恒等式与恒成立不等式（高中）

                     

贡献者： 欄、停敘

预备知识 1　等式与不等式

　　 在等式与不等式中已经介绍过等式和不等式的概念，本文将专注处理恒成立的等式和不等式。恒成立指的是在给定的变量取值范围中，不论取哪个值，等式（或不等式）均成立。尽管普通的不等式方程也可说在他们的解集上恒成立，但一般来讲对不等式而言恒成立要求的取值范围更广泛一些。

1. 恒等式

　　 恒成立的等式称作恒等式（identities），某些时刻为了强调恒等关系会采用 $\equiv$ 来代替 $=$。对于一个恒等式，等号两侧的对应参数在代数关系上也需要完全一致。这是恒等式的本质属性，也是待定系数法成立的基础。比如：若等式 $ax^2+bx+c=x^2+2x+1$ 是恒等式，则必有 $a=c=1,b=2$，若不是恒等式，则需要研究方程 $(a-1)x^2+(b-2)x+(c-1)=0$，根据 $\Delta=(b-2)^2-4(a-1)(c-1)$ 来判断解的形式。因此，在看到等号时，及时判断其是否为恒等式影响深远。

常见恒等式

　　 在高中阶段，常见的恒等式包括三角恒等式、组合恒等式以及代数运算中的恒等式，包括二项式定理（Binomial theorem）和等幂和差公式（Sum and difference of powers）。

定理 1　二项式定理

　　 对两个表达式 $a$ 与 $b$ 和正整数 $n$ 有：

\begin{equation} \displaystyle(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{\mathrm C}_n^ka^kb^{n-k}~. \end{equation}
其中，${\mathrm C}_n^k$ 称作组合数，${\mathrm C}_n^k={n!\over k!(n-k)!}$，$\sum$ 为求和符号。两个常见的特例为：

  • 完全平方：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
  • 完全立方：$(a\pm b)^2=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^2$

　　 完全平方和完全立方公式的 $\pm$ 符号，可以认为是 $a+(\pm b)$，这样就能解释拆开后的 $\pm$ 出现的规律——它们都出现在 $b$ 为奇次的项前面。

定理 2　等幂和差公式

　　 两个表达式 $a$ 与 $b$ 的幂次均为 $n$（$n\in\mathbb{N}$），则它们的差具有如下关系：

\begin{equation} a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1})~. \end{equation}
若 $n$ 为奇数，则它们的和具有如下关系：
\begin{equation} a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \cdots + b^{n-1})~. \end{equation}
以下是两个常见特例：

  • $n=2$ 时，称作平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
  • $n=3$ 时，称作立方和、差公式$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b)$

　　 这个公式在因式分解中相当常用，另外，偶数次的和没有分解方式。

恒等式与公式、定义

　　 公式（formula）和定义（式）（definition）是两个常见且容易与恒等式混淆的概念。实际上，二者都属于恒等式的范畴，但侧重点和应用场景不同。

　　 恒等式的本质在于揭示数学中的普遍规律，是一种真理性陈述。具体来说，定义式通过明确的等号，将数学对象与其性质或关系结合在一起。如果定义式不成立，就意味着相关定义已经发生改变。例如，小学时 $\pi$ 被定义为圆的周长与直径之比，这一关系必须恒成立，才能使 $\pi$ 的定义具有一致性。

　　 相比之下，公式更关注变量之间的联系及其在特定情境中的应用。公式通常在约定的范围内成立，且一般应用的条件或范围也并不苛刻。以圆的面积公式 $A = \pi r^2$ 为例，这不仅揭示了圆的面积与半径之间的关系，也为具体计算提供了有力工具。公式的主要作用在于描述变量间的依赖关系，并广泛应用于问题解决的过程中。

　　 除了在数学中，公式在其他学科中同样具有重要价值。例如：

　　 综上所述，定义式提供了理论基础，确保数学对象的概念清晰和一致；而公式则更注重描述关系、解决问题的工具性。二者的不同点在物理领域将非常凸显。

与函数相关的恒等式

预备知识 2　导数

　　 当讨论两个函数相等时，需明确 “相等” 的具体含义。在数学中，函数相同通常意味着它们在定义域、对应关系以及值域上完全一致，这与定义一个函数时，用一个记号 $f(x)$ 等于某个表达式一致。这时的等式就是恒等式。恒等式的一个重要性质是，它在定义域的每一点都成立，因此可以对等式两侧进行求导、积分等运算，而不改变恒等关系。

