球谐展开中径向函数的归一化

                     

贡献者: addis

预备知识 球贝塞尔函数,平面波的的正交归一化狄拉克 delta 函数

   若一组径向函数基底 $u_{l,m}(k, r)$ 满足归一化条件

\begin{equation} \int_0^\infty u^*_{l,m}(k',r) u_{l,m}(k, r) \,\mathrm{d}{r} = \delta(k - k')~, \end{equation}
则球坐标中一组完备正交归一的函数基底为
\begin{equation} \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle = \frac{1}{r} u_{l,m}(k, r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~, \end{equation}
满足正交归一条件
\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \left\langle s_{l,m}(k) \middle| s_{l',m'}(k') \right\rangle \\ &= \int_0^\infty \frac{1}{r} u_{l,m}^*(k, r) \frac{1}{r} u_{l',m'}(k', r) r^2 \,\mathrm{d}{r} \int Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l',m'}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\ &= \delta_{l,l'}\delta_{m,m'}\delta(k-k')~. \end{aligned} \end{equation}

1. 推导

   空间中任意复函数可以用式 2 中的基底展开为

\begin{equation} \begin{aligned} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= \sum_{l,m} \int_0^\infty c_{l,m}(k) \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle \,\mathrm{d}{k} \\ &= \frac{1}{r}\sum_{l,m} \left(\int_0^\infty c_{l,m}(k) u_{l,m}(k, r) \,\mathrm{d}{k} \right) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~. \end{aligned} \end{equation}
函数在任意基底上的投影为
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle s_{l,m}(k) \middle| f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rangle &= \sum_{l',m'} \int_0^\infty \,\mathrm{d}{k'} c_{l',m'}(k') \left\langle s_{l,m}(k) \middle| s_{l',m'}(k') \right\rangle \\ & = \sum_{l',m'} \int_0^\infty \,\mathrm{d}{k'} c_{l',m'}(k') \delta_{l,l'}\delta_{m,m'}\delta(k-k')\\ & = c_{l,m}(k)~. \end{aligned} \end{equation}
令 $ \left\lvert f \right\rangle $ 的分波展开形式为
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} g_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~. \end{equation}
则 $g_{l,m}(r)$ 和 $c_{l,m}(k)$ 有类似傅里叶变换的关系
\begin{equation} g_{l,m}(r) = \int_0^\infty c_{l,m}(k) u_{l,m}(k, r) \,\mathrm{d}{k} ~, \end{equation}
\begin{equation} c_{l,m}(k) = \int_0^\infty u_{l,m}^*(k, r) g_{l,m}(r) \,\mathrm{d}{r} ~. \end{equation}

例 1 归一化的球贝塞尔函数

   由于 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}$ 从负无穷到正无穷的归一化积分为 $2\pi\delta(k-k')$,易得 $ \sin\left(kx\right) $ 的积分为 $\pi\delta(k-k')$(先表示成指数形式),从 0 到正无穷的积分为 $\pi\delta(k-k')/2$。

   注意归一化只需要渐进表达式即可(因为局部的不同相对于无穷积分来说可以忽略)。球贝塞尔函数的渐进形式为 $j_l(kr) \to \sin\left(kr - l\pi/2\right) /(kr)$,所以 $kr j_l(kr)$ 从 0 到正无穷的归一化积分同样是 $\pi\delta(k-k')/2$。所以归一化的球贝塞尔函数为

\begin{equation} u_{l,m}(k, r) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} kr j_l(kr)~, \end{equation}
渐进形式为
\begin{equation} u_{l,m}(k, r) \to \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin\left(kr - l\pi/2\right) ~. \end{equation}


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利