球谐展开中径向函数的归一化

贡献者： addis

预备知识　球贝塞尔函数，平面波的的正交归一化，狄拉克 delta 函数

　　若一组径向函数基底 $u_{l, m} (k, r)$ 满足归一化条件

\begin{matrix} (1) & \int_{0}^{\infty} u_{l, m}^{*} (k^{'}, r) u_{l, m} (k, r) d r = δ (k - k^{'}), \end{matrix}

则球坐标中一组完备正交归一的函数基底为

\begin{matrix} (2) & | s_{l, m} (k) ⟩ = \frac{1}{r} u_{l, m} (k, r) Y_{l, m} (\hat{r}), \end{matrix}

满足正交归一条件

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ⟨ s_{l, m} (k) | s_{l^{'}, m^{'}} (k^{'}) ⟩ \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{r} u_{l, m}^{*} (k, r) \frac{1}{r} u_{l^{'}, m^{'}} (k^{'}, r) r^{2} d r \int Y_{l, m}^{*} (\hat{r}) Y_{l^{'}, m^{'}} (\hat{r}) d Ω \\ = δ_{l, l^{'}} δ_{m, m^{'}} δ (k - k^{'}) . \end{aligned} \end{matrix}

1. 推导

　　空间中任意复函数可以用式 2 中的基底展开为

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} f (r) & = \sum_{l, m} \int_{0}^{\infty} c_{l, m} (k) | s_{l, m} (k) ⟩ d k \\ = \frac{1}{r} \sum_{l, m} (\int_{0}^{\infty} c_{l, m} (k) u_{l, m} (k, r) d k) Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{aligned} \end{matrix}

函数在任意基底上的投影为

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} ⟨ s_{l, m} (k) | f (r) ⟩ & = \sum_{l^{'}, m^{'}} \int_{0}^{\infty} d k^{'} c_{l^{'}, m^{'}} (k^{'}) ⟨ s_{l, m} (k) | s_{l^{'}, m^{'}} (k^{'}) ⟩ \\ = \sum_{l^{'}, m^{'}} \int_{0}^{\infty} d k^{'} c_{l^{'}, m^{'}} (k^{'}) δ_{l, l^{'}} δ_{m, m^{'}} δ (k - k^{'}) \\ = c_{l, m} (k) . \end{aligned} \end{matrix}

令

| f ⟩

的分波展开形式为

\begin{matrix} (6) & f (r) = \frac{1}{r} \sum_{l, m} g_{l, m} (r) Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{matrix}

则

g_{l, m} (r)

和

c_{l, m} (k)

有类似傅里叶变换的关系

\begin{matrix} (7) & g_{l, m} (r) = \int_{0}^{\infty} c_{l, m} (k) u_{l, m} (k, r) d k, \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & c_{l, m} (k) = \int_{0}^{\infty} u_{l, m}^{*} (k, r) g_{l, m} (r) d r . \end{matrix}

例 1　归一化的球贝塞尔函数

　　由于 $e^{i k x}$ 从负无穷到正无穷的归一化积分为 $2 π δ (k - k^{'})$ ，易得 $\sin (k x)$ 的积分为 $π δ (k - k^{'})$ （先表示成指数形式），从 0 到正无穷的积分为 $π δ (k - k^{'}) / 2$ 。

　　注意归一化只需要渐进表达式即可（因为局部的不同相对于无穷积分来说可以忽略）。球贝塞尔函数的渐进形式为 $j_{l} (k r) \to \sin (k r - l π / 2) / (k r)$ ，所以 $k r j_{l} (k r)$ 从 0 到正无穷的归一化积分同样是 $π δ (k - k^{'}) / 2$ 。所以归一化的球贝塞尔函数为

\begin{matrix} (9) & u_{l, m} (k, r) = \sqrt{\frac{2}{π}} k r j_{l} (k r), \end{matrix}

渐进形式为

\begin{matrix} (10) & u_{l, m} (k, r) \to \sqrt{\frac{2}{π}} \sin (k r - l π / 2) . \end{matrix}

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球谐展开中径向函数的归一化

1. 推导

例 1 归一化的球贝塞尔函数

例 1　归一化的球贝塞尔函数