库仑势能的球谐展开

                     

贡献者: addis

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 球坐标系中的拉普拉斯方程,库仑定律

   库仑势能的球谐展开为

\begin{equation} \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } = 4\pi \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{2l+1} \frac{r_ < ^l}{r_ > ^{l+1}} \sum_{m = -l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ') Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
根据式 20 ,令 $\alpha$ 为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} '$ 的夹角,上式也可以记为
\begin{equation} \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r_ < ^l}{r_ > ^{l+1}} P_l(\cos\alpha) = \sum_{l=0}^{\infty} \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} \frac{r_ < ^l}{r_ > ^{l+1}} Y_{l,0}(\alpha, 0) \end{equation}

图
图 1:左:$1/ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right\rvert $ 使用式 2 展开,右:左图延 $z$ 轴的截线 $1/ \left\lvert z - 1 \right\rvert $.注意左图中 $r = 1$ 的圆周上有肉眼可见的不收敛,增大 $l$ 的个数即可.

1. 证明

   和 “平面波的球谐展开” 中的证明类似,我们既可以直接积分得到径向函数,根据式 2 还可以假设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 在 $z$ 轴.也可以在球坐标中解偏微分方程.

   除 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 点外,$f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }$ 符合拉普拉斯方程.球坐标系中拉普拉斯方程的通解为(式 15

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^l \left(C_{l,m} r^l + \frac{C'_{l,m}}{r^{l+1}} \right) P_l^m(\cos\theta) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \end{equation}
把空间划分为 $r < r'$ 和 $r > r'$ 两个区域.$r = 0$ 时函数需要有定义,所以 $r < r'$ 区间 $C'_{l,m} = 0$.另外要求 $r \to \infty$ 时 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \to 0$,所以当 $r > r'$,$C_{l,m} = 0$.

   接下来对比系数即可求出 $C_{l,m}$ 和 $C_{l,m}'$.

未完成:具体计算

2. 附:画图代码

   图 1 的 Matlab 代码如下,其中 surfSph 函数见 “Matlab 球坐标中的分布图”.SphHarm 函数见 “球谐函数数值计算”.

代码 1:Ylm_Coul_exp.m
% expansion of 1/|r-r'| into Y_lm
% r' in z axis
lmax = 20;
r0 = 1;
Nr = 300; Nth = 300;
r = linspace(1e-5, 2.5, Nr);
mark = r <= r0;
th = linspace(0, 2*pi, Nth); ph = zeros(size(th));
data = zeros(Nr, Nth);
for l = 0:lmax
    % PChYlm_eq1
    data(mark, :) = data(mark, :) + ...
        sqrt(4*pi/(2*l+1)) * (r(mark).').^l ./ r0^(l+1) ...
        .* SphHarm(l, 0, th, ph);
    data(~mark, :) = data(~mark, :) + ...
        sqrt(4*pi/(2*l+1)) * r0^l ./ (r(~mark).').^(l+1) ...
        .* SphHarm(l, 0, th, ph);
end

[R, Th] = ndgrid(r, th); Ph = zeros(size(Th));
figure;
subplot(1, 2, 1);
surfSph(R, Th, Ph, data);
caxis([0, 5]);
title(['l <= ' num2str(l)]);
colorbar; colormap jet;

subplot(1, 2, 2);
plot(r, data(:,1));
hold on; plot(r, 1./abs(r-r0), '.');
legend('球谐展开', '1/|z-z''|');
axis([0, r(end), 0, 5]);
xlabel z;
title(['l <= ' num2str(l)]);


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利