整环

                     

贡献者: JierPeter; addis

  • 不应需要环同态作为预备
预备知识 环同态

   我们常见的整数环属于一类性质极为良好的环,我们称这个分类为 “无零因子交换幺环”,或者 “整环”。注意区分 “整数环” 和 “整环” 这两个相似的术语,前者特指整数构成的环,后者则指一类环。

定义 1 零因子

   在环 $R$ 中,如果有两个非零的元素 $a, b$ 使得 $ab=0$,那么我们称 $a$ 是一个左零因子,而 $b$ 是一个右零因子。如果某元素即使左零因子又是右零因子,那么我们称它是一个零因子(zero divisor)

   简单来说,零因子就是 “相乘得到零的非零元素”,其名称的含义就是 “零的因子”。整数环里不存在零因子,但是这个概念也不难理解:考虑环 $\mathbb{Z}_{12}$,在这个环里,$3\not=0$,$4\not=0$,但是 $3\times 4=12=0$。

定义 2 整环

   对于环 $R$,如果它的乘法交换并且没有零因子,那么我们称这个环是一个整环(domain)

   整环的概念可以记为 “无零因子交换幺环”,用以指代它的三个关键特点:“无零因子”、“交换” 和 “有乘法单位元”。最后一个特点在本章的语境下显得冗余,因为我们限定环都是含有乘法单位元的;强调幺环只是为了避免使用其它术语体系时可能的混淆。

例 1 整环的例子

  • 整数环
  • 多项式环
  • 高斯整数环 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$

1. 常用概念

   接下来是一系列非常有用的概念,也是后续的进阶文章的基础。

定义 3 因子和整除性

   在整环 $R$ 中,如果对于 $a, b\in R$,存在 $r\in R$ 使得 $b=ar$,那么我们称 $a$ 整除 $b$,记为 $a|b$,同时称 $a$ 是 $b$ 的一个因子(factor)除数(divisor)

定义 4 单位

   对于整环 $R$,如果 $u\in R$ 有乘法逆元$u^{-1}\in R$,那么称 $u$ 是 $R$ 的一个单位(unit)

定义 5 真因子

   在整环 $R$ 中,如果对于 $a, b\in R$,存在 $r\in R$ 使得 $b=ar$,并且 $r$ 不是一个单位,那么称 $a$ 是 $b$ 的一个真因子(proper factor)

   真因子的特点是单向性,如果 $a$ 是 $b$ 的一个真因子,那么绝不可能出现 $b|a$,因为真因子的定义中要求 $b=ar$ 中的 $r$ 是乘法不可逆的。从因子分解的角度,我们可以定义如下等价关系:如果两个元素 $a, b\in R$ 之间只差一个单位因子,即存在单位 $u$ 使得 $a=bu$,那么我们可以把 $a$ 和 $b$ 等价起来。检查一下,如此定义的关系满足等价关系的三个公理,因此是一个等价关系。作为一个例子,整数环中的单位只有两个,$1$ 和 $-1$,因此这个等价关系应用到整数环中就是把所有 $n$ 和其对应的 $-n$ 等价起来。在讨论因子分解时,我们常常使用这个等价划分。

   接下来介绍的两个概念,素元素和不可约元素,都是整数中素数概念的推广,只不过选用了素数的不同特点。

定义 6 素元素

   对于整环中的元素 $p\in R$,如果它满足 “如果任何 $a, b\in R$ 使得 $p|ab$,则必有 $p|a$ 或者 $p|a$”,则称它为 $R$ 的一个素元素(prime element)

定义 7 不可约元素

   对于整环中不是幺元的元素 $p\in R$,如果它在 $R$ 中没有真因子,那么称它为一个不可约元素(irreducible element)

   对于一般的整环,素元素必然是不可约元素:

定理 1 素元素必是不可约元素

   给定整环 $R$ 和其素元素 $p$,则 $p$ 必然是不可约元素。

   证明

   反设 $p$ 可约,则存在 $p$ 的两个真因子 $a, b$ 使得 $p=ab$,从而 $p|ab$。由素元素的定义必须有 $p|a$ 或 $p|b$,而这和 “真因子” 的单向性矛盾。故设定不成立,即 $p$ 不可约。

   证毕


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利