连续正交归一基底与傅里叶变换

             

预备知识 傅里叶变换(指数),狄拉克 delta 函数

1. 离散的函数基底

   本文使用狄拉克符号.在 “傅里叶级数(三角)” 中,我们介绍了正交归一函数基底的概念,即把满足一定条件的一元函数的集合看作一个矢量空间,两个函数(矢量)的内积定义为

\begin{equation} \left\langle f \middle| g \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)^* g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
其中 $*$ 表示复共轭,如果空间中的函数都是实函数则可忽略.

   该空间中的一组正交归一基底用狄拉克符号表示为 $ \left\lvert x_i \right\rangle $($i = 1, 2,\dots$),基底的个数可以是有限个或无限个,空间的维数就是基底的个数.

   基底满足正交归一条件(式 1

\begin{equation} \left\langle x_i \middle| x_j \right\rangle = \delta_{i,j} \end{equation}
若这组正交归一基底是完备的,那么如果一个函数可以分解为它们的线性组合:
\begin{equation} \left\lvert f \right\rangle = \sum_j c_j \left\lvert x_j \right\rangle \end{equation}
两边左乘 $ \left\langle x_i \right\rvert $,则有
\begin{equation} \left\langle x_i \middle| f \right\rangle = \sum_j c_j \left\langle x_i \middle| x_j \right\rangle = \sum_j c_j \delta_{i,j} = c_i \end{equation}
\begin{equation} c_i = \left\langle x_i \middle| f \right\rangle \end{equation}
式 4 的过程相当于用正交归一性把 $ \left\lvert x_i \right\rangle $ 项从式 3 的求和中筛选了出来.我们得到几何矢量中一个熟悉的结论:一个矢量关于一组正交归一基底的坐标等于它在每个基底上的投影.

2. 连续的函数基底

   我们接下来用类似的方法来理解傅里叶变换(式 1

\begin{equation} g(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } g(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
我们令所有可以做傅里叶变换的函数构成的空间为 $X$,从傅里叶变换的公式,我们猜想该空间的正交归一 “基底” 为
\begin{equation} \left\lvert k \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \qquad (k \in \mathbb R) \end{equation}
严格来说,$X$ 空间的函数必须要满足 $ \left\langle x \middle| x \right\rangle $ 为有限值,而式 8 中的函数显然不满足这点,所以它们并不属于 $X$ 空间,而是一个包含 $X$ 的更大的空间,所以这个 “基底” 只是一个形象的说法,需要加上引号.

   显然,式 8 中的任意两个 “基底” 的内积都不收敛,而且 $k$ 的取值是连续的,所以我们不可能用式 2 表示它们的正交归一关系.但通过(式 14

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = 2\pi \delta(k) \end{equation}
可以得到一个和式 2 类似的关系
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle k' \middle| k \right\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k'x}}{\sqrt{2\pi}} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k'-k)x} \,\mathrm{d}{x} = \delta(k' - k) \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \left\langle k' \middle| k \right\rangle = \delta(k' - k) \end{equation}
这可以看作是连续基底的正交归一条件

   现在,把式 6 式 7 用狄拉克符号表示为

\begin{equation} g(k) = \left\langle k \middle| f \right\rangle \end{equation}
\begin{equation} f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(k') \left\lvert k' \right\rangle \,\mathrm{d}{k'} \end{equation}
它们可以分别看作是把式 5 式 3 拓展到连续基底的情况.根据定义,任何能做傅里叶(反)变换的 $f(x)$ 必定能展开成式 13 的形式.再来证明式 12 ,过程和式 4 类似:式 13 两边左乘 $ \left\langle k \right\rvert $,使用 $\delta$ 函数的性质式 9 把积分中 $ \left\lvert k \right\rangle $ 基底的系数 “筛选” 出来
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle k \middle| f \right\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty} g(k) \left\langle k \middle| k' \right\rangle \,\mathrm{d}{k} \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} g(k) \delta(k-k') \,\mathrm{d}{k'} = g(k) \end{aligned} \end{equation}
证毕.

   注意该证明并不仅限于傅里叶变换一种情况,任何连续的基底 $ \left\lvert k \right\rangle $ 只要满足正交归一条件式 11 ,且可以展开某函数 $f(x)$,就都能使式 12 成立.

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