　　 而对于等式 $f(x)=g(x)$，若它是指恒等关系，那么这一表述是平凡的，因为它只意味着改了个名称符号。因此，这种表达式出现时通常指的是条件等式，也就是方程。它仅在特定条件或某些点上成立，而通过求解可以找出使等式成立的点，这些点通常对应于两个函数的交点。对于一般的条件等式，不可以对等式两侧进行求导、积分等操作，因为条件等式仅在特定点上成立，运算可能会破坏其成立的条件，修改等式原本表达的含义。

　　 例如：对 $f(x)=2x^2$ 两侧求导可以得到 $f'(x)=4x$，而对 $x^2=2x+4$ 两侧求导，则得到 $2x=2\implies x=1$，此时并非原方程的解1。

2. 不等式恒成立的条件

　　 与等式的情况相同，存在某些不等式对任意变量值都成立，此时称不等式恒成立。由于不等式恒成立经常做为题目背景给出，下面会在最值概念的基础上，解释一下常见的表述方式，以防看到某个不等式恒成立时，读者无法理解它背后想要传递的内容。

最值

　　 最值（extreme value）是生活中一个极为常见的概念，用来描述一组可以比较的量的范围。无论是物理上的高度、温度，还是其他可量化的数值，确定其最值可以帮助更快地掌握这些量的变化或分布情况。在数学中，最值通常分为最大值（maximum）和最小值（minimum）。对于不同的对象，最值有多种定义和表示方法，但无论形式如何，其核心目标始终是为了确定这些量的范围。例如，两个数的最值运算是最基本的情况。生活中经常遇到类似的场景，例如比较两个朋友的身高。若想知道谁更高，需要求最大值，而若想知道谁更矮，则需要求最小值。

定义 1　最值运算

　　 对于两个实数 $a,b$，最大值运算 $\max(a,b)$ 的结果定义为二者更大的值：

\begin{equation} \max(a,b)=\begin{cases} a,\qquad a\geq b\\ b,\qquad b>a \end{cases}~. \end{equation}
最小值运算 $\min(a,b)$ 的结果定义为二者更小的值：
\begin{equation} \min(a,b)=\begin{cases} a,\qquad a\leq b\\ b,\qquad b< a \end{cases}~. \end{equation}

　　 关于对两个数进行的最值运算，有个蛮有趣的通用计算规则，或许可以帮助你理解它为什么是一个运算：

\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle\max(a, b) = \frac{a + b + |a - b|}{2} \\ \displaystyle\min(a, b) = \frac{a + b - |a - b|}{2} \\ \end{array}~. \end{equation}

　　 这个计算规则，利用了绝对值隐含的不等式性质。在最值运算中，可以将多个需要比较的项用括号括起来，比如 $\max(1,2,3,4)$。然而，这种方式对项目较多的情形来说显得繁琐而冗长。为了解决这个问题，可以借助集合的概念，将多个元素集合化，然后直接对集合进行最值运算，表述为 $\max\{a, b, c, d\}$，从而更直观地表达 “从一组数中找最大值” 的含义。于是有下面针对集合的最值。

定义 2　集合的最值

　　 对于一个全序（total order）集 $A$2，集合的最值指的是最大或最小的元素，分别记作：

\begin{equation} \max A\qquad\text{和}\qquad\min A~. \end{equation}

　　 对于有限集合，最值的确定相对简单，可以通过比较直接得到。而当集合包含无限多个元素时，讨论最值的范围超出了高中数学的要求，但可以借助区间的概念进行直观理解。

　　 如果一个集合是闭区间，例如 $[a, b]$，由于端点 $a$ 和 $b$ 属于集合，因此集合在这两个方向上都存在最值，最小值为 $a$，最大值为 $b$。相反，对于开区间 $(a, b)$，端点 $a$ 和 $b$ 并不属于集合。根据实数的稠密性，可以在任意给定的最值与端点之间找到其他满足条件的最值，因此无法明确确定一个最值。这种情况下，称集合的最值不存在。3

