贡献者： 零穹; JierPeter
1在一元多项式的最后提到，系数在数域 $\mathbb{F}$ 上的全体一元多项式构成一元多项式环 $\mathbb{F}[x]$。在环 $\mathbb{F}[x]$ 中，可以做加、减、乘三种运算，运算的结果还是该多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 中的元素（一元多项式）。自然，我们会像在整数里那样，考虑除法运算。你将看到，和整数一样，在一元多项式里，任意两个多项式做除法运算的结果并不一定还是一个多项式，取而代之的是带余除法。
定理 1 带余除法
设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 为 $\mathbb{F}[x]$ 中的两个多项式，并且 $g(x)\neq 0$，则存在唯一的 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式 $q(x),r(x)$，使得
\begin{equation}
f(x)=q(x)g(x)+r(x)~.
\end{equation}
其中 $\mathrm{deg}\;r(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$，$q(x),r(x)$ 分别称为 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的
商式和
除式。并将这种算法称为
带余除法，有时称为
长除法。
1. 证明
1.首先证明 $q(x)$，$r(x)$ 的存在性。
当 $\mathrm{deg}\;f(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$ 时，取 $q(x)=0,r(x)=f(x)$ 即可；
假设当 $\mathrm{deg}\;f(x)-\mathrm{deg}\;g(x)\leq k$ 时，$q(x),r(x)$ 存在，那么当 $\mathrm{deg}\;f(x)-\mathrm{deg}\;g(x)=k+1$ 时，设
\begin{equation}
f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i\quad g(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^i~,
\end{equation}
取
\begin{equation}
f_1(x)=f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)~.
\end{equation}
注意 $f_1(x)$ 的 $n$ 次项系数为 0，由
式 4
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;f_1(x)-\mathrm{deg}\;g(x)\leq\mathrm{deg}\; f(x)-1-\mathrm{deg}\;g(x)=k~.
\end{equation}
由归纳假设知，存在 $q_1(x),r(x)$ 使得
\begin{equation}
f_1(x)=q_1(x)g(x)+r(x)~.
\end{equation}
其中 $\mathrm{deg}\;r(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$，于是
\begin{equation}
f(x)=f_1(x)+\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)= \left(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q_1(x) \right) g(x)+r(x)~.
\end{equation}
记 $q(x)=\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q_1(x)$，即有 $q(x),r(x)$ 在 $\mathrm{deg}\;f(x)-\mathrm{deg}\;g(x)=k+1$ 时存在。有数学归纳法，存在性得证。
2.下面证明 $q(x),r(x)$ 的唯一性。设另有多项式 $q_1(x),r_1(x)$ 使
\begin{equation}
f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)~.
\end{equation}
其中，$\mathrm{deg}\;r_1(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$，于是
\begin{equation}
q_1(x)g(x)+r_1(x)=q(x)g(x)+r(x)~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\left(q_1(x)-q(x) \right) g(x)=r(x)-r_1(x)~.
\end{equation}
若 $q(x)\neq q_1(x)$，又 $g(x)\neq 0$，那么 $r(x)-r_1(x)\neq 0$，由
式 8
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;(q_1(x)-q(x))+\mathrm{deg}\;g(x)=\mathrm{deg}\; \left(r(x)-r_1(x) \right) ~,
\end{equation}
但
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;g(x)>\mathrm{deg}\; \left(r(x)-r_1(x) \right) ~,
\end{equation}
所以
式 10 不能成立，这就证明了
$q(x)=q_1(x)$，因此 $r(x)=r_1(x)$。
例 1
考虑实数域上的多项式 $f(x)=x^5+3x^4-7x^2+1$ 和 $g(x)=2x^3+1$，则应取
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
q(x) ={}& \frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x , \\
r(x) ={}& -\frac{13}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1 ,
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
使得 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，且 $\mathrm{deg}\;r(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$。
例 2
考虑实数域上的多项式 $f(x)=2x^3+x^2-3x+1$ 和 $g(x)=x^4$，则应取
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
q(x) ={}& 0 , \\
r(x) ={}& f(x) ,
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
使得 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，且 $\mathrm{deg}\;r(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$。
2. 推论
利用定理 1 ，立即得到下面的推论
推论 1 余数定理
设 $f(x)$ 为 $\mathbb{F}[x]$ 中的任意一个的多项式，并且 $c\in\mathbb{F}$，则存在 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式，使得
\begin{equation}
f(x)=q(x)(x-c)+f(c)~.
\end{equation}
并且 $q(x)$ 是唯一的。$f(c)$ 称为 多项式 $f(x)$ 除以 $x-c$ 的余数。
定义 1 零点(根)
设 $f(x)$ 为 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式，$c\in\mathbb{F}$，若 $f(c)=0$，则称 $c$ 为 $f(x)$ 的根或零点。
由推论 1 很容易得到下面关于多项式根的推论。
推论 2
设 $f(x)$ 为 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式，$c\in\mathbb{F}$，则 $c$ 是 $f(x)$ 的根当且仅当存在 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式 $q(x)$，使得
\begin{equation}
f(x)=q(x)(x-c)~.
\end{equation}
1. ^ 吴群。矩阵分析[M].上海：同济大学出版社
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。