多线性映射

贡献者： Giacomo; 零穹

本文存在未完成的内容。

预备知识　线性映射

1. 多线性映射

定义 1　多线性映射

　　设 $V_{1}, \dots, V_{p}, U$ 为域 $F$ 上的向量空间。映射

\begin{matrix} (1) & f : V_{1} \times V_{2} \times \dots \times V_{p} \to U \end{matrix}

称为多线性、 $p$ -线性（或者多重线性映射），如果对任意指数

i = 1, \dots, p

及任意固定的向量

a_{j} \in V_{j} (1 \leq j \leq p, j \neq i)

，映射

\begin{matrix} (2) & f_{i} : v \mapsto f (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, v, a_{i + 1}, \dots, a_{p}) \end{matrix}

都是线性的。

　　所有 $p$ -线性的映射构成的集合记为 $L (V_{1}, \dots, V_{p}; U)$ 。

定理 1　

　　 $p$ -线性映射的集合 $L (V_{1}, \dots, V_{p}; U)$ 构成 $F$ -向量空间，它的线性组合（加法和数乘）定义为

\begin{matrix} (3) & (μ f + ν g) (a_{1}, \dots, a_{p}) = μ f (a_{1}, \dots, a_{p}) + ν g (a_{1}, \dots, a_{p}) \end{matrix}

其中，

\forall μ, ν \in F, a_{i} \in V_{i}, f, g \in L (V_{1}, \dots, V_{p}; U)

。

　　 证明： 即证明，任意两个 $p$ -线性映射的线性组合 $α f + β g$ 也是一个 $p$ -线性映射。

　　令 $h = α f + β g$ ，且对任意指数 $i = 1, \dots, p$ 及任意固定的向量 $a_{j} \in V_{j} (1 \leq j \leq p, j \neq i)$ ，记

\begin{matrix} (4) & h_{i} : v \mapsto h (a_{1}, \dots, a_{i - 1}; v, a_{i + 1}, \dots, a_{p}) . \end{matrix}

则对

\forall x, y \in V_{i}, a, b \in F

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} h_{i} (a x + b y) & = (α f_{i} + β g_{i}) (a x + b y) \\ = α f_{i} (a x + b y) + β g_{i} (a x + b y) \\ = a α f_{i} (x) + b α f_{i} (y) + a β g_{i} (x) + b β g_{i} (y) \\ = a (α f_{i} (x) + β g_{i} (x)) + b (α f_{i} (y) + β g_{i} (y)) \\ = a h_{i} (x) + b h_{i} (y), \end{aligned} \end{matrix}

这显然满足

p

-线性映射的定义。证毕！

定义 2　多线性型

　　任意 $V^{p}$ 到 $F$ 的多线性映射称为 $V$ 上的多线性型（multilinear form）或者 $V^{p}$ 上的多线性 $F$ -值函数，简称多线性函数。

未完成：非退化多线性型

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

多线性映射

1. 多线性映射

定义 1 多线性映射

定理 1

定义 2 多线性型

定义 1　多线性映射

定理 1　

定义 2　多线性型