恒等式与恒成立不等式（高中）

                     

贡献者： 欄、停敘

预备知识 1　等式与不等式
  • 本文处于草稿阶段。

　　 在等式与不等式中已经介绍过等式和不等式的概念，本文将专注处理恒成立的等式和不等式。恒成立指的是在给定的变量取值范围中，不论取哪个值，等式（或不等式）均成立。尽管普通的不等式方程也可说在他们的解集上恒成立，但一般来讲对不等式而言恒成立要求的取值范围更广泛一些。

　　 在解题时

1. 恒等式

　　 恒成立的等式称作恒等式（identities）。

　　 一些常见的恒等式：

　　 当说两个函数相等时，由于相等中包含定义域、对应关系和值域，因此，这时所说的相等是指恒等。 例如 $f(x)=g(x)$，如果指恒等，那么这个操作是平凡的。而它一般就指的是条件等式，即方程，等式成立的条件就是两函数的交点。 恒等式意味着对定义区间上的任何点上的行为都是完全相同的，因此恒等式两侧进行求导、积分等运算均仍能保持恒等关系。而一般的方程（即条件等式）不可以通过这种方法进行运算。

　　 恒成立的代数方程两侧对应参数相等。

恒等式与公式

　　 所有的定义都是恒等式。区分恒等式和公式（formula）。

2. 不等式恒成立的条件

　　 与等式的情况相同，存在某些不等式对任意变量值都成立，此时称不等式恒成立。下面介绍一些恒成立的不等式。

最值

　　 $\max f(x),\min f(x)$

不等式恒成立条件

　　 若给定集合 $A$，在 $A$ 上函数满足：

\begin{equation} \displaystyle\max_{x\in A} f(x)\leq 0\qquad\text{或}\qquad\min_{x\in A} f(x)\geq 0~. \end{equation}
，则称 $f(x)\leq 0$ 或 $f(x)\geq 0$ 在 $A$ 上恒成立。

　　 $f(x)\leq g(x)$ 或 $f(x)\geq g(x)$ 成立的充要条件是函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 满足之前的恒成立条件。如果想要各自考虑 $f(x),g(x)$，而不是上面的方法。那么 $\max f(x)\leq\min g(x)$ 或 $\min f(x)\geq\max g(x)$ 对于恒成立而言是充分不必要条件。以第一个为例，成立的原因是 $f(x)\leq\max f(x)\leq\min g(x)\leq g(x)$，这是一种严格的成立，就像二者中间有一个区域，谁都不越雷池一步。

未完成：说明图，一个是彼此交错但不超过，一个是中间严格不大于。

　　 这里容易搞混符号，注意，$\min f(x)\leq\min g(x)$ 或 $\max f(x)\geq\max g(x)$ 对于恒成立而言既不充分也不必要。根本上还是要记住原理。

　　 另外如果 $g(x)=c$ 是常数，则之前的成立条件也可认为是：若在 $A$ 上函数满足：

\begin{equation} \displaystyle\max_{x\in A} f(x)\leq a\qquad\text{或}\qquad\min_{x\in A} f(x)\geq b~. \end{equation}
，则称 $f(x)\leq a$ 或 $f(x)\geq b$ 在 $A$ 上恒成立。

　　 一般出现在题目中时，往往会给出一个含参的函数，如 $f(x;a,b,c)=ax^2+bx+c$ 等。这时需要根据题目的条件，利用上面的成立条件来推导。下面给出一些常用的不同的函数或运算满足的恒成立的不等式，请在使用时注意他们成立的前提条件和取等条件：

