预备知识 群

1. 环的定义

   群是代数学中研究的最简单的结构,只由一个集合配上一个运算构成,这个运算只有 $4$ 条公理进行限制.

   通常,在群之后会介绍的一个更复杂一些的概念,是.一个环就是由一个集合配上两个运算构成的集合,通常把这两个运算叫做加法和乘法;环上的加法和乘法分别构成群,不过乘法群不包括加法的单位元,而加法群是阿贝尔群.

   为了简洁地定义环,先定义两个群论中并没有涉及到的概念.

定义 1 半群和幺半群

   给定集合 $G$ 及其上的一个运算,运算符号忽略.如果运算满足:

  • 封闭性
  • 结合性

   那么称 $G$ 配合该运算构成一个半群(semi-group). 如果半群中含单位元,则构成一个幺半群(monoid).这里的 “幺” 是 “一” 的意思.

   由此可见,群就是每个元素都有对应可逆元的幺半群.有了幺半群的概念,就可以很方便地定义环了.

定义 2 环

   一个环(ring)是一个集合 $R$ 与两种运算 “加” 和 “乘”,分别记为 $+$ 和 $\cdot$.其中加法配合 $R$ 中所有元素构成一个阿贝尔群,加法群的单位元通常称为零元,记为 $0$;乘法配合 $R^*$ 中所有元素构成一个半群,其中 $R^*=R-\{0\}$.除了加法和乘法分别构成两个群之外,还要求加法和乘法满足分配律

  • $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
  • $(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$

   如果乘法还含有单位元,则称其为幺元,记为 $1$.

   通常,为了方便表示,我们也会省略环中乘法的符号,将 $a\cdot b$ 写为 $ab$.

   由定义,环的加法必须是可交换的,但乘法却不一定.如果 $R$ 的乘法也交换的话,我们就称 $R$ 为一个交换环(commutative ring)

例 1 整数环

   整数集合配上通常的加法和减法,构成一个交换环,记为 $\mathbb{Z}$.

例 2 数域

   有理数集合配上通常的加法和减法,构成一个交换环,记为 $\mathbb{Q}$.类似地,实数构成交换环 $\mathbb{R}$,复数构成交换环 $\mathbb{C}$.这三个环都是数域的例子,数域是指包含整数的域,而域是之后基于环而讨论的概念.

例 3 多项式环

   设有交换环 $R$,$x$ 是一个自变量,那么集合 $\{\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i|n\in\mathbb{Z}^+, a_i\in R\}$ 可以看成是 $x$ 的多项式构成的集合,其系数取遍 $R$.这些多项式之间的加法和乘法由 $R$ 的加法和乘法诱导(定义),并且构成了一个交换环,称为 $R$ 的多项式环.

   记 $R$ 上的多项式环为 $R[x]$.

   环的定义在一个细节上有争议,那就是乘法需不需要有幺元.有些书中的定义不要求有幺元,也就是说乘法只构成半群即可,这就使得对于任意正整数 $n$,$n$ 的全体倍数构成的集合 $n\mathbb{Z}$ 也是一个环;在这种定义里,会把含幺元的环称作含幺环或者幺环.由于不含幺元的结构一般不研究,所以主流数学界干脆将环定义为有幺元的.本书为了方便表述,认为环都不一定由幺元,将幺环和环区分开,请读者注意.

2. 子环

定义 3 子环

   给定一个环 $R$,如果 $S$ 是 $R$ 的子集,并且在继承 $R$ 的两个运算后也构成环,那么称 $S$ 是 $R$ 的子环(subring)

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