贡献者： 零穹
1. 多重线性映射
定义 1 多重线性映射
设 $V_1,\cdots,V_p;U$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的矢量空间。映射
\begin{equation}
f:V_1\times V_2\times\cdots\times V_p\rightarrow U~
\end{equation}
称为
多重线性的（
$p$-线性），如果对任意指数 $i=1,\cdots,p$ 及任意固定的向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a_j}} \in V_j\quad(1\leq j\leq p,j\neq i)$，映射
\begin{equation}
f_i: \boldsymbol{\mathbf{v}} \mapsto f( \boldsymbol{\mathbf{a_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a_{i-1}}} ; \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{a_{i+1}}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a_p}} )~
\end{equation}
都是线性的。即
\begin{equation}
f_i(\alpha \boldsymbol{\mathbf{x}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{y}} )=\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+\beta f_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )~.
\end{equation}
所有 $p$-线性的映射构成的集合记为 $\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U)$。
定义 2 加法
\begin{equation}
\begin{aligned}
\forall \mu,\nu\in\mathbb{F}~,\quad \boldsymbol{\mathbf{a}} _i\in V_i~,\quad f,g\in \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U)~,\\
(\mu f+\nu g)( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)=\mu f( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)+\nu g( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)~.
\end{aligned}
\end{equation}
定理 1
任意两个 $p$-线性映射的线性组合 $\alpha f+\beta g$ 也是一个 $p$-线性映射。
证明：令 $h=\alpha f+\beta g$，且对任意指数 $i=1,\cdots,p$ 及任意固定的向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a_j}} \in V_j\quad(1\leq j\leq p,j\neq i)$，记
\begin{equation}
h_i: \boldsymbol{\mathbf{v}} \mapsto h( \boldsymbol{\mathbf{a_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a_{i-1}}} ; \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{a_{i+1}}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a_p}} )~.
\end{equation}
则对 $\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V_i,\quad a,b\in\mathbb{F}$
\begin{equation}
\begin{aligned}
h_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )&=(\alpha f_i+\beta g_i)(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&=\alpha f_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )+\beta g_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&=a\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+b\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )+a\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+b\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&=a \left(\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \right) +b(\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )+\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} ))\\
&=ah_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+bh_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )~,
\end{aligned}
\end{equation}
这显然满足 $p$-线性映射的定义。证毕！
定理 1 表明，$p$-线性映射的加法是封闭的。容易验证所有的 $p$-线性映射的集合 $\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U)$ 构成 $\mathbb{F}$ 的向量空间。
多重线性型
定义 3 多重线性型
任意 $V_1\times V_2\times\cdots\times V_p$ 到 $\mathbb{F}$ 的多重线性映射称为 $V_1\times V_2\times\cdots\times V_p$ 上的多重线性型(多重线性函数)（multilinear form）。
例 1
设
\begin{equation}
l^i: \boldsymbol{\mathbf{v_i}} \mapsto l^i( \boldsymbol{\mathbf{v_i}} )\qquad (i=1,\cdots,p)~.
\end{equation}
是 $V_i$ 上的线性函数（型），那么用关系式
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{v_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v_p}} )=l^1( \boldsymbol{\mathbf{v_1}} )\cdots l^p( \boldsymbol{\mathbf{v_p}} )~
\end{equation}
定义的函数 $f$ 就是 $V_1\times V_2\times\cdots\times V_p$ 上的多重线性函数。称它为线性函数（型）$l^1,\cdots,l^p$ 的
张量积且表成 $f=l^1\otimes l^2\otimes\cdots\otimes l^p$ 或简记为 $l^1l^2\cdots l^p$（有序）。
当 $V_1=\cdots=V_p=V$ 时，$V^p=V\times\cdots\times V$（集合 $V$ 的 $p$ 个元素的笛卡尔积），此时，记
\begin{equation}
\mathcal{L}_p(V,\mathbb{F})=\mathcal{L}(V,\cdots,V;\mathbb{F})~
\end{equation}
是很方便的。
定义 4 多重线性型的对称性
$V^p$ 上的多重线性型 $f$ 称为对称的。如果对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} ,\cdots \boldsymbol{\mathbf{v_p}} \in V$ 及任意置换 $\pi\in S_p$，都有
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(1)}, \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(2)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(p)})=f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _p)~,
\end{equation}
而 $f$ 称为
斜对称的（或反对称）。如果
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(1)}, \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(2)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(p)})=\epsilon_\pi f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _p)~,
\end{equation}
其中 $\epsilon_\pi$ 是置换的符号（偶置换取 1，奇置换取负）
。
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