薛定谔方程(单粒子)

             

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预备知识 多维空间中的量子力学,定态薛定谔方程,分离变量法

\begin{equation} H \left\lvert \Psi \right\rangle = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \left\lvert \Psi \right\rangle \end{equation}

   波函数是位置矢量的函数 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$

\begin{equation} T = -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \qquad V = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
定态薛定谔方程为
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi \end{equation}

1. 能量守恒系统

   当哈密顿算符 $H$ 不随时间变化时,我们说这个系统能量守恒.这时我们可以用分离变量法,令

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) T(t) \end{equation}
\begin{equation} H\psi = E\psi \end{equation}
以及
\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} T = ET \end{equation}
其中式 5 就是定态薛定谔方程,即哈密顿算符的本征方程.式 6 有简单的解
\begin{equation} T(t) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \end{equation}

   根据 $H$ 的不同,本征值 $E$ 可以取离散或连续的值.先看只取离散值的简单情况(如无限深势阱),令能级为 $E_n$($n = 1, 2, \dots$),那么含时薛定谔方程的通解为

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum_n C_n \psi_n( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_n t/\hbar} \end{equation}
其中 $C_n$ 为待定系数,由初始条件决定.一个简单的例子见 “无限深势阱中的高斯波包”.

   如果 $E$ 只在某个区间内取连续值,我们同样可以使用分离变量法,只是求和变为积分,系数变为能量的函数

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \int C(E) \psi_E( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \,\mathrm{d}{E} \end{equation}
若能量是简并的,即定态薛定谔方程中一个能量 $E$ 由多个线性无关的解 $\psi_{E,i}(x)$($i=1,2\dots$),那么上式变为
\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \int \sum_i C_i(E) \psi_{E,i}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \,\mathrm{d}{E} \end{equation}

   一个经典的例子见 “一维自由粒子(量子)”.

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