表1：常见的恒成立不等式
成立前提 不等式 取等条件
$x\in\mathbb{R}$$|x|\geq0$$x=0$
$x\in\mathbb{R}$$x^{2n}\geq0\quad(n\in\mathbb{Z})$$x=0$
$x\in[0,+\infty)$$x^{1\over2n}\geq0\quad(n\in\mathbb{Z})$$x=0$
$x\in\mathbb{R}$，$b^2-4ac\leq0$ 且 $a>0$1$ax^2+bx+c\geq0$$b^2-4ac=0$ 且 $\displaystyle x=-{2a\over b}$
$x\in\mathbb{R}$，$b^2-4ac\leq0$ 且 $a<0$2$ax^2+bx+c\leq0$$b^2-4ac=0$ 且 $\displaystyle x=-{2a\over b}$
$x\in\mathbb{R}$$a^x>0\quad(a\in\mathbb{R}^+)$-
$x\in\mathbb{R}$$|\sin x|\leq 1$$\displaystyle x={\pi\over2}+k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$
$x\in\mathbb{R}$$|\cos x|\leq 1$$x=k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$
$\displaystyle x\in[0,{\pi\over2})$$\sin x\leq x\leq\tan x$$x=0$

　　 还有一种常见的情况，选取 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的某条切线，此时，切点往往成为取等的临界条件。比如 $\forall x\in\mathbb{R},e^x\geq x+1$ 当且仅当 $x=0$ 时成立，又如 $\forall x\in\mathbb{R}^+,\ln x\leq x-1$ 当且仅当 $x=1$ 时成立。这往往会成为考题的考点。

3. 基本不等式

　　 基本不等式是基于 $(a-b)^2\geq0$ 得到的一组不等关系。由于 $(a-b)^2\geq0$ 在实数域恒成立，因此由此推广得到的不等式也是在实数域恒成立的，而在复数域则不具备这种关系。推广的过程是通过向 $a,b$ 赋值实现的，而推广后由于不等号两边的表达式均为某种均值的形式，因此基本不等式也称为均值不等式，而由于存在多种均值，也有人称其为（均值）不等式链。

基本不等式的简易形式

　　 下面给出的是高中要求的常见形式：

定理 1　基本不等式（简易）

\begin{equation} {a^2+b^2\over2}\geq ab\qquad\text{或}\qquad{a+b\over2}\geq \sqrt{ab}~. \end{equation}
当且仅当 $a=b$ 时取等。

　　 证明过程是显然的，将 $(a-b)^2\geq0$ 打开并移项就可以得到，或后的写法也只是将 $a,b$ 替换成了 $\sqrt{a},\sqrt{b}$。但他背后的意义是深远的，一般称 $\displaystyle a+b\over2$ 为算术平均数（Arithmetic mean，或算数均值），也就是通常生活中提到平均值时所指的数，称 $\sqrt{ab}$ 为几何平均数（Geometric mean，或几何均值）。几何平均数通常在计算增长率时使用，比如投资某个项目，第一年的收益率是 $4\%$，第二年是 $10\%$，则两年的平均收益率并非 $\displaystyle {104\%+110\%\over2}-1=7\%$，而是 $\sqrt{1.04\times1.10}-1=6.96\%$。根据基本不等式，如果直接计算算术平均数，则总会高估实际的收益率。

　　 同时，根据 $a^2+b^2\geq2ab$ 可以得到 $2a^2+2b^2\geq a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，两侧同时开方则有：

\begin{equation} \sqrt{a^2+b^2\over2}\geq{a+b\over2}~. \end{equation}
而将 $a^2+b^2\geq2ab$ 中的 $a,b$ 替换成 $\displaystyle\sqrt{1\over a},\sqrt{1\over b}$，则有 $\displaystyle{1\over a}+{1\over b}\geq{2\over\sqrt{ab}}$，即：
\begin{equation} {2\over\displaystyle{1\over a}+\displaystyle{1\over b}}\leq\sqrt{ab}~. \end{equation}
其中，$\displaystyle \sqrt{a^2+b^2\over2}$ 称为平方平均数（Quadratic mean，或平方均值），它的特点是越大的值影响越大，或者说给予较大的值更高的权重。通常用在一些 $0$ 附近的数上，来反映波动程度。$\displaystyle{2\over\displaystyle{1\over a}+\displaystyle{1\over b}}$ 称为调和平均数（Harmonic mean，或调和均值），通常用来计算等量变化时的速率或比率，比如一段路一半以 $60{\rm km/h}$ 的速度运动，另一半以 $30{\rm km/h}$ 的速度运动，那么平均速度是 $\displaystyle \frac{2}{\displaystyle\frac{1}{60} + \frac{1}{30}} = 40{\rm km/h}$，而非 $\displaystyle{60+30\over2}=45{\rm km/h}$。

