不变子空间

                     

贡献者: 零穹

预备知识 线性算子代数

定义 1 不变子空间

   子空间 $U\in V$ 相对于线性算子 $\mathcal{A}:V\rightarrow V$ 是不变的,如果 $\mathcal{A}U\subset U$.

例 1 

   算子 $\mathcal{A}$ 的 $\mathrm{Ker}\;\mathcal A$ 和 $\mathrm{Im}\;\mathcal{A}$

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{Ker}\;\mathcal{A}&=\{ v\in V|\mathcal{A} v= 0\}\\ \mathrm{Im}\;\mathcal{A}&=\{ w\in V| w=\mathcal{A} v,\forall v\in V\} \end{aligned} \end{equation}
都是 $\mathcal A$ 的不变子空间.

定理 1 

   $n$ 维矢量空间 $V$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的 $m$ 维不变子空间 $U$ 和 $(n-m)$ 维不变子空间 $W$ 的直和,当且仅当算子 $\mathcal{A}$ 的矩阵 $A$ 在某基底下具有分块对角形式

\begin{equation} A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix} \end{equation}
其中,$A_U,A_W$ 分别是 $m$ 阶方阵和 $(n-m)$ 阶方阵.即
\begin{equation} V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W\Leftrightarrow A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix} \end{equation}

   证明:1.$ V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W\Rightarrow A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix} $

   设 $U$ 的基底为 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_m)$,$W$ 的基底为 $(\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n)$,则由定理 1 ,$(\hat e_{1},\cdots,\hat e_n)$ 是 $V$ 的基底.

   由于 $\mathcal{A}u\in U, \mathcal{A} w\in W,\forall u\in U, w\in W$,则

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{A}\hat e_j&=\sum_{i=1}^m a_{ij}\hat e_i,\quad j=1,\cdots ,m\\ \mathcal{A}\hat e_j&=\sum_{i=m+1}^n a_{ij}\hat e_i,\quad j=m+1,\cdots ,n \end{aligned} \end{equation}
由线性算子与矩阵的对应关系式 3 ,知算子 $\mathcal{A}$ 的对应矩阵 $A$ 即为
\begin{equation} A=(a_{ij})=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix} \end{equation}

   2.$ A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix}\Rightarrow V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W $

   任选 $V$ 的基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_n)$, 由算子和矩阵对应关系式 3 ,即得 $A$ 对应的算子 $\mathcal{A}$ 具有关系式式 4 .而这意味着由基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_m)$ 和 $(\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n)$ 张成的空间 $U=\langle\hat e_1,\cdots,\hat e_m\rangle$ 和 $W=\langle\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n\rangle$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间,而由基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_n)$ 的线性无关性可知,$V=U\oplus W$.

   证毕!

   式 2 中,可以把 $A_U,A_W$ 看成是算子 $\mathcal{A}$ 分别限制在 $U$ 和 $W$ 上的算子 $\mathcal{A}_U$ 和 $\mathcal{A}_W$ 对应的矩阵.

定义 2 算子的直和

   若矢量空间 $V$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间 $U,W$ 的直和 $V=U\oplus W$,则称算子 $\mathcal{A}$ 是其限制在 $U,W$ 上的算子 $\mathcal{A}_U,\mathcal{A}_W$ 的直和,并记作

\begin{equation} \mathcal{A}=\mathcal{A}_U\dot{+}\mathcal{A}_W \end{equation}
此时称算子 $\mathcal{A}$ 对应的矩阵 $A$ 是 $\mathcal{A}_U,\mathcal{A}_W$ 对应矩阵 $A_U$ 和 $A_W$ 的直和,并记作
\begin{equation} A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix}=A_U\dot{+}A_W \end{equation}


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