不变子空间

贡献者：零穹; Giacomo

预备知识　线性算子

　　注：如无特殊声明，以下向量空间都是域 $F$ 上的向量空间。

定义 1　不变子空间

　　相对于向量空间 $V$ 上的线性算子 $A : V \to V$ ，子空间 $U \subseteq V$ 被称为不变的，如果 $A U \subset U$ 。此时 $A |_{U} : U \to U$ 是一个 $U$ 上的线性算子。

例 1　

　　算子 $A$ 的核 $Ker A$ 和像 $Im A$

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Ker A & = {v \in V | A v = 0} \\ Im A & = {w \in V | w = A v, \forall v \in V}, \end{aligned} \end{matrix}

都是

A

的不变子空间。

定理 1　

　　有限维度向量空间 $V$ 的子空间 $U$ 是算子 $A$ 的不变子空间，当且仅当存在基底 $B$ ， $B_{U} := B \cap U$ 是 $U$ 的基底，使得算子 $A$ 的矩阵 $A$ 在基底 $B$ 下可以写成上三角分块矩阵

\begin{matrix} (2) & A = (\begin{matrix} A_{U} & B \\ 0 & C \end{matrix}) . \end{matrix}

其中，

A_{U}

是

A |_{U} : U \to U

的在

B_{U}

下的矩阵形式。

定理 2　

　　对于有限维度向量空间 $V$ ，如果子空间 $U$ 是可逆算子 $A$ 的不变子空间，那么 $A U = U$ 。

习题 1　

　　证明它。提示：可以先找一组基。

例 2　

　　上述定理在无限维度时不成立：对于空间 $V := {(\dots, a_{- 1}, a_{0}, a_{1}, \dots) ∣ a_{i} \in F},$ 即向双向无限延伸的序列的； $A$ 是右移算符（它的逆运算是左移动算符，因此是可逆的），那么我们可以取 $U := {(\dots, 0, a_{0}, a_{1}, \dots) \in V},$ 即 $a_{i} = 0, \forall i < 0$ ，可以发现 $A U = {(\dots, 0, a_{0}, a_{1}, \dots) \in U ∣ a_{0} = 0}$ 是 $U$ 的真子集。

定理 3　

　　向量空间 $V$ 可以写成算子 $A$ 的两个不变子空间的直和，当且仅当存在基底 $(e_{1}, \dots, e_{n})$ 使得算子 $A$ 可以表示成分块对角矩阵

\begin{matrix} (3) & A = (\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　 证明：1. ( $\Rightarrow$ )，记两个不变子空间为 $U$ 和 $V$ ，取 $U$ 的基底 ${e_{1}, \dots, e_{m}}$ ， $W$ 的基底 ${e_{m + 1}, \dots, e_{n}}$ ，则由定理 1 ， ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 是 $V$ 的基底。

　　由于 $A u \in U, A w \in W, \forall u \in U, w \in W$ ，则

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} A e_{j} & = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} e_{i} (j = 1, \dots, m), \\ A e_{j} & = \sum_{i = m + 1}^{n} a_{i j} e_{i} (j = m + 1, \dots, n) . \end{aligned} \end{matrix}

记

A |_{U}

的矩阵为

A_{1}

，

A |_{W}

的矩阵为

A_{2}

，我们得到

\begin{matrix} (5) & A = (a_{i j}) = (\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　 2. ( $\Leftarrow$ )，记 $m := \dim (A_{1})$ ， $U := ⟨ e_{1}, \dots, e_{m} ⟩$ ， $W := ⟨ e_{m + 1}, \dots, e_{n} ⟩$ ，可得 $U, W$ 是 $A$ 的不变子空间， $V = U \oplus W$ 。

　　 证毕！

定义 2　算子的直和

　　若向量空间 $V$ 是算子 $A$ 的不变子空间 $U, W$ 的直和 $V = U \oplus W$ ，则称算子 $A$ 是其限制在 $U, W$ 上的算子 $A_{U}, A_{W}$ 的直和，并记作

\begin{matrix} (6) & A = A_{U} \oplus A_{W} . \end{matrix}

（有时亦记做

\dot{+}

）。

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不变子空间

定义 1 不变子空间

例 1

定理 1

定理 2

习题 1

例 2

定理 3

定义 2 算子的直和

定义 1　不变子空间

例 1　

定理 1　

定理 2　

习题 1　

例 2　

定理 3　

定义 2　算子的直和