不变子空间

                     

贡献者: 零穹; Giacomo

预备知识 线性算子

   注:如无特殊声明,以下向量空间都是域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。

定义 1 不变子空间

   相对于向量空间 $V$ 上的线性算子 $\mathcal{A}: V \rightarrow V$,子空间 $U \subseteq V$ 被称为不变的,如果 $\mathcal{A} U \subset U$。此时 $\mathcal{A}|_U: U \to U$ 是一个 $U$ 上的线性算子。

例 1 

   算子 $\mathcal{A}$ 的 $\mathrm{Ker}\;\mathcal A$ 和 $\mathrm{Im}\;\mathcal{A}$

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{Ker}\;\mathcal{A}&=\{ v\in V|\mathcal{A} v= 0\}\\ \mathrm{Im}\;\mathcal{A}&=\{ w\in V| w=\mathcal{A} v,\forall v\in V\}~, \end{aligned} \end{equation}
都是 $\mathcal A$ 的不变子空间。

定理 1 

   有限维度向量空间 $V$ 的子空间 $U$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间,当且仅当存在基底 $\mathcal{B}$,$\mathcal{B}_U: = \mathcal{B} \cap U$ 是 $U$ 的基底,使得算子 $\mathcal{A}$ 的矩阵 $A$ 在基底 $\mathcal{B}$ 下可以写成上三角分块矩阵

\begin{equation} A = \begin{pmatrix} A_U & B\\ 0 & C \end{pmatrix}~. \end{equation}
其中,$A_U$ 是 $\mathcal{A}|_{U}: U \to U$ 的在 $\mathcal{B}_U$ 下的矩阵形式。

定理 2 

   对于有限维度向量空间 $V$,如果子空间 $U$ 是可逆算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间,那么 $\mathcal{A} U = U$。

习题 1 

   证明它。提示:可以先找一组基。

例 2 

   上述定理在无限维度时不成立:对于空间 $$ V: = \{ (\dots, a_{-1}, a_0, a_1, \dots) \mid a_i \in \mathbb{F}\}~, $$ 即向双向无限延伸的序列的;$\mathbb{A}$ 是右移算符(它的逆运算是左移动算符,因此是可逆的),那么我们可以取 $$ U: = \{ (\dots, 0, a_0, a_1, \dots) \in V \}~, $$ 即 $a_i = 0, \forall i < 0$,可以发现 $$ \mathcal{A} U = \{ (\dots, 0, a_0, a_1, \dots) \in U \mid a_0 = 0 \}~ $$ 是 $U$ 的真子集。

定理 3 

   向量空间 $V$ 可以写成算子 $\mathcal{A}$ 的两个不变子空间的直和,当且仅当存在基底 $(e_1, \dots, e_n)$ 使得算子 $\mathcal{A}$ 可以表示成分块对角矩阵

\begin{equation} A=\begin{pmatrix} A_1 & 0\\ 0 & A_2 \end{pmatrix}~. \end{equation}

   证明:1. ($\Rightarrow$),记两个不变子空间为 $U$ 和 $V$,取 $U$ 的基底 $\{e_1 ,\cdots, e_m\}$,$W$ 的基底 $\{e_{m+1}, \cdots, e_n\}$,则由定理 1 ,$\{e_{1}, \cdots, e_n\}$ 是 $V$ 的基底。

   由于 $\mathcal{A}u\in U, \mathcal{A} w\in W,\forall u\in U, w\in W$,则

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{A} e_j&=\sum_{i=1}^m a_{ij} e_i\quad (j=1,\cdots ,m)~,\\ \mathcal{A} e_j&=\sum_{i=m+1}^n a_{ij} e_i\quad (j=m+1,\cdots ,n)~. \end{aligned} \end{equation}
记 $\mathcal{A}|_U$ 的矩阵为 $A_1$,$\mathcal{A}|_W$ 的矩阵为 $A_2$,我们得到
\begin{equation} A=(a_{ij})=\begin{pmatrix} A_1 & 0\\ 0 & A_2 \end{pmatrix}~. \end{equation}

   2. ($\Leftarrow$),记 $m: = \dim(A_1)$,$U: = \langle e_1, \cdots, e_m\rangle$,$W: = \langle e_{m + 1}, \cdots, e_n\rangle$,可得 $U, W$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间,$V = U \oplus W$。

   证毕!

定义 2 算子的直和

   若向量空间 $V$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间 $U,W$ 的直和 $V=U\oplus W$,则称算子 $\mathcal{A}$ 是其限制在 $U,W$ 上的算子 $\mathcal{A}_U,\mathcal{A}_W$ 的直和,并记作

\begin{equation} \mathcal{A}=\mathcal{A}_U \oplus \mathcal{A}_W~. \end{equation}
(有时亦记做 $\dot{+}$)。


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