多重线性映射

                     

贡献者: 零穹

预备知识 矢量空间

1. 多重线性映射

定义 1 多重线性映射

   设 $V_1,\cdots,V_p;U$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的矢量空间.映射

\begin{equation} f:V_1\times V_2\times\cdots\times V_p\rightarrow U \end{equation}
称为多重线性的$p$-线性),如果对任意指数 $i=1,\cdots,p$ 及任意固定的向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a_j}} \in V_j\quad(1\leq j\leq p,j\neq i)$,映射
\begin{equation} f_i: \boldsymbol{\mathbf{v}} \mapsto f( \boldsymbol{\mathbf{a_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a_{i-1}}} ; \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{a_{i+1}}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a_p}} ) \end{equation}
都是线性的.即
\begin{equation} f_i(\alpha \boldsymbol{\mathbf{x}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{y}} )=\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+\beta f_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} ) \end{equation}

   所有 $p$-线性的映射构成的集合记为 $\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U)$.

定义 2 加法

\begin{equation} \begin{aligned} \forall \mu,\nu\in\mathbb{F},\; \boldsymbol{\mathbf{a}} _i\in V_i,\;f,g\in \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U);\\ (\mu f+\nu g)( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)=\mu f( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)+\nu g( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p) \end{aligned} \end{equation}

定理 1 

   任意两个 $p$-线性映射的线性组合 $\alpha f+\beta g$ 也是一个 $p$-线性映射.

   证明:令 $h=\alpha f+\beta g$,且对任意指数 $i=1,\cdots,p$ 及任意固定的向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a_j}} \in V_j\quad(1\leq j\leq p,j\neq i)$,记

\begin{equation} h_i: \boldsymbol{\mathbf{v}} \mapsto h( \boldsymbol{\mathbf{a_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a_{i-1}}} ; \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{a_{i+1}}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a_p}} ) \end{equation}
则对 $\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V_i,\quad a,b\in\mathbb{F}$
\begin{equation} \begin{aligned} h_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )&=(\alpha f_i+\beta g_i)(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &=\alpha f_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )+\beta g_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &=a\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+b\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )+a\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+b\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &=a \left(\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \right) +b(\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )+\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} ))\\ &=ah_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+bh_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} ) \end{aligned} \end{equation}
这显然满足 $p$-线性映射的定义.证毕!

   定理 1 表明,$p$-线性映射的加法是封闭的.容易验证所有的 $p$-线性映射的集合 $\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U)$ 构成 $\mathbb{F}$ 的向量空间.

多重线性型

定义 3 多重线性型

   任意 $V_1\times V_2\times\cdots\times V_p$ 到 $\mathbb{F}$ 的多重线性映射称为 $V_1\times V_2\times\cdots\times V_p$ 上的多重线性型(多重线性函数)(multilinear form).

例 1 

   设

\begin{equation} l^i: \boldsymbol{\mathbf{v_i}} \mapsto l^i( \boldsymbol{\mathbf{v_i}} ),\quad i=1,\cdots,p \end{equation}
是 $V_i$ 上的线性函数(型),那么用关系式
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{v_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v_p}} )=l^1( \boldsymbol{\mathbf{v_1}} )\cdots l^p( \boldsymbol{\mathbf{v_p}} ) \end{equation}
定义的函数 $f$ 就是 $V_1\times V_2\times\cdots\times V_p$ 上的多重线性函数.称它为线性函数(型)$l^1,\cdots,l^p$ 的张量积且表成 $f=l^1\otimes l^2\otimes\cdots\otimes l^p$ 或简记为 $l^1l^2\cdots l^p$(有序).

   当 $V_1=\cdots=V_p=V$ 时,$V^p=V\times\cdots\times V$(集合 $V$ 的 $p$ 个元素的笛卡尔积),此时,记

\begin{equation} \mathcal{L}_p(V,\mathbb{F})=\mathcal{L}(V,\cdots,V;\mathbb{F}) \end{equation}
是很方便的.

定义 4 多重线性型的对称性

   $V^p$ 上的多重线性型 $f$ 称为对称的.如果对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} ,\cdots \boldsymbol{\mathbf{v_p}} \in V$ 及任意置换 $\pi\in S_p$,都有

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(1)}, \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(2)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(p)})=f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _p) \end{equation}
而 $f$ 称为斜对称的(或反对称).如果
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(1)}, \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(2)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _{\pi(p)})=\epsilon_\pi f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _p) \end{equation}
其中 $\epsilon_\pi$ 是置换的符号(偶置换取 1,奇置换取负)


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