　　 除了区间之外的集合，通常会由函数给出，于是得到了函数的最值。

定义 3　函数的最值

　　 对定义在 $D$ 上函数 $f(x)$，若存在 $x_0\in D$ 使得 $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的所有值中最大的，则称 $f(x_0)$ 为函数的最大值，记作：

\begin{equation} f(x_0) = \max_{x \in D} f(x)~. \end{equation}
反之，若是最小的，则称 $f(x_0)$ 为函数的最小值，记作：
\begin{equation} f(x_0) = \min_{x \in D} f(x)~. \end{equation}

　　 二者其实对应的就是函数图像中的最高点和最低点。关于函数的最值，更多的研究会在函数部分展开。

不等式恒成立条件

　　 若给定集合 $A$，在 $A$ 上函数满足：

\begin{equation} \displaystyle\max_{x\in A} f(x)\leq 0\qquad\text{或}\qquad\min_{x\in A} f(x)\geq 0~. \end{equation}
，则称 $f(x)\leq 0$ 或 $f(x)\geq 0$ 在 $A$ 上恒成立。可以这么理解，如果一组数里面最大的都是负数，那么剩下的也都是负数，而反过来，如果一组数里面最小的都是正数，那么剩下的也都是正书。

　　 $f(x)\leq g(x)$ 或 $f(x)\geq g(x)$ 成立的充要条件是函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 满足之前的恒成立条件。如果想要各自考虑 $f(x),g(x)$，而不是上面的方法。那么 $\max f(x)\leq\min g(x)$ 或 $\min f(x)\geq\max g(x)$ 对于恒成立而言是充分不必要条件。以第一个为例，成立的原因是 $f(x)\leq\max f(x)\leq\min g(x)\leq g(x)$，这是一种严格的成立，就像二者中间有一个区域，谁都不越雷池一步。

未完成：说明图，一个是彼此交错但不超过，一个是中间严格不大于。

　　 这里容易搞混符号，注意，$\min f(x)\leq\min g(x)$ 或 $\max f(x)\geq\max g(x)$ 对于恒成立而言既不充分也不必要，因为这只描述了一个值的关系，可能只有一部分点满足了大小关系，而其余则相反。

　　

未完成：说明图，瘦高矮胖的正态分布

　　 另外如果 $g(x)=c$ 是常数，则之前的成立条件也可认为是：若在 $A$ 上函数满足：

\begin{equation} \displaystyle\max_{x\in A} f(x)\leq a\qquad\text{或}\qquad\min_{x\in A} f(x)\geq b~. \end{equation}
，则称 $f(x)\leq a$ 或 $f(x)\geq b$ 在 $A$ 上恒成立。

　　 一般出现在题目中时，往往会给出一个含参的函数，如 $f(x;a,b,c)=ax^2+bx+c$ 等。这时需要根据题目的条件，利用上面的成立条件来推导。下面给出一些常用的不同的函数或运算满足的恒成立的不等式，请在使用时注意他们成立的前提条件和取等条件：

表1：常见的恒成立不等式
成立前提 不等式 取等条件
$x\in\mathbb{R}$$|x|\geq0$$x=0$
$x\in\mathbb{R}$$x^{2n}\geq0\quad(n\in\mathbb{Z})$$x=0$
$x\in[0,+\infty)$$x^{1\over2n}\geq0\quad(n\in\mathbb{Z})$$x=0$
$x\in\mathbb{R}$，$b^2-4ac\leq0$ 且 $a>0$4$ax^2+bx+c\geq0$$b^2-4ac=0$ 且 $\displaystyle x=-{2a\over b}$
$x\in\mathbb{R}$，$b^2-4ac\leq0$ 且 $a<0$5$ax^2+bx+c\leq0$$b^2-4ac=0$ 且 $\displaystyle x=-{2a\over b}$
$x\in\mathbb{R}$$a^x>0\quad(a\in\mathbb{R}^+)$-
$x\in\mathbb{R}$$|\sin x|\leq 1$$\displaystyle x={\pi\over2}+k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$
$x\in\mathbb{R}$$|\cos x|\leq 1$$x=k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$
$\displaystyle x\in[0,{\pi\over2})$$\sin x\leq x\leq\tan x$$x=0$
$\displaystyle a>b>0,c>0$$\displaystyle{a\over b}<{a+c\over b+c}$6-

