散射

                     

贡献者: addis

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预备知识 中心力场问题
图
图 1:微分截面的定义

   每个入射距离 $b$ 对应一个出射角度 $\theta$,所以 $ \,\mathrm{d}{\Omega} = 2\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} $,$ \,\mathrm{d}{\sigma} = 2\pi b \,\mathrm{d}{b} $

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{\sigma} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} } = \frac{b}{\sin\theta} \left\lvert \frac{\mathrm{d}{b}}{\mathrm{d}{\theta}} \right\rvert \end{equation}

   若散射是轴对称的,$ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 是粒子流密度,图 1 中入射环的面积为 $ \,\mathrm{d}{\sigma} $,出射环的面积为 $r^2 \,\mathrm{d}{\Omega} $.所以从前者中穿过的单位时间粒子数必定等于从后者穿过的

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in} \right\rvert \,\mathrm{d}{\sigma} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \ \ r^2 \,\mathrm{d}{\Omega} \end{equation}
所以用粒子流密度表示微分截面就是
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \lim_{r\to\infty} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) r^2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in} \right\rvert } \end{equation}


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