多元傅里叶变换

             

预备知识 傅里叶变换(指数),多元函数的傅里叶级数

   $N$ 维空间中,性质良好的标量函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(x_1, x_2, \dots, x_N)$ 都可以用 $N$ 维平面波 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 展开.

\begin{align} g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \int f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{N}{r} \\ f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \int g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{N}{k} \end{align}
这就是 $N$ 元函数的傅里叶变换和反变换.这个过程有点类似于多元函数的傅里叶级数,事实上 $N$ 维平面波就是许多一维平面波的乘积,令 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} = (k_1, k_2, \dots, k_N)$,有
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_1 x_1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_2 x_2} \dots \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_N x_N} \end{equation}
满足正交归一化条件(见狄拉克 delta 函数
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \int \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \frac{1}{\sqrt{2\pi}^N} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{N}{r} = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} '- \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \end{equation}
未完成:其实应该引用多元 delta 函数

   多元傅里叶变换的证明可以类比傅里叶变换(指数),不再赘述.

例 1 $N$ 维高斯波包

   要计算 $n$ 维高斯函数

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \exp\left(-a \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2\right) \qquad (a > 0) \end{equation}
的傅里叶变换,只需将式 5 代入式 1 并利用式 12 ,即得
\begin{equation} g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{1}{(\sqrt{2a})^N} \mathrm{e} ^{-\frac{k^2}{4a}} \end{equation}

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