　　 还有一种常见的情况，选取 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的某条切线，此时，切点往往成为取等的临界条件。比如 $\forall x\in\mathbb{R},e^x\geq x+1$ 当且仅当 $x=0$ 时成立，又如 $\forall x\in\mathbb{R}^+,\ln x\leq x-1$ 当且仅当 $x=1$ 时成立。这往往会成为考题的考点。

3. 基本不等式

　　 基本不等式是基于 $(a-b)^2\geq0$ 得到的一组不等关系。由于 $(a-b)^2\geq0$ 在实数域恒成立，因此由此推广得到的不等式也是在实数域恒成立的，而在复数域则不具备这种关系。推广的过程是通过向 $a,b$ 赋值实现的，而推广后由于不等号两边的表达式均为某种均值的形式，因此基本不等式也称为均值不等式，而由于存在多种均值，也有人称其为（均值）不等式链。

基本不等式的简易形式

　　 下面给出的是高中要求的常见形式：

定理 3　基本不等式（简易）

\begin{equation} {a^2+b^2\over2}\geq ab\qquad\text{或}\qquad{a+b\over2}\geq \sqrt{ab}~. \end{equation}
当且仅当 $a=b$ 时取等。

　　 证明过程是显然的，将 $(a-b)^2\geq0$ 打开并移项就可以得到，或后的写法也只是将 $a,b$ 替换成了 $\sqrt{a},\sqrt{b}$。但他背后的意义是深远的，一般称 $\displaystyle a+b\over2$ 为算术平均数（Arithmetic mean，或算数均值），也就是通常生活中提到平均值时所指的数，称 $\sqrt{ab}$ 为几何平均数（Geometric mean，或几何均值）。几何平均数通常在计算增长率时使用，比如投资某个项目，第一年的收益率是 $4\%$，第二年是 $10\%$，则两年的平均收益率并非 $\displaystyle {104\%+110\%\over2}-1=7\%$，而是 $\sqrt{1.04\times1.10}-1=6.96\%$。根据基本不等式，如果直接计算算术平均数，则总会高估实际的收益率。

　　 同时，根据 $a^2+b^2\geq2ab$ 可以得到 $2a^2+2b^2\geq a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，两侧同时开方则有：

\begin{equation} \sqrt{a^2+b^2\over2}\geq{a+b\over2}~. \end{equation}
而将 $a^2+b^2\geq2ab$ 中的 $a,b$ 替换成 $\displaystyle\sqrt{1\over a},\sqrt{1\over b}$，则有 $\displaystyle{1\over a}+{1\over b}\geq{2\over\sqrt{ab}}$，即：
\begin{equation} {2\over\displaystyle{1\over a}+\displaystyle{1\over b}}\leq\sqrt{ab}~. \end{equation}
其中，$\displaystyle \sqrt{a^2+b^2\over2}$ 称为平方平均数（Quadratic mean，或平方均值），它的特点是越大的值影响越大，或者说给予较大的值更高的权重。通常用在一些 $0$ 附近的数上，来反映波动程度。$\displaystyle{2\over\displaystyle{1\over a}+\displaystyle{1\over b}}$ 称为调和平均数（Harmonic mean，或调和均值），通常用来计算等量变化时的速率或比率，比如一段路一半以 $60{\rm km/h}$ 的速度运动，另一半以 $30{\rm km/h}$ 的速度运动，那么平均速度是 $\displaystyle \frac{2}{\displaystyle\frac{1}{60} + \frac{1}{30}} = 40{\rm km/h}$，而非 $\displaystyle{60+30\over2}=45{\rm km/h}$。

　　 注意，本节出现的 $a,b$ 都是变量，因此可以给其赋予某个数或某种函数，例如取 $\displaystyle a=x,b={1\over x}$，此时有：$\displaystyle x+{1\over x}\geq2,\quad(x>0)$

*不等式链

　　 下面的内容高中目前不再涉及，作为开阔视野。这四种均值都有广泛的应用7。事实上，上面的四种平均数都可以扩展至多个数，对于一列数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有如表 2 所示的均值形式。

