本征矢量与本征多项式

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 不变子空间

   在矩阵的本征方程一节中,从矩阵的角度介绍了矩阵的本征矢量与本征多项式的概念,本节将从线性算子的角度介绍这一概念.

   在矩阵理论中,我们知道相似矩阵的本征向量与本征多项式都相同,但相似矩阵之间在形式上是不同的.然而在线代算子代数的语言下,所有相似的矩阵都对应一个线性算子,而相似矩阵中的每一矩阵只不过是同一线性算子在某一基底下的表现形式子节 3 .也就是说,在线性算子的语言下,相似的矩阵都是同一个东西,那么它们在本质上就该是相同的,这也是对 “本征矢量” 和 “本征多项式” 中 “本征” 一词的理解.

1. 本征矢量与本征子空间

定义 1 本征矢量

   算子 $\mathcal{A}$ 的一维不变子空间中的非零矢量都被称为 $\mathcal{A}$ 的本征矢量

   显然,如果 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是本征矢量,就有

\begin{equation} \mathcal{A} \boldsymbol{\mathbf{x}} =\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} ,\quad \lambda\in\mathbb{F} \end{equation}
称 $\lambda$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的一个对应本征矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的本征值

   设

\begin{equation} V^{\lambda}=\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V|\mathcal{A} \boldsymbol{\mathbf{v}} =\lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} \} \end{equation}
显然,$V^{\lambda}$ 是矢量空间 $V$ 的一个子空间.事实上,$ \boldsymbol{\mathbf{0}} \in V^{\lambda}$ 且
\begin{equation} \mathcal{A} \boldsymbol{\mathbf{x}} =\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} ,\;\mathcal{A} \boldsymbol{\mathbf{y}} =\lambda \boldsymbol{\mathbf{y}} \Rightarrow\mathcal{A}(\alpha \boldsymbol{\mathbf{x}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{y}} )=\lambda(\alpha \boldsymbol{\mathbf{x}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{y}} ) \end{equation}

定义 2 本征子空间

   称 $V^{\lambda}$ 为算子 $\mathcal{A}$ 的与 $\lambda$ 相伴随的本征子空间.它的维数 $\mathrm{dim}\;V^{\lambda}$ 称为本征值 $\lambda$ 的几何重数

2. 本征多项式

   式 1 可写成

\begin{equation} (\mathcal{A-\lambda E}) \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ,\quad \boldsymbol{\mathbf{x}} \neq \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
也就是式 1
\begin{equation} \mathrm{Ker(\mathcal{A}-\lambda\mathcal{E})}\neq \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
即 $\mathcal{A-\lambda E}$ 是退化的子节 4
\begin{equation} \mathrm{det}(\mathcal{A-\lambda E})=0 \end{equation}
若在某基底下 $\mathcal{A}$ 对应矩阵为 $A$,则上式便为
\begin{equation} \mathrm{det}(A-\lambda E)=0 \end{equation}
上式左边是一个关于 $\lambda$ 的 $\mathrm{dim}\;{V}$ 阶多项式.

定理 1 

   若 $A'=B^{-1}AB$,那么 $\mathrm{det}(A'-\lambda E)=\mathrm{det}(A-\lambda E)$

   证明:

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{det}(A'-\lambda E)&=\mathrm{det}(B^{-1}AB-\lambda B^{-1}EB)\\ &=\mathrm{det}[B^{-1}(A-\lambda E)B]\\ &=\mathrm{det}(A-\lambda E) \end{aligned} \end{equation}

定义 3 特征多项式

   设 $t$ 为未知变量,称多项式 $\mathrm{det}(A-tE)$ 是矩阵 $A$ 的特征多项式,$\mathrm{det}(A-tE)=0$ 为 $A$ 的本征方程式(或长期方程式).$\lambda$ 作为 $A$ 的本征多项式的根,其重数称为算子 $\mathcal{A}$ 的本征值 $\lambda$ 的代数重数

   由定理 1 ,可定义 $\mathrm{det}(\mathcal{A-\lambda E})=\mathrm{det}(A-\lambda E)$.


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