概率流密度

             

预备知识 薛定谔方程

   一维情况下,对于某个波函数 $\psi(x,t)$,定义概率流为

\begin{equation} j(x,t) = \frac{ \mathrm{i} \hbar}{2m} \left(\psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} - \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) = \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im} \left[\psi^* \frac{\partial}{\partial{x}} \psi \right] \end{equation}
某个区间中的概率增加率等于流入该区间的概率流
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} P_{ab}(t) = j(a,t) - j(b,t) \end{equation}
三维情况下,概率流的定义变为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t) = \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m} (\psi \boldsymbol\nabla \psi^* - \psi ^* \boldsymbol\nabla \psi) = \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im} [\psi^* \boldsymbol\nabla \psi] \end{equation}
且有
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} P_\mathcal{V}(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int_\mathcal{V} \left\lvert \psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{V} = \int_\mathcal{S} \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
或写为概率守恒公式(类比电荷守恒
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\psi^* \psi) + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}

习题 1 平面波

   求三维平面波 $A \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) $ 的概率流密度.答案:$ \left\lvert A \right\rvert ^2 \hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} /m$,注意这恰好等于概率密度乘以粒子速度(原因见下文).

习题 2 球面波

   求球面波 $A \exp\left( \mathrm{i} k r\right) /r$ 的概率流密度($r = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert $).答案:$ \left\lvert A \right\rvert ^2 \hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} /(mr^2)$,同样等于概率密度乘以粒子速度,注意单位时间通过任意球面的概率都是一样的.

1. 推导

   对一维情况有

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} P_{ab} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int_a^b \psi^* \psi \,\mathrm{d}{x} = \int_a^b \left(\psi \frac{\partial}{\partial{t}} \psi^* + \psi^* \frac{\partial}{\partial{t}} \psi \right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
一维薛定谔方程以及复共轭为
\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{x}^{2}} + V\psi \end{equation}
\begin{equation} - \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial^{2}{\psi^*}}{\partial{x}^{2}} + V{\psi^*} \end{equation}
代入上式的时间微分,得
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} P_{ab} &= \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m} \int_a^b \left(\psi^* \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{x}^{2}} - \psi \frac{\partial^{2}{\psi^*}}{\partial{x}^{2}} \right) \,\mathrm{d}{x} = \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m} \int_a^b \frac{\partial}{\partial{x}} \left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \left. \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m} \left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right) \right\rvert _{x=a}^{x=b} = j(a) - j(b) \end{aligned} \end{equation}
三维情况的证明可类比.

2. 概率的速度

   类比经典力学或电磁学中的 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} = \rho \boldsymbol{\mathbf{v}} $,若定义概率流速度为概率流除以概率密度,则平面波 $\psi (x) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 的概率流速为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} / \left\lvert \psi \right\rvert ^2 = \frac{ \mathrm{i} \hbar}{2m} \left(- \left\lvert A \right\rvert ^2 \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} - \left\lvert A \right\rvert ^2 \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \right) / \left\lvert A \right\rvert ^2 = \frac{\hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} }{m} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }{m} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{CM} \end{equation}
所以平面波的概率流速度等于具有相同动量的经典粒子的速度.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利