库仑势能的球谐展开

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　球坐标系中的拉普拉斯方程，库仑定律

　　库仑势能的球谐展开为

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{| r - r^{'} |} = 4 π \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{1}{2 l + 1} \frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l + 1}} \sum_{m = - l}^{l} Y_{l, m}^{*} ({\hat{r}}^{'}) Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{matrix}

根据式 24 ，令

α

为

\hat{r}, {\hat{r}}^{'}

的夹角，上式也可以记为

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{| r - r^{'} |} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l + 1}} P_{l} (\cos α) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sqrt{\frac{4 π}{2 l + 1}} \frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l + 1}} Y_{l, 0} (α, 0) . \end{matrix}

图 1：左：

1 / | r - \hat{z} |

使用式 2 展开，右：左图延

z

轴的截线

1 / | z - 1 |

。注意左图中

r = 1

的圆周上有肉眼可见的不收敛，增大

l

的个数即可。

1. 证明

　　和 “平面波的球谐展开” 中的证明类似，我们既可以直接积分得到径向函数，根据式 2 还可以假设 $r^{'}$ 在 $z$ 轴。也可以在球坐标中解偏微分方程。

　　除 $r^{'}$ 点外， $f (r) = \frac{1}{| r - r^{'} |}$ 符合拉普拉斯方程。球坐标系中拉普拉斯方程的通解为（式 15 ）

\begin{matrix} (3) & f (r) = f (r, θ, ϕ) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} (C_{l, m} r^{l} + \frac{C_{l, m}^{'}}{r^{l + 1}}) P_{l}^{m} (\cos θ) e^{i m ϕ}, \end{matrix}

把空间划分为

r < r^{'}

和

r > r^{'}

两个区域。

r = 0

时函数需要有定义，所以

r < r^{'}

区间

C_{l, m}^{'} = 0

。另外要求

r \to \infty

时

f (r) \to 0

，所以当

r > r^{'}

，

C_{l, m} = 0

。

　　接下来对比系数即可求出 $C_{l, m}$ 和 $C_{l, m}^{'}$ 。

未完成：具体计算

2. 附：画图代码

　　图 1 的 Matlab 代码如下，其中 surfSph 函数见 “Matlab 球坐标中的分布图”。SphHarm 函数见 “球谐函数数值计算”。

代码 1：Ylm_Coul_exp.m

% expansion of 1/|r-r'| into Y_lm
% r' in z axis
lmax = 20;
r0 = 1;
Nr = 300; Nth = 300;
r = linspace(1e-5, 2.5, Nr);
mark = r <= r0;
th = linspace(0, 2*pi, Nth); ph = zeros(size(th));
data = zeros(Nr, Nth);
for l = 0:lmax
    % eq_PChYlm_1
    data(mark, :) = data(mark, :) + ...
        sqrt(4*pi/(2*l+1)) * (r(mark).').^l ./ r0^(l+1) ...
        .* SphHarm(l, 0, th, ph);
    data(~mark, :) = data(~mark, :) + ...
        sqrt(4*pi/(2*l+1)) * r0^l ./ (r(~mark).').^(l+1) ...
        .* SphHarm(l, 0, th, ph);
end

[R, Th] = ndgrid(r, th); Ph = zeros(size(Th));
figure;
subplot(1, 2, 1);
surfSph(R, Th, Ph, data);
caxis([0, 5]);
title(['l <= ' num2str(l)]);
colorbar; colormap jet;

subplot(1, 2, 2);
plot(r, data(:,1));
hold on; plot(r, 1./abs(r-r0), '.');
legend('球谐展开', '1/|z-z''|');
axis([0, r(end), 0, 5]);
xlabel z;
title(['l <= ' num2str(l)]);

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