球谐展开中径向函数的归一化

             

预备知识 球贝塞尔函数,平面波的的正交归一化

   若一组径向函数基底 $u_{l,m}(k, r)$ 满足归一化条件

\begin{equation} \int_0^\infty u^*_{l,m}(k',r) u_{l,m}(k, r) \,\mathrm{d}{r} = \delta(k - k') \end{equation}
则球坐标中一组完备正交归一的函数基底为
\begin{equation} \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle = \frac{1}{r} u_{l,m}(k, r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
满足正交归一条件
\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \left\langle s_{l,m}(k) \middle| s_{l',m'}(k') \right\rangle \\ &= \int_0^\infty \frac{1}{r} u_{l,m}^*(k, r) \frac{1}{r} u_{l',m'}(k', r) r^2 \,\mathrm{d}{r} \int Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l',m'}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\ &= \delta_{l,l'}\delta_{m,m'}\delta(k-k') \end{aligned} \end{equation}

1. 推导

   空间中任意复函数可以用式 2 中的基底展开为

\begin{equation} \begin{aligned} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= \sum_{l,m} \int_0^\infty c_{l,m}(k) \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle \,\mathrm{d}{k} \\ &= \frac{1}{r}\sum_{l,m} \left(\int_0^\infty c_{l,m}(k) u_{l,m}(k, r) \,\mathrm{d}{k} \right) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{aligned} \end{equation}
函数在任意基底上的投影为
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle s_{l,m}(k) \middle| f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rangle &= \sum_{l',m'} \int_0^\infty \,\mathrm{d}{k'} c_{l',m'}(k') \left\langle s_{l,m}(k) \middle| s_{l',m'}(k') \right\rangle \\ & = \sum_{l',m'} \int_0^\infty \,\mathrm{d}{k'} c_{l',m'}(k') \delta_{l,l'}\delta_{m,m'}\delta(k-k')\\ & = c_{l,m}(k) \end{aligned} \end{equation}
令 $ \left\lvert f \right\rangle $ 的分波展开形式为
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} g_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
则 $g_{l,m}(r)$ 和 $c_{l,m}(k)$ 有类似傅里叶变换的关系
\begin{equation} g_{l,m}(r) = \int_0^\infty c_{l,m}(k) u_{l,m}(k, r) \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
\begin{equation} c_{l,m}(k) = \int_0^\infty u_{l,m}^*(k, r) g_{l,m}(r) \,\mathrm{d}{r} \end{equation}

例 1 归一化的球贝塞尔函数

   由于 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}$ 从负无穷到正无穷的归一化积分为 $2\pi\delta(k-k')$,易得 $ \sin\left(kx\right) $ 的积分为 $\pi\delta(k-k')$(先表示成指数形式),从 0 到正无穷的积分为 $\pi\delta(k-k')/2$.

   注意归一化只需要渐进表达式即可(因为局部的不同相对于无穷积分来说可以忽略).球贝塞尔函数的渐进形式为 $j_l(kr) \to \sin\left(kr - l\pi/2\right) /(kr)$,所以 $kr j_l(kr)$ 从 0 到正无穷的归一化积分同样是 $\pi\delta(k-k')/2$.所以归一化的球贝塞尔函数为

\begin{equation} u_{l,m}(k, r) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} kr j_l(kr) \end{equation}
渐进形式为
\begin{equation} u_{l,m}(k, r) \to \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin\left(kr - l\pi/2\right) \end{equation}

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