散射

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　中心力场问题

图 1：微分截面的定义

　　每个入射距离 $b$ 对应一个出射角度 $\theta$，所以 $ \,\mathrm{d}{\Omega} = 2\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} $，$ \,\mathrm{d}{\sigma} = 2\pi b \,\mathrm{d}{b} ~,$

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{\sigma} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} } = \frac{b}{\sin\theta} \left\lvert \frac{\mathrm{d}{b}}{\mathrm{d}{\theta}} \right\rvert ~. \end{equation}

　　若散射是轴对称的，$ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 是粒子流密度，图 1 中入射环的面积为 $ \,\mathrm{d}{\sigma} $，出射环的面积为 $r^2 \,\mathrm{d}{\Omega} $。所以从前者中穿过的单位时间粒子数必定等于从后者穿过的

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in} \right\rvert \,\mathrm{d}{\sigma} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \ \ r^2 \,\mathrm{d}{\Omega} ~, \end{equation}

所以用粒子流密度表示微分截面就是

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \lim_{r\to\infty} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) r^2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in} \right\rvert }~. \end{equation}

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。