一维自由高斯波包(量子)

                     

贡献者: addis

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预备知识 无限深势阱中的高斯波包

   我们这里要讨论的是量子力学中单个粒子的一个特定的一维波函数 $\psi(x,t)$.它描述的粒子的位置分布是一个高斯分布(正态分布)

图
图 1:根据式 4 画出的高斯波包,蓝色为实部,红色为虚部.动画见这里,Matlab 代码见 “自由高斯波包(量子)的动画绘制(Matlab)”,互动见这里),注意该图 $t > 0$,注意从左到右频率逐渐变高,这种现象叫做啁啾(chirp).

  

未完成:详细讨论啁啾,另外注意随着波函数演化,位置和动量分部不再满足最小不确定性原理.

   设 $t = 0$ 时的波函数(已归一化)

\begin{equation} \psi (x,0) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x ^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{-(x - x_0)^2/(2\sigma_x)^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{p_0}{\hbar}x} \end{equation}
那么动量表象波函数具有对称的形式1
\begin{equation} \psi (p,0) = \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{-(p - p_0)^2/(2\sigma_p)^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \frac{x_0}{\hbar }(p - p_0)} \end{equation}

   其中 $\sigma_x$ 为位置的标准差,$\sigma_p$ 为动量的标准差,满足不确定原理

\begin{equation} \sigma_x\sigma_p = \frac{\hbar}{2} \end{equation}
含时波函数为
\begin{equation}\begin{aligned} \psi (x,t) = &\frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4} \sqrt{1 + { \mathrm{i} \hbar t}/(2m \sigma_x^2)}} \exp \left[\frac{-(x - x_0 - p_0 t/m)^2}{(2\sigma_x )^2 \left(1 + \frac{ \mathrm{i} \hbar t}{2m \sigma_x^2} \right) } \right] \exp \left[\frac{ \mathrm{i} p_0}{\hbar } \left(x - \frac{p_0 t}{2m} \right) \right] \end{aligned}\end{equation}

   一般来说,波包扩散是因为初始时存在一定的速度分布.例如中心动量为零的波包经过较长时间 $t$ 后,位置分布就会趋近于初始动量分布乘以 $t$.

未完成:证明

1. 推导

初状态

预备知识 原子单位制,高斯积分

   以下为书写方便使用原子单位制.如果我们想要一维波函数的概率分布为高斯分布,即

\begin{equation} \left\lvert \psi (x) \right\rvert ^2 = \frac{1}{\sigma_x \sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma_x^2}\right] \end{equation}
先假设波函数为实数,有
\begin{equation} \psi (x) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{x^2}{(2\sigma_x)^2}\right] \end{equation}
变换到动量表象,即做反傅里叶变换,借助高斯积分式 7
\begin{equation} \psi(p) = \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{p^2}{(2\sigma_p)^2}\right] \end{equation}
其中 $\sigma_p = 1/(2\sigma_x)$,可见高斯波包一个独特的性质就是在位置和动量表象下都是高斯分布.

   由于波函数为实数,动量平均值为零(定理 1 ).为了让波函数有一个动量 $p_0$,而维持 $ \left\lvert \psi(x) \right\rvert ^2$ 和 $ \left\lvert \psi(p) \right\rvert ^2$ 的形状不变,我们可以直接将动量表象中的波函数平移 $p_0$,得

\begin{equation} \psi (p) = \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{(p - p_0)^2}{(2\sigma_p)^2}\right] \end{equation}
由傅里叶变换的性质(式 13 ),对应的位置表象波函数需要乘以因子 $ \exp\left( \mathrm{i} p_0 x\right) $ 变为
\begin{equation} \psi(x) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{x^2}{(2\sigma_x)^2}\right] { \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} {p_0}x}} \end{equation}
类似地,也可以再将 $\psi(x)$ 平移 $x_0$
\begin{equation} \psi (x) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{(2\sigma_x)^2}\right] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} p_0 (x-x_0)} \end{equation}
而 $\psi(p)$ 则需要乘以因子 $ \exp\left(- \mathrm{i} x_0 p\right) $
\begin{equation} \psi(p) = \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{(p - p_0)^2}{(2\sigma_p)^2}\right] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x_0 p} \end{equation}
将以上两式同乘一个常数 ${ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} {p_0}{x_0}}}$ 就得到式 1 式 2

时间演化的推导

预备知识 一维自由粒子(量子)

   按照式 5 ,把式 2 乘以时间因子 $ \exp\left(- \mathrm{i} \frac{p^2}{2m}t\right) $,再做反傅里叶变换,并把积分写为

\begin{equation} \psi(x, t) = C\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left[-a^2(p-p_0)^2 + b(p-p_0) + c\right] \,\mathrm{d}{p} \end{equation}
的形式,得
\begin{equation} a = \sigma_x^2 + \frac{ \mathrm{i} t}{2m}, \qquad b = \mathrm{i} (x-x_0) - \frac{ \mathrm{i} pt}{m}, \qquad c = \mathrm{i} p_0 \left(x - \frac{p_0}{2m} t \right) \end{equation}
由高斯积分式 7 得积分结果为
\begin{equation} \psi(x, t) = C\sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(\frac{b^2}{4a}\right) \mathrm{e} ^c \end{equation}
整理后得式 4


1. ^ 也可以把式 1 式 2 同时除以常数 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} p_0 x_0}$ 使式 1 最后的 $x$ 变为 $x-x_0$,式 2 最后的 $p-p_0$ 变为 $p$.


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