连续正交归一基底与傅里叶变换

贡献者： addis

预备知识　傅里叶变换（指数），狄拉克 delta 函数，内积

1. 离散的函数基底

　　本文使用狄拉克符号。在 “傅里叶级数（三角）” 中，我们介绍了正交归一函数基底的概念，即把满足一定条件的一元函数的集合看作一个矢量空间，两个函数（矢量）的内积定义为

\begin{matrix} (1) & ⟨ f | g ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x)^{*} g (x) d x . \end{matrix}

其中

*

表示复共轭，如果空间中的函数都是实函数则可忽略。

　　该空间中的一组正交归一基底用狄拉克符号表示为 $| x_{i} ⟩$ （ $i = 1, 2, \dots$ ），基底的个数可以是有限个或无限个，空间的维数就是基底的个数。

　　基底满足正交归一条件（式 1 ）

\begin{matrix} (2) & ⟨ x_{i} | x_{j} ⟩ = δ_{i, j} . \end{matrix}

若这组正交归一基底是完备的，那么如果一个函数可以分解为它们的线性组合：

\begin{matrix} (3) & | f ⟩ = \sum_{j} c_{j} | x_{j} ⟩ . \end{matrix}

两边左乘

⟨ x_{i} |

，则有

\begin{matrix} (4) & ⟨ x_{i} | f ⟩ = \sum_{j} c_{j} ⟨ x_{i} | x_{j} ⟩ = \sum_{j} c_{j} δ_{i, j} = c_{i} . \end{matrix}

即

\begin{matrix} (5) & c_{i} = ⟨ x_{i} | f ⟩, \end{matrix}

式 4 的过程相当于用正交归一性把

| x_{i} ⟩

项从式 3 的求和中筛选了出来。我们得到几何矢量中一个熟悉的结论：一个矢量关于一组正交归一基底的坐标等于它在每个基底上的投影。

2. 连续的函数基底

　　我们接下来用类似的方法来理解傅里叶变换（式 1 ）

\begin{matrix} (6) & g (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) e^{- i k x} d x, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} g (k) e^{i k x} d k . \end{matrix}

我们令所有可以做傅里叶变换的函数构成的空间为

X

，从傅里叶变换的公式，我们猜想该空间的正交归一 “基底” 为

\begin{matrix} (8) & | k ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i k x} (k \in R) . \end{matrix}

严格来说，

X

空间的函数必须要满足

⟨ x | x ⟩

为有限值，而式 8 中的函数显然不满足这点，所以它们并不属于

X

空间，而是一个包含

X

的更大的空间，所以这个 “基底” 只是一个形象的说法，需要加上引号。

　　显然，式 8 中的任意两个 “基底” 的内积都不收敛，而且 $k$ 的取值是连续的，所以我们不可能用式 2 表示它们的正交归一关系。但通过狄拉克 delta 函数的式 14

\begin{matrix} (9) & \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i k x} d x = 2 π δ (k) . \end{matrix}

可以得到一个和式 2 类似的关系

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} ⟨ k^{'} | k ⟩ & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e^{- i k^{'} x}}{\sqrt{2 π}} \frac{e^{i k x}}{\sqrt{2 π}} d x \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i (k^{'} - k) x} d x = δ (k^{'} - k), \end{aligned} \end{matrix}

即

\begin{matrix} (11) & ⟨ k^{'} | k ⟩ = δ (k^{'} - k) . \end{matrix}

这可以看作是连续基底的正交归一条件。

　　现在，把式 6 和式 7 用狄拉克符号表示为

\begin{matrix} (12) & g (k) = ⟨ k | f ⟩, \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & f (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (k^{'}) | k^{'} ⟩ d k^{'} . \end{matrix}

它们可以分别看作是把式 5 和式 3 拓展到连续基底的情况。根据定义，任何能做傅里叶（反）变换的

f (x)

必定能展开成式 13 的形式。再来证明式 12 ，过程和式 4 类似：式 13 两边左乘

⟨ k |

，使用

δ

函数的性质式 9 把积分中

| k ⟩

基底的系数 “筛选” 出来

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} ⟨ k | f ⟩ & = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (k) ⟨ k | k^{'} ⟩ d k \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (k) δ (k - k^{'}) d k^{'} = g (k), \end{aligned} \end{matrix}

证毕。

　　注意该证明并不仅限于傅里叶变换一种情况，任何连续的基底 $| k ⟩$ 只要满足正交归一条件式 11 ，且可以展开某函数 $f (x)$ ，就都能使式 12 成立。

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