方势垒

贡献者： addis

预备知识　无限深势阱，一维散射态的正交归一化

　　本文采用原子单位制。我们要解一维定态薛定谔方程（参考式 9 ）为

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{2 m} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + V ψ = E ψ . \end{matrix}

令方势垒长度为

2 l

，关于原点对称。势能函数为

\begin{matrix} (2) & V (x) = {\begin{cases} 0 & (x < - l) \\ V_{0} & (- l ⩽ x < l) \\ 0 & (l ⩽ x) . \end{cases} \end{matrix}

一些教材把势垒放在区间

[0, a]

，这时只需令

a = 2 l

，把解出的波函数向右平移

l

即可。以下讨论两种常见的解，一种类似于

\sin (k x), \cos (k x)

另一种类似于

\exp (i k x), \exp (- i k x)

。

1. 奇偶函数解

　　对称势能的好处是存在奇和偶的实函数解，且它们自动正交。

$E \geq V_{0}$ 的情况

　　令

\begin{matrix} (3) & k = \sqrt{2 m E}, b = \sqrt{2 m (E - V_{0})} . \end{matrix}

令对称解和反对称的波函数分别为

\begin{matrix} (4) & ψ_{k}^{e} (x) = {\begin{cases} A_{1} \cos (b x) & (0 ⩽ x ⩽ l) \\ C_{1} \cos (k x) + D_{1} \sin (k x) & (l < x) \\ ψ_{k}^{e} (- x) & (x < 0), \end{cases} \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & ψ_{k}^{o} (x) = {\begin{cases} B_{2} \sin (b x) & (0 ⩽ x ⩽ l) \\ C_{2} \cos (k x) + D_{2} \sin (k x) & (l < x) \\ - ψ_{k}^{o} (- x) & (x < 0), \end{cases} \end{matrix}

其中

l < x

的部分也可以分别记为

\begin{matrix} (6) & G_{i} \sin (k x + ϕ_{i}) (i = 1, 2), \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & G_{i} = \sqrt{C_{i}^{2} + D_{i}^{2}} ϕ_{i} = Arctan (C_{i}, D_{i}) (i = 1, 2) . \end{matrix}

　　在 $x = l$ 处匹配波函数和一阶导数，解得

\begin{matrix} (8) & {\begin{aligned} \frac{C_{1}}{A_{1}} & = \cos (k l) \cos (b l) + \frac{b}{k} \sin (k l) \sin (b l) \\ \frac{D_{1}}{A_{1}} & = - \frac{b}{k} \cos (k l) \sin (b l) + \sin (k l) \cos (b l), \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & {\begin{aligned} \frac{C_{2}}{B_{2}} & = \cos (k l) \sin (b l) - \frac{b}{k} \sin (k l) \cos (b l) \\ \frac{D_{2}}{B_{2}} & = \frac{b}{k} \cos (k l) \cos (b l) + \sin (k l) \sin (b l) . \end{aligned} \end{matrix}

对波函数归一化使

\int ψ_{k}^{'} (x) ψ_{k} (x) = δ (k^{'} - k)

，令无穷远处振幅为

1 / \sqrt{π}

（定理 1 ），得

\begin{matrix} (10) & \begin{array}{r} A_{1} = \frac{1}{\sqrt{π} \sqrt{\cos^{2} (b l) + (b^{2} / k^{2}) \sin^{2} (b l)}}, \\ B_{2} = \frac{1}{\sqrt{π} \sqrt{\sin^{2} (b l) + (b^{2} / k^{2}) \cos^{2} (b l)}} . \end{array} \end{matrix}

$0 < E < V_{0}$ 的情况

　　令 $κ = \sqrt{2 m (V_{0} - E)}$

\begin{matrix} (11) & ψ_{k}^{e} (x) = {\begin{cases} A_{1} \cosh (κ x) & (0 ⩽ x ⩽ l) \\ C_{1} \cos (k x) + D_{1} \sin (k x) & (l < x), \end{cases} \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & ψ_{k}^{o} (x) = {\begin{cases} A_{2} \sinh (κ x) & (0 ⩽ x ⩽ l) \\ C_{2} \cos (k x) + D_{2} \sin (k x) & (l < x) . \end{cases} \end{matrix}

在

x = l

处匹配波函数和一阶导数，分别得

\begin{matrix} (13) & {\begin{aligned} A_{1} \cosh (κ l) = C_{1} \cos (k l) + D_{1} \sin (k l) \\ κ A_{1} \sinh (κ l) = - k C_{1} \sin (k l) + k D_{1} \cos (k l), \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & {\begin{aligned} A_{2} \sinh (κ l) = C_{2} \cos (k l) + D_{2} \sin (k l) \\ κ A_{2} \cosh (κ l) = - k C_{2} \sin (k l) + k D_{2} \cos (k l) . \end{aligned} \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (15) & {\begin{aligned} \frac{C_{1}}{A_{1}} = \cosh (κ l) \cos (k l) - \frac{κ}{k} \sinh (κ l) \sin (k l) \\ \frac{D_{1}}{A_{1}} = \cosh (κ l) \sin (k l) + \frac{κ}{k} \sinh (κ l) \cos (k l), \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (16) & {\begin{aligned} \frac{C_{2}}{A_{2}} = \sinh (κ l) \cos (k l) - \frac{κ}{k} \cosh (κ l) \sin (k l) \\ \frac{D_{2}}{A_{2}} = \sinh (κ l) \sin (k l) + \frac{κ}{k} \cosh (κ l) \cos (k l) . \end{aligned} \end{matrix}

