整环

             

预备知识 环同态

   我们常见的整数环属于一类性质极为良好的环,我们称这个分类为 “无零因子交换幺环”,或者 “整环”.注意区分 “整数环” 和 “整环” 这两个相似的术语,前者特指整数构成的环,后者则指一类环.

定义 1 零因子

   在环 $R$ 中,如果有两个非零的元素 $a, b$ 使得 $ab=0$,那么我们称 $a$ 是一个左零因子,而 $b$ 是一个右零因子.如果某元素即使左零因子又是右零因子,那么我们称它是一个零因子(zero divisor)

   简单来说,零因子就是 “相乘得到零的非零元素”,其名称的含义就是 “零的因子”.整数环里不存在零因子,但是这个概念也不难理解:考虑环 $\mathbb{Z}_{12}$,在这个环里,$3\not=0$,$4\not=0$,但是 $3\times 4=12=0$.

定义 2 整环

   对于环 $R$,如果它的乘法交换并且没有零因子,那么我们称这个环是一个整环(domain)

   整环的概念可以记为 “无零因子交换幺环”,用以指代它的三个关键特点:“无零因子”、“交换” 和 “有乘法单位元”.最后一个特点在本书的语境下显得冗余,因为我们限定环都是含有乘法单位元的;强调幺环只是为了避免使用其它术语体系时可能的混淆.

例 1 整环的例子

  • 整数环
  • 多项式环
  • 高斯整数环 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$

1. 常用概念

   接下来是一系列非常有用的概念,也是后续的进阶词条的基础.

定义 3 因子和整除性

   在整环 $R$ 中,如果对于 $a, b\in R$,存在 $r\in R$ 使得 $b=ar$,那么我们称 $a$ 整除 $b$,记为 $a|b$,同时称 $a$ 是 $b$ 的一个因子(factor)除数(divisor)

定义 4 单位

   对于整环 $R$,如果 $u\in R$ 有乘法逆元$u^{-1}\in R$,那么称 $u$ 是 $R$ 的一个单位(unit)

定义 5 真因子

   在整环 $R$ 中,如果对于 $a, b\in R$,存在 $r\in R$ 使得 $b=ar$,并且 $r$ 不是一个单位,那么称 $a$ 是 $b$ 的一个真因子(proper factor)

   真因子的特点是单向性,如果 $a$ 是 $b$ 的一个真因子,那么绝不可能出现 $b|a$,因为真因子的定义中要求 $b=ar$ 中的 $r$ 是乘法不可逆的.从因子分解的角度,我们可以定义如下等价关系:如果两个元素 $a, b\in R$ 之间只差一个单位因子,即存在单位 $u$ 使得 $a=bu$,那么我们可以把 $a$ 和 $b$ 等价起来.检查一下,如此定义的关系满足等价关系的三个公理,因此是一个等价关系.作为一个例子,整数环中的单位只有两个,$1$ 和 $-1$,因此这个等价关系应用到整数环中就是把所有 $n$ 和其对应的 $-n$ 等价起来.在讨论因子分解时,我们常常使用这个等价划分.

   接下来介绍的两个概念,素元素和不可约元素,都是整数中素数概念的推广,只不过选用了素数的不同特点.

定义 6 素元素

   对于整环中的元素 $p\in R$,如果它满足 “如果任何 $a, b\in R$ 使得 $p|ab$,则必有 $p|a$ 或者 $p|a$”,则称它为 $R$ 的一个素元素(prime element)

定义 7 不可约元素

   对于整环中不是幺元的元素 $p\in R$,如果它在 $R$ 中没有真因子,那么称它为一个不可约元素(irreducible element)

   对于一般的整环,素元素必然是不可约元素:

定理 1 素元素必是不可约元素

   给定整环 $R$ 和其素元素 $p$,则 $p$ 必然是不可约元素.

   证明

   反设 $p$ 可约,则存在 $p$ 的两个真因子 $a, b$ 使得 $p=ab$,从而 $p|ab$.由素元素的定义必须有 $p|a$ 或 $p|b$,而这和 “真因子” 的单向性矛盾.故设定不成立,即 $p$ 不可约.

   证毕

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