库仑势能的球谐展开

             

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预备知识 球坐标系中的拉普拉斯方程

\begin{equation} \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } = 4\pi \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{2l+1} \frac{r_ < ^l}{r_ > ^{l+1}} \sum_{m = -l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ') Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
根据式 18 ,令 $\alpha$ 为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的夹角,上式也可以记为
\begin{equation} \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r_ < ^l}{r_ > ^{l+1}} P_l(\cos\theta) \end{equation}

1. 证明

   和 “平面波的球谐展开” 中的证明类似,我们既可以直接积分得到径向函数,根据式 2 还可以假设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 在 $z$ 轴.也可以在球坐标中解偏微分方程.

   除 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 点外,$f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }$ 符合拉普拉斯方程.球坐标系中拉普拉斯方程的通解为(式 15

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^l \left(C_{l,m} r^l + \frac{C'_{l,m}}{r^{l+1}} \right) P_l^m(\cos\theta) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \end{equation}
把空间划分为 $r < r'$ 和 $r > r'$ 两个区域.$r = 0$ 时函数需要有定义,所以 $r < r'$ 区间 $C'_{l,m} = 0$.另外要求 $r \to \infty$ 时 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \to 0$,所以当 $r > r'$,$C_{l,m} = 0$.

   接下来对比系数即可求出 $C_{l,m}$ 和 $C_{l,m}'$.

未完成:具体计算

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