的过程.当然,上面提到的概念不要求你提前掌握,若需掌握我会在文中给出链接.所以,不要害怕,我们慢慢来!

   讨论多项式时,我们会预先给定一个数域 $\mathbb{F}$,所谓数域,简单来说是关于加减乘除都封闭的数集(运算关于集合封闭是指该集合中元素的运算结果还是该集合的元素)

定义 1 一元多项式

   设 $n$ 是一个非负整数,$x$ 是一个符号,$a_0,a_1,\cdots,a_n\in \mathbb{F}$,则表达式

\begin{equation} f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i \end{equation}
称为数域 $\mathbb{F}$ 上的一元多项式,简称数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式.其中,$a_ix^i(0\leq i\leq n)$ 称为这个多项式的$i$ 次项,$a_i$ 称为 $i$ 次项系数.特别,$a_0$ 称为多项式的常数项.若 $a_n\neq 0$($n$ 为最大整数),则 $n$ 称为多项式 $f(x)$ 的次数,记为 $\mathrm{deg}\;f(x)$,并把 $a_nx^n$ 称为 $f(x)$ 的首项,$a_n$ 称为首项系数.所有各次项系数为 0 的多项式称为零次多项式,零多项式不定义次数或次数看作 $-\infty$.

   两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 称为相等的,若它们的所有同次项的的系数都相等,并记为 $f(x)=g(x)$.

1. 多项式的运算

   设数域上的两个多项式

\begin{equation} \begin{aligned} f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\\ g(x)=\sum_{i=0}^{m}a_ix^i \end{aligned} \end{equation}

   不失一般性,设 $n\geq m$ 下面定义它们的加法和乘法.

定义 2 加法

   多项式的(或)为

\begin{equation} f(x)\pm g(x)=\sum_{i=0}^n (a_i\pm b_i)x^i \end{equation}
其中,约定了 $b_n=b_{n-1}=\cdots=b_{m+1}=0$.特别 $f(x)+0=f(x)$.

   显然,两个多项式的和或差仍是多项式.式 3 表明两个多项式的和的次数最多和原来次数最大的多项式一样,而系数之和可能为 0,所以和的次数满足不等式

\begin{equation} \mathrm{deg}\;(f(x)\pm g(x))\leq \max\{\mathrm{deg}\;f(x),\mathrm{deg}\;g(x)\} \end{equation}

定义 3 乘法

   多项式的乘积

\begin{equation} f(x)\cdot g(x)=\sum_{s=0}^{m+n} c_s x^s \end{equation}
其中,
\begin{equation} c_s=\sum_{i=0}^s a_i b_{s-i} \end{equation}
乘积中的 “$\cdot$” 可省略.特别的,$f(x)\cdot 0=0$.

   显然,两个多项式的乘积仍是多项式.式 5 表明两个多项式的乘积的次数最多为原来两多项式次数的相加,而该次数最高项系数为 $c_{m+n}=a_n b_m$,不可能为 0,所以乘积的次数满足等式

\begin{equation} \mathrm{deg}\;(f(x)g(x))= \mathrm{deg}\;f(x)+\mathrm{deg}\;g(x) \end{equation}

   容易验证,多项式运算满足如下规律.

  1. 加法交换律 $f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$;
  2. 加法结合律 $ \left(f(x)+g(x) \right) +h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))$;
  3. 乘法交换律 $f(x)g(x)=g(x)f(x)$;
  4. 乘法结合律 $(f(x))g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x))$;
  5. 乘法对加法的分配律 $f(x) \left(g(x)+h(x) \right) =f(x)g(x)+f(x)h(x)$;
  6. 乘法消去律 若 $f(x)g(x)=f(x)h(x)$,且 $f(x)\neq0$,则 $g(x)=h(x)$.

   我们将系数在数域 $\mathbb{F}$ 中的一元多项式的全体,称为数域 $\mathbb{F}$ 上的一元多项式环,记为 $\mathbb{F}[x]$,$\mathbb{F}$ 称为 $\mathbb{F}[x]$ 的系数域.

   一个集合中元素的加法和乘法运算若满足上面 6 条规律且加上运算的封闭性(配上加法和乘法的单位元 e,所谓集合的某个运算的单位元e 是指,集合中任意元素 x 与该元素(单位元)进行运算还是等于这个任意元素 x)就成这个集合为一个.如果你对环有更多的兴趣,请点击

   小结:本节介绍了一元多项式,并定义了一元多项式的加法和乘法,然后得到了相应的运算律.可能你会觉得 “加法” 和 “乘法” 不是很明显吗?为什么称之为 “定义”?其实,这里之所以称 “加法” 和 “乘法” 为定义,是因为记号 $x$,它并不代表一个数,所以和数何来的乘法?数只有和数有乘法,因为数域已经定义好了,而数和一个符号 $x$ 是没有定义的,所以这里的 “加法” 和 “乘法” 是为数和符号 $x$ 定义一种作用(称之为 “加法” 和 “乘法”).只有当你让 $x\in \mathbb{F}$ 的时候,由于数域已经定义了加法和乘法,这里才不是定义.当然,这只是符号 $x$ 的一种特殊情形.当然,文中已经潜在定义了 $x\cdot x=x^2$, 以此同理.


1. ^ 吴群.矩阵分析[M].上海:同济大学出版社


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