对波函数归一化，同样令无穷远处振幅为

1 / \sqrt{π}

得

\begin{matrix} (17) & A_{1} = \frac{1}{\sqrt{π} \sqrt{\cosh^{2} (κ l) + (κ / k)^{2} \sinh^{2} (k l)}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (18) & A_{2} = \frac{1}{\sqrt{π} \sqrt{\sinh^{2} (κ l) + (κ / k)^{2} \cosh^{2} (k l)}} . \end{matrix}

2. 行波解

　　令左、中、右三个区间 $\exp$ 项的系数分别为 $A, B$ 、 $C, D$ 、 $E, F$ 。左边右入射和出射，右边只有出射没有反射

\begin{matrix} (19) & ψ_{k, 1} (x) = {\begin{aligned} A \exp (i k x) + B \exp (- i k x) & (x < - L) \\ C \exp (i b x) + D \exp (- i b x) & (- L \leq x \leq L) \\ F \exp (- i k x) & (x < - L), \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (20) & ψ_{k, 2} (x) = ψ_{k, 1} (- x), \end{matrix}

要归一化只需满足

A = 1 / \sqrt{2 π}

（式 19 ）。

$E > V_{0}$ 的情况

　　当 $E > V_{0}$ 时，系数解为

\begin{matrix} (21) & {\begin{aligned} A = 1 / \sqrt{2 π} \\ B = N \cdot (k^{2} - b^{2}) \sin (2 b l) \exp (- i k l) \\ C = N \cdot i k (k + b) \exp (- i b l) \\ D = N \cdot i k (b - k) \exp (i b l) \\ E = N \cdot 2 i k b \exp (- i k l), \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (22) & N = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{(k^{2} + b^{2}) \sin (2 b l) - 2 i k b \cos (2 b l)}{(k^{2} - b^{2})^{2} \sin^{2} (2 b l) + 4 k^{2} b^{2}} \exp (- i k l) . \end{matrix}

可以验证

ψ_{k, 1}, ψ_{k, 2}

正交的条件（式 25 ）

Re [B^{*} E] = 0

。

　　透射率，反射率分别为

\begin{matrix} (23) & T = {| \frac{E}{A} |}^{2} = \frac{4 k^{2} b^{2}}{(k^{2} - b^{2})^{2} \sin^{2} (2 b l) + 4 k^{2} b^{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (24) & R = {| \frac{B}{A} |}^{2} = \frac{(k^{2} - b^{2}) \sin^{2} (2 b l)}{(k^{2} - b^{2})^{2} \sin^{2} (2 b l) + 4 k^{2} b^{2}} . \end{matrix}

$0 < E < V_{0}$ 的情况

　　当 $0 < E < V_{0}$ 时，系数解为

\begin{matrix} (25) & {\begin{aligned} A = 1 / \sqrt{2 π} \\ B = N \cdot (κ^{2} + k^{2}) \sinh (2 κ l) \exp (- i k l) \\ C = N \cdot k (i κ - k) \exp (- κ l) \\ D = N \cdot k (i κ + k) \exp (κ l) \\ E = N \cdot 2 i k κ \exp (- i k l), \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (26) & N = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{(k^{2} - κ^{2}) \sinh (2 κ l) - 2 i k κ \cosh (2 κ l)}{(k^{2} + κ^{2})^{2} \sinh^{2} (2 κ l) + 4 k^{2} κ^{2}} \exp (- i k l), \end{matrix}

\begin{matrix} (27) & T = {| \frac{E}{A} |}^{2} = \frac{4 k^{2} κ^{2}}{(k^{2} + κ^{2})^{2} \sinh^{2} (2 κ l) + 4 k^{2} κ^{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (28) & R = {| \frac{B}{A} |}^{2} = \frac{(κ^{2} + k^{2}) \sinh^{2} (2 κ l)}{(k^{2} + κ^{2})^{2} \sinh^{2} (2 κ l) + 4 k^{2} κ^{2}} . \end{matrix}

未完成：未完成：透射率反射率画图

投影系数

　　任意平方可积的波函数可以用正交归一化的行波展开为

\begin{matrix} (29) & ψ (x) = \int_{0}^{+ \infty} C_{1} (k) ψ_{k, 1} (x) + C_{2} (k) ψ_{k, 2} (x) d k, \end{matrix}

若

ψ (x)

只在

x < - l

不为零，则有

\begin{matrix} (30) & \begin{aligned} C_{1} (k) = ⟨ ψ_{k, 1} | ψ ⟩ = \tilde{ψ} (k) + \sqrt{2 π} B^{*} \tilde{ψ} (- k), \\ C_{2} (k) = ⟨ ψ_{k, 2} | ψ ⟩ = \sqrt{2 π} E^{*} \tilde{ψ} (- k), \end{aligned} \end{matrix}

其中

\tilde{ψ} (k)

是

ψ (x)

的傅里叶变换

\begin{matrix} (31) & \tilde{ψ} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ (x) e^{- i k x} d x . \end{matrix}

具体例子见 “方势垒散射数值计算”，我们将把一个高斯波包展开为散射态的积分。

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方势垒

1. 奇偶函数解

E≥V0 的情况

0<E<V0 的情况

2. 行波解

E>V0 的情况

0<E<V0 的情况

投影系数

$E \geq V_{0}$ 的情况

$0 < E < V_{0}$ 的情况

$E > V_{0}$ 的情况

$0 < E < V_{0}$ 的情况