表2：常见平均数（或均值）
名称 常用字母 表达式 与数列的关系
平方平均数8$Q$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^nQ^2= \sum_{i=1}^na_i^2$
算术平均数$A$ $\displaystyle \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^nA= \sum_{i=1}^n{a_i}$
几何平均数$G$ $\displaystyle \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}$ $\displaystyle \prod_{i=1}^nG= \prod_{i=1}^n{a_i}$
调和平均数$H$ $\displaystyle \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{1}{H}= \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$

　　 在表 2 中，有一列展示了不同均值与数列的关系。通过分析这一列的表达式，可以清晰地理解每种均值的具体形式是如何得出的。这些表达式揭示了每种均值的计算方法和背后的数学结构，同时也提示了不同均值适用的情境。定理 4 是从之前的简单形式推广得到的，此处不加证明地给出。

定理 4　均值不等式

　　 对于一列数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有

\begin{equation} Q\geq A\geq G\geq H~. \end{equation}
即
\begin{equation} \displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2}{n}}\geq \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i}{n}\geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\geq \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}~. \end{equation}
当且仅当 $\forall 0\leq i,j\leq n,a_i=a_j$ 时取等。

4. *排序不等式

　　 假设有两列数字 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \dots, b_n$。当满足条件 $\forall 1 \leq i < j \leq n, a_i \leq a_j \land b_i \leq b_j$ 时，称这两列为顺序排列（increasingly ordered），即两个序列的增长方向一致。当满足 $\forall 1 \leq i < j \leq n, a_i \leq a_j \land b_i \geq b_j$ 时，则称为逆序排列（decreasingly ordered），表示两个序列的增长方向相反。若不满足以上任一条件的排列方式，则称为乱序排列（unordered），即增长方向无规则。

　　 基于上述定义，可以使用排序不等式来比较不同排列的和的大小关系。排序不等式表明：逆序和 $\leq$ 乱序和 $\leq$ 顺序和。这一不等式的证明基于数学归纳法和两非正数之积非负的性质，因此排序不等式的使用范围也与均值不等式相同。事实上，可以使用排序不等式证明基本不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式等其他恒成立的不等式。它的规范表述如下：

定理 5　排序不等式

　　 设两列数字 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \cdots, b_n$，两列数分别满足 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ 和 $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$。那么有如下不等式：

\begin{equation} \sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i}~, \end{equation}
其中 $\sigma$ 表示对 ${1, 2, \cdots, n}$ 的非顺序、逆序的任意排列，当且仅当 $\forall 1\leq i,j\leq n,a_i=a_j$ 或 $\forall 1\leq i,j\leq n,b_i=b_j$ 时，等号成立。

　　 由于证明方法只使用了高中常见的方法，下面给出证明过程。

引理 1　若 $a\geq b,m\geq n$，则 $am+bn\geq an+bm$

　　 证明：

　　 取 $a=b+k,m=n+p$，则 $k,p\geq0$，代入有：

\begin{equation} \begin{split} am+bn&= (b+k)m+(a-k)n \\ &= bm+an+kp \\ &\geq an+bm \end{split}~. \end{equation}
或者由 $a\geq b,m\geq n$ 有 $a-b\geq 0,m- n\geq0$，从而 $(a-b)(m- n)\geq0$，打开整理即可得到结论。上面两种方法都可以知道，原不等式当且仅当 $a=b$ 或 $m=n$ 时取等。

　　 下面使用数学归纳法证明排序不等式中顺序和不小于乱序和，逆序部分同理：

　　 1. 当 $n=1$ 时显然成立；

　　 2. 假设当 $n$ 时，任意乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n)$ 时不等式均成立。当取 $n+1$ 时，$\forall 1\leq i\leq n$ 有 $a_{n+1}>a_i,b_{n+1}>b_i$，从而代入假设有：

\begin{equation} \begin{split} \sum_{i=1}^{n+1} a_i b_i&=\sum_{i=1}^n a_i b_i+a_{n+1}b_{n+1}\\ &\overset{\mathrm{1}}{\geq} \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} +a_{n+1}b_{n+1} \\ &\overset{\mathrm{2}}{\geq} \sum_{i=1}^{n+1} a_i b_{\sigma(i)} \\ \end{split}~. \end{equation}
其中：第一个 $\geq$ 根据假设，成立，对应 $1$ 种乱序的情况；第二个 $\geq$ 是交换了某个 $b_{\sigma(i)}$ 和 $b_{n+1}$，此时根据引理 1 可知，必有 $a_i b_{\sigma(i)}+a_{n+1}b_{n+1}\geq a_ib_{n+1} +a_{n+1}b_{\sigma(i)}$，分别对应 $n$ 个乱序的情况。综上，对某个 $\sigma(i)$ 乱序的前提下，添加 $a_{n+1}b_{n+1}$ 后新生成的 $n+1$ 种乱序情况均成立。由于假设任意乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n)$ 均成立，因此对任意的新乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n+1)$ 不等式均成立。

