带余除法

贡献者：零穹; JierPeter

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预备知识　一元多项式

　　¹在一元多项式的最后提到，系数在数域 $F$ 上的全体一元多项式构成一元多项式环 $F [x]$ 。在环 $F [x]$ 中，可以做加、减、乘三种运算，运算的结果还是该多项式环 $F [x]$ 中的元素（一元多项式）。自然，我们会像在整数里那样，考虑除法运算。你将看到，和整数一样，在一元多项式里，任意两个多项式做除法运算的结果并不一定还是一个多项式，取而代之的是带余除法。

定理 1　带余除法

　　设 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为 $F [x]$ 中的两个多项式，并且 $g (x) \neq 0$ ，则存在唯一的 $F [x]$ 中的多项式 $q (x), r (x)$ ，使得

\begin{matrix} (1) & f (x) = q (x) g (x) + r (x) . \end{matrix}

其中

\deg r (x) < \deg g (x)

，

q (x), r (x)

分别称为

g (x)

除

f (x)

的商式和除式。并将这种算法称为带余除法，有时称为长除法。

1. 证明

　　 1.首先证明 $q (x)$ ， $r (x)$ 的存在性。

　　当 $\deg f (x) < \deg g (x)$ 时，取 $q (x) = 0, r (x) = f (x)$ 即可；

　　假设当 $\deg f (x) - \deg g (x) \leq k$ 时， $q (x), r (x)$ 存在，那么当 $\deg f (x) - \deg g (x) = k + 1$ 时，设

\begin{matrix} (2) & f (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} g (x) = \sum_{i = 0}^{m} b_{i} x^{i}, \end{matrix}

取

\begin{matrix} (3) & f_{1} (x) = f (x) - \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m} g (x) . \end{matrix}

注意

f_{1} (x)

的

n

次项系数为 0，由式 4

\begin{matrix} (4) & \deg f_{1} (x) - \deg g (x) \leq \deg f (x) - 1 - \deg g (x) = k . \end{matrix}

由归纳假设知，存在

q_{1} (x), r (x)

使得

\begin{matrix} (5) & f_{1} (x) = q_{1} (x) g (x) + r (x) . \end{matrix}

其中

\deg r (x) < \deg g (x)

，于是

\begin{matrix} (6) & f (x) = f_{1} (x) + \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m} g (x) = (\frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m} + q_{1} (x)) g (x) + r (x) . \end{matrix}

记

q (x) = \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m} + q_{1} (x)

，即有

q (x), r (x)

在

\deg f (x) - \deg g (x) = k + 1

时存在。有数学归纳法，存在性得证。

　　 2.下面证明 $q (x), r (x)$ 的唯一性。设另有多项式 $q_{1} (x), r_{1} (x)$ 使

\begin{matrix} (7) & f (x) = q_{1} (x) g (x) + r_{1} (x) . \end{matrix}

其中，

\deg r_{1} (x) < \deg g (x)

，于是

\begin{matrix} (8) & q_{1} (x) g (x) + r_{1} (x) = q (x) g (x) + r (x), \end{matrix}

即

\begin{matrix} (9) & (q_{1} (x) - q (x)) g (x) = r (x) - r_{1} (x) . \end{matrix}

若

q (x) \neq q_{1} (x)

，又

g (x) \neq 0

，那么

r (x) - r_{1} (x) \neq 0

，由式 8

\begin{matrix} (10) & \deg (q_{1} (x) - q (x)) + \deg g (x) = \deg (r (x) - r_{1} (x)), \end{matrix}

但

\begin{matrix} (11) & \deg g (x) > \deg (r (x) - r_{1} (x)), \end{matrix}

所以式 10 不能成立，这就证明了

q (x) = q_{1} (x)

，因此

r (x) = r_{1} (x)

。

例 1　

　　考虑实数域上的多项式 $f (x) = x^{5} + 3 x^{4} - 7 x^{2} + 1$ 和 $g (x) = 2 x^{3} + 1$ ，则应取

\begin{matrix} (12) & {\begin{aligned} q (x) = & \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x, \\ r (x) = & - \frac{13}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + 1, \end{aligned} \end{matrix}

使得

f (x) = q (x) g (x) + r (x)

，且

\deg r (x) < \deg g (x)

。

例 2　

　　考虑实数域上的多项式 $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1$ 和 $g (x) = x^{4}$ ，则应取

\begin{matrix} (13) & {\begin{aligned} q (x) = & 0, \\ r (x) = & f (x), \end{aligned} \end{matrix}

使得

f (x) = q (x) g (x) + r (x)

，且

\deg r (x) < \deg g (x)

。

2. 推论

　　利用定理 1 ，立即得到下面的推论

推论 1　余数定理

　　设 $f (x)$ 为 $F [x]$ 中的任意一个的多项式，并且 $c \in F$ ，则存在 $F [x]$ 中的多项式，使得

\begin{matrix} (14) & f (x) = q (x) (x - c) + f (c) . \end{matrix}

并且

q (x)

是唯一的。

f (c)

称为多项式

f (x)

除以

x - c

的余数。

定义 1　零点(根)

　　设 $f (x)$ 为 $F [x]$ 中的多项式， $c \in F$ ，若 $f (c) = 0$ ，则称 $c$ 为 $f (x)$ 的根或零点。

　　由推论 1 很容易得到下面关于多项式根的推论。

推论 2　

　　设 $f (x)$ 为 $F [x]$ 中的多项式， $c \in F$ ，则 $c$ 是 $f (x)$ 的根当且仅当存在 $F [x]$ 中的多项式 $q (x)$ ，使得

\begin{matrix} (15) & f (x) = q (x) (x - c) . \end{matrix}

1. ^ 吴群。矩阵分析[M].上海：同济大学出版社

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带余除法

定理 1 带余除法

1. 证明

例 1

例 2

2. 推论

推论 1 余数定理

定义 1 零点(根)

推论 2

定理 1　带余除法

例 1　

例 2　

推论 1　余数定理

定义 1　零点(根)

推论 2　