多项式的整除

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 带余除法

  1有了带余除法,我们自然会想到像整数一样来定义多项式的整除、因式、倍式等概念.同时,带余除法还给出了多项式整除性的一个判别法.

定义 1 整除、因式、倍式

   设 $f(x),g(x)$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式,若存在数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $q(x)$ 使得 $f(x)=q(x)g(x)$,则称 $g(x)$ 整除 $f(x)$,记作 $g(x)|f(x)$,并称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的因式,$f(x)$ 为 $g(x)$ 的倍式.

   由定义 1 ,容易验证:

  1. 任意多项式一定整除自身:$f(x)|f(x)$;
  2. 零多项式只整除零多项式:$0|0$;
  3. 任意一个非零多项式一定整除零多项式:$f(x)|0$;
  4. 零次多项式整除任意多项式:$c|f(x)$,其中 $c\neq0\in\mathbb{F}$.

   根据这 4 条性质,规定:零次多项式,以及 $f(x)$ 的与其次数相同的因式,称为 $f(x)$ 的平凡因式;零多项式,以及 $f(x)$ 的与其次数相同的倍式,称为 $f(x)$ 的平凡倍式.

   有了整除的概念,考虑到带余除法,自然容易想到,两个多项式能够整除是其余式为 0.因此,下面定理是显然的

定理 1 

   设 $f(x),g(x)$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的两个多项式,$g(x)\neq 0$,则 $g(x)|f(x)$ 的充要条件是 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的余式为 0,即存在多项式 $q(x)$ 使得 $f(x)=q(x)g(x)$.

定义 2 多项式的商

   若 $g(x)|f(x)$,则 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的 $q(x)$ 可表示

\begin{equation} q(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \end{equation}

   整除具有下面性质:

  1. 若 $f(x)|g(x)$ 且 $g(x)|f(x)$,则 $f(x)=cg(x)$,$c$ 为非 0 常数;
  2. 若 $f(x)|g(x)$ 且 $g(x)|h(x)$,则 $f(x)|h(x)$;
  3. 若 $f(x)|g_i(x)\;(i=1,2,\cdots,n)$,则 $f(x)|\sum\limits_{i=1}^{n}u_i(x)g_i(x)$,$u_i(x)$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式.

   有了因式,当然可以定义两个多项式的公因式及最大公因式.

定义 3 因式、最大公因式

   设 $f(x),g(x)$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的两个多项式,若数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $d(x)$ 满足

\begin{equation} d(x)|f(x)\quad\&\quad d(x)|g(x) \end{equation}
则称 $d(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个公因式. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的任意公因式都是它们公因式 $d(x)$ 的因式,则称 $d(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个最大公因式,并把 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首项系数为 1的最大公因式记为 $(f(x),g(x))$.

   由于对任意多项式 $f(x)$ 和数域 $\mathbb{F}$ 中的数 $c\neq 0$,都有 $c|f(x)$,所以非零多项式的最大公因式总是一个非零多项式.而 $f(x)$ 是 $f(x)$ 与 0 的一个最大公因式.

   整除性质 1 表明,若 $d(x),d_1(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的两个最大公因式,则 $d(x)=cd_1(x)$,其中 $c\neq 0$ 为常数.

例 1 整除性质 1 的证明

   试证明:若 $f(x)|g(x)$ 且 $g(x)|f(x)$,则 $f(x)=cg(x)$,$c$ 为非 0 常数.

   证明:显然,若 $f(x)=0$,由 $f(x)|g(x)$,有 $g(x)=0$,则 $f(x)=cg(x)$ 显然成立.下面考虑 $f(x)\neq 0$ 情形.

   条件 $f(x)|g(x)$ 和 $g(x)|f(x)$ 意味着

\begin{equation} f(x)=q(x)g(x)\quad g(x)=q_1(x)f(x) \end{equation}
所以
\begin{equation} f(x)=q(x)q_1(x)f(x) \end{equation}
由于定理 1 ,必有
\begin{equation} q(x)q_1(x)=1 \end{equation}
上式两边取次数,由式 8
\begin{equation} \mathrm{deg}\;q(x)+\mathrm{deg}\;q_1(x)=0 \end{equation}
显然 $q(x),q_1(x)\neq 0$,而非零多项式的次数必定大于等于 0,所以要上式成立,只能
\begin{equation} \mathrm{deg}\;q(x)=\mathrm{deg}\;q_1(x)=0 \end{equation}
结合式 5 ,有
\begin{equation} q(x)=1/q_1(x)=c\neq 0 \end{equation}
即 $f(x)=cg(x)$.


1. ^ 吴群.矩阵分析[M].上海:同济大学出版社


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