贡献者： 零穹; JierPeter
1在一元多项式的最后提到，系数在数域 $\mathbb{F}$ 上的全体一元多项式构成一元多项式环 $\mathbb{F}[x]$。在环 $\mathbb{F}[x]$ 中，可以做加、减、乘三种运算，运算的结果还是该多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 中的元素（一元多项式）。自然，我们会像在整数里那样，考虑除法运算。你将看到，和整数一样，在一元多项式里，任意两个多项式做除法运算的结果并不一定还是一个多项式，取而代之的是带余除法。
定理 1 带余除法
设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 为 $\mathbb{F}[x]$ 中的两个多项式，并且 $g(x)\neq 0$，则存在唯一的 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式 $q(x),r(x)$，使得
\begin{equation}
f(x)=q(x)g(x)+r(x)~.
\end{equation}
其中 $\mathrm{deg}\;r(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$，$q(x),r(x)$ 分别称为 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的
商式和
除式。并将这种算法称为
带余除法，有时称为
长除法。
1. 证明
1.首先证明 $q(x)$，$r(x)$ 的存在性。
当 $\mathrm{deg}\;f(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$ 时，取 $q(x)=0,r(x)=f(x)$ 即可；
假设当 $\mathrm{deg}\;f(x)-\mathrm{deg}\;g(x)\leq k$ 时，$q(x),r(x)$ 存在，那么当 $\mathrm{deg}\;f(x)-\mathrm{deg}\;g(x)=k+1$ 时，设
\begin{equation}
f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i\quad g(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^i~,
\end{equation}
取
\begin{equation}
f_1(x)=f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)~.
\end{equation}
注意 $f_1(x)$ 的 $n$ 次项系数为 0，由
式 4
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;f_1(x)-\mathrm{deg}\;g(x)\leq\mathrm{deg}\; f(x)-1-\mathrm{deg}\;g(x)=k~.
\end{equation}
由归纳假设知，存在 $q_1(x),r(x)$ 使得
\begin{equation}
f_1(x)=q_1(x)g(x)+r(x)~.
\end{equation}
其中 $\mathrm{deg}\;r(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$，于是
\begin{equation}
f(x)=f_1(x)+\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)= \left(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q_1(x) \right) g(x)+r(x)~.
\end{equation}
记 $q(x)=\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q_1(x)$，即有 $q(x),r(x)$ 在 $\mathrm{deg}\;f(x)-\mathrm{deg}\;g(x)=k+1$ 时存在。有数学归纳法，存在性得证。
2.下面证明 $q(x),r(x)$ 的唯一性。设另有多项式 $q_1(x),r_1(x)$ 使
\begin{equation}
f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)~.
\end{equation}
其中，$\mathrm{deg}\;r_1(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$，于是
\begin{equation}
q_1(x)g(x)+r_1(x)=q(x)g(x)+r(x)~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\left(q_1(x)-q(x) \right) g(x)=r(x)-r_1(x)~.
\end{equation}
若 $q(x)\neq q_1(x)$，又 $g(x)\neq 0$，那么 $r(x)-r_1(x)\neq 0$，由
式 8
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;(q_1(x)-q(x))+\mathrm{deg}\;g(x)=\mathrm{deg}\; \left(r(x)-r_1(x) \right) ~,
\end{equation}
但
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;g(x)>\mathrm{deg}\; \left(r(x)-r_1(x) \right) ~,
\end{equation}
所以
式 10 不能成立，这就证明了
$q(x)=q_1(x)$，因此 $r(x)=r_1(x)$。
例 1
考虑实数域上的多项式 $f(x)=x^5+3x^4-7x^2+1$ 和 $g(x)=2x^3+1$，则应取
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
q(x) ={}& \frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x , \\
r(x) ={}& -\frac{13}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1 ,
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
使得 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，且 $\mathrm{deg}\;r(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$。
例 2
考虑实数域上的多项式 $f(x)=2x^3+x^2-3x+1$ 和 $g(x)=x^4$，则应取
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
q(x) ={}& 0 , \\
r(x) ={}& f(x) ,
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
使得 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，且 $\mathrm{deg}\;r(x)<\mathrm{deg}\;g(x)$。
2. 推论
利用定理 1 ，立即得到下面的推论
推论 1 余数定理
设 $f(x)$ 为 $\mathbb{F}[x]$ 中的任意一个的多项式，并且 $c\in\mathbb{F}$，则存在 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式，使得
\begin{equation}
f(x)=q(x)(x-c)+f(c)~.
\end{equation}
并且 $q(x)$ 是唯一的。$f(c)$ 称为 多项式 $f(x)$ 除以 $x-c$ 的余数。
定义 1 零点(根)
设 $f(x)$ 为 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式，$c\in\mathbb{F}$，若 $f(c)=0$，则称 $c$ 为 $f(x)$ 的根或零点。
由推论 1 很容易得到下面关于多项式根的推论。
推论 2
设 $f(x)$ 为 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式，$c\in\mathbb{F}$，则 $c$ 是 $f(x)$ 的根当且仅当存在 $\mathbb{F}[x]$ 中的多项式 $q(x)$，使得
\begin{equation}
f(x)=q(x)(x-c)~.
\end{equation}
1. ^ 吴群。矩阵分析[M].上海：同济大学出版社
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