　　 由数学归纳法，排序不等式恒成立。

　　 证毕。

5. *柯西不等式

预备知识 3　向量，几何向量的点乘

　　 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），也称柯西不等式，为两个向量的内积（inner product）与它们的模长（norm）之间建立了重要的不等关系。柯西不等式是根据 “内积” 这种运算的定义推知的基本属性，因此所有满足 “内积” 定义要求的运算，或者说可以称为 “内积” 的运算，都会满足这个不等式9。

定理 6　柯西-施瓦茨不等式

　　 对于具备内积运算的任意两个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} $，有

\begin{equation} | \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} | \leq ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} )( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\| \boldsymbol{\mathbf{u}} \|\cdot\| \boldsymbol{\mathbf{v}} \|~. \end{equation}
，当且仅当两个向量平行时取等。其中 $\| \boldsymbol{\mathbf{u}} \|$ 是与内积对应的范数（norm）。

　　 鉴于这部分是为开阔视野，上面采用了比较严谨的表述，但涉及到很多高中未曾了解的知识。不必担心，在高中阶段由于只涉及到几何向量的运算，这时的内积指的就是 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} =| \boldsymbol{\mathbf{u}} |\cdot| \boldsymbol{\mathbf{v}} |\cos\theta$，而所谓对应的 “范数” 指的就是向量的 “模长”$| \boldsymbol{\mathbf{u}} |$。其实这里根据 $\cos \theta$ 的取值范围，显然可以得到结论。等号成立的条件是当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 时，即此时两个向量平行。

　　 如果以高中常见的二维向量为例，利用坐标将两个向量表示出来，即 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} =(a,b), \boldsymbol{\mathbf{v}} =(c,d)$，就得到了下面的表达方法：

\begin{equation} |ac+bd|\leq\sqrt {a^2 + b^2}\cdot\sqrt{c^2 + d^2}\quad\text{或} \quad(ac+bd)^2\leq(a^2 + b^2)\cdot(c^2 + d^2)~. \end{equation}
这种表示方法在高中的题目中更为常见。

　　 对于多维情况，即向量的坐标是由一列数构成的时，有：

\begin{equation} \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2\leq\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) ~. \end{equation}

　　 这个不等式不仅在几何中起作用，在数学分析、线性代数、概率等领域都非常重要。

1. ^ 当然，也不排除某些情况恰巧得到了解，但事实上是错误的，只是巧合而已，比如 $x^2=2x-1$。
2. ^ 全序指整个集合中，任意两个元素都可以比较大小。
3. ^ 值得注意的是，对于开区间 $(a, b)$，虽然最值不存在，但端点 $a$ 和 $b$ 在数学上被称为区间的确界（supremum 和 infimum）确界是闭区间和开区间的统一描述，用于研究集合的上界与下界性质。确界并不一定属于集合，但它是所有集合元素的上界或下界中 “最紧密的界”。例如，对于 $(a, b)$，$a$ 是其下确界（infimum），$b$ 是其上确界（supremum）。上面的概念会在大学接触。
4. ^ 大部分情况下也可以由 $c>0$ 来代替 $a>0$ 进行判定。
5. ^ 大部分情况下也可以由 $c<0$ 来代替 $a<0$ 进行判定。
6. ^ 这经常被称为糖水不等式，推导过程：设 $a=b+k$，则 $\displaystyle{a\over b}<{a+c\over b+c}\iff\displaystyle1+{k\over b}<1+{k\over b+c}\iff\displaystyle{1\over b}<{1\over b+c}$
7. ^ 此处只给出这四种，其实有很多种均值的定义，它们也都可纳入下面的均值不等式中。
8. ^ 也称作均方根（root mean square，RMS）
9. ^ 关于内积更详细的内容可以参考内积、内积空间。


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