不变子空间

                     

贡献者: 零穹; Giacomo

  

未完成:这个前置要求有点过多了,应该只需要线性算子的定义就够了

预备知识 线性算子代数

   注:如无特殊声明,以下向量空间都是域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。

定义 1 不变子空间

   相对于向量空间 $V$ 上的线性算子 $\mathcal{A}: V \rightarrow V$,子空间 $U \subseteq V$ 被称为不变的,如果 $\mathcal{A} U \subset U$。此时 $\mathcal{A}|_U: U \to U$ 是一个 $U$ 上的线性算子。

例 1 

   算子 $\mathcal{A}$ 的 $\mathrm{Ker}\;\mathcal A$ 和 $\mathrm{Im}\;\mathcal{A}$

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{Ker}\;\mathcal{A}&=\{ v\in V|\mathcal{A} v= 0\}\\ \mathrm{Im}\;\mathcal{A}&=\{ w\in V| w=\mathcal{A} v,\forall v\in V\} \end{aligned} \end{equation}
都是 $\mathcal A$ 的不变子空间。

定理 1 

   有限维度矢量空间 $V$ 的子空间 $U$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间,当且仅当存在基底 $\mathcal{B}$,$\mathcal{B}_U: = \mathcal{B} \cap U$ 是 $U$ 的基底,使得算子 $\mathcal{A}$ 的矩阵 $A$ 在基底 $\mathcal{B}$ 下可以写成上三角分块矩阵

\begin{equation} A = \begin{pmatrix} A_U & B\\ 0 & C \end{pmatrix} \end{equation}
其中,$A_U$ 是 $\mathcal{A}|_{U}: U \to U$ 的在 $\mathcal{B}_U$ 下的矩阵形式。

定理 2 

   有限维度矢量空间 $V$ 的子空间 $U$ 是可逆算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间,那么 $\mathcal{A} U = U$。

习题 1 

   证明它。提示:可以先找一组基。

例 2 

   上述定理在无限维度时不成立:对于空间 $$ V: = \{ (\dots, a_{-1}, a_0, a_1, \dots) \mid a_i \in \mathbb{F}\} $$ 即向双向无限延伸的序列的;$\mathbb{A}$ 是右移算符(它的逆运算是左移动算符,因此是可逆的),那么我们可以取 $$ U: = \{ (\dots, 0, a_0, a_1, \dots) \in V \} $$ 即 $a_i = 0, \forall i < 0$,可以发现 $$ \mathcal{A} U = \{ (\dots, 0, a_0, a_1, \dots) \in U \mid a_0 = 0 \} $$ 是 $U$ 的真子集。

  

未完成:应用到群表示论

定理 3 

   $n$ 维矢量空间 $V$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的 $m$ 维不变子空间 $U$ 和 $(n-m)$ 维不变子空间 $W$ 的直和,当且仅当算子 $\mathcal{A}$ 的矩阵 $A$ 在某基底下具有分块对角形式

\begin{equation} A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix} \end{equation}
其中,$A_U,A_W$ 分别是算子 $\mathcal{A}$ 分别限制在 $U$ 和 $W$ 上的算子 $\mathcal{A}|_U$ 和 $\mathcal{A}|_W$ 在该基底下对应的矩阵,而且 $A_U,A_W$ 分别是 $m$ 阶方阵和 $(n-m)$ 阶方阵。即
\begin{equation} V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W\Leftrightarrow A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix} \end{equation}

  

未完成:这个定理不是很清晰

   证明:1.$ V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W\Rightarrow A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix} $

   设 $U$ 的基底为 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_m)$,$W$ 的基底为 $(\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n)$,则由定理 1 ,$(\hat e_{1},\cdots,\hat e_n)$ 是 $V$ 的基底。

   由于 $\mathcal{A}u\in U, \mathcal{A} w\in W,\forall u\in U, w\in W$,则

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{A}\hat e_j&=\sum_{i=1}^m a_{ij}\hat e_i,\quad j=1,\cdots ,m\\ \mathcal{A}\hat e_j&=\sum_{i=m+1}^n a_{ij}\hat e_i,\quad j=m+1,\cdots ,n \end{aligned} \end{equation}
由线性算子与矩阵的对应关系式 3 ,知算子 $\mathcal{A}$ 的对应矩阵 $A$ 即为
\begin{equation} A=(a_{ij})=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix} \end{equation}

   2.$ A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix}\Rightarrow V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W $

   任选 $V$ 的基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_n)$, 由算子和矩阵对应关系式 3 ,即得 $A$ 对应的算子 $\mathcal{A}$ 具有关系式式 5 。而这意味着由基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_m)$ 和 $(\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n)$ 张成的空间 $U=\langle\hat e_1,\cdots,\hat e_m\rangle$ 和 $W=\langle\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n\rangle$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间,而由基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_n)$ 的线性无关性可知,$V=U\oplus W$。

   证毕!

定义 2 算子的直和

   若矢量空间 $V$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间 $U,W$ 的直和 $V=U\oplus W$,则称算子 $\mathcal{A}$ 是其限制在 $U,W$ 上的算子 $\mathcal{A}_U,\mathcal{A}_W$ 的直和,并记作

\begin{equation} \mathcal{A}=\mathcal{A}_U\dot{+}\mathcal{A}_W \end{equation}
此时称算子 $\mathcal{A}$ 对应的矩阵 $A$ 是 $\mathcal{A}_U,\mathcal{A}_W$ 对应矩阵 $A_U$ 和 $A_W$ 的直和,并记作
\begin{equation} A=\begin{pmatrix} A_U&0\\ 0&A_W \end{pmatrix}=A_U\dot{+}A_W \end{equation}


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