　　 注意，本节出现的 $a,b$ 都是变量，因此可以给其赋予某个数或某种函数，例如取 $\displaystyle a=x,b={1\over x}$，此时有：$\displaystyle x+{1\over x}\geq2,\quad(x>0)$

*不等式链

　　 下面的内容高中目前不再涉及，作为开阔视野。这四种均值都有广泛的应用3。事实上，上面的四种平均数都可以扩展至多个数，对于一列数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有如表 2 所示的均值形式。

表2：常见平均数（或均值）
名称 常用字母 表达式 与数列的关系
平方平均数4$Q$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^nQ^2= \sum_{i=1}^na_i^2$
算术平均数$A$ $\displaystyle \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^nA= \sum_{i=1}^n{a_i}$
几何平均数$G$ $\displaystyle \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}$ $\displaystyle \prod_{i=1}^nG= \prod_{i=1}^n{a_i}$
调和平均数$H$ $\displaystyle \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{1}{H}= \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$

　　 在表 2 中，有一列展示了不同均值与数列的关系。通过分析这一列的表达式，可以清晰地理解每种均值的具体形式是如何得出的。这些表达式揭示了每种均值的计算方法和背后的数学结构，同时也提示了不同均值适用的情境。定理 2 是从之前的简单形式推广得到的，此处不加证明地给出。

定理 2　均值不等式

　　 对于一列数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有

\begin{equation} Q\geq A\geq G\geq H~. \end{equation}
即
\begin{equation} \displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2}{n}}\geq \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i}{n}\geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\geq \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}~. \end{equation}
当且仅当 $\forall 0\leq i,j\leq n,a_i=a_j$ 时取等。

4. *排序不等式

　　 假设有两列数字 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \dots, b_n$。当满足条件 $\forall 1 \leq i < j \leq n, a_i \leq a_j \land b_i \leq b_j$ 时，称这两列为顺序排列（increasingly ordered），即两个序列的增长方向一致。当满足 $\forall 1 \leq i < j \leq n, a_i \leq a_j \land b_i \geq b_j$ 时，则称为逆序排列（decreasingly ordered），表示两个序列的增长方向相反。若不满足以上任一条件的排列方式，则称为乱序排列（unordered），即增长方向无规则。

　　 基于上述定义，可以使用排序不等式来比较不同排列的和的大小关系。排序不等式表明：逆序和 $\leq$ 乱序和 $\leq$ 顺序和。这一不等式的证明基于数学归纳法和两非正数之积非负的性质，因此排序不等式的使用范围也与均值不等式相同。事实上，可以使用排序不等式证明基本不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式等其他恒成立的不等式。它的规范表述如下：

定理 3　排序不等式

　　 设两列数字 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \cdots, b_n$，两列数分别满足 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ 和 $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$。那么有如下不等式：

\begin{equation} \sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i}~, \end{equation}
其中 $\sigma$ 表示对 ${1, 2, \cdots, n}$ 的非顺序、逆序的任意排列，当且仅当 $\forall 1\leq i,j\leq n,a_i=a_j$ 或 $\forall 1\leq i,j\leq n,b_i=b_j$ 时，等号成立。

　　 由于证明方法只使用了高中常见的方法，下面给出证明过程。

引理 1　若 $a\geq b,m\geq n$，则 $am+bn\geq an+bm$

　　 证明：

　　 取 $a=b+k,m=n+p$，则 $k,p\geq0$，代入有：

\begin{equation} \begin{split} am+bn&= (b+k)m+(a-k)n \\ &= bm+an+kp \\ &\geq an+bm \end{split}~. \end{equation}
或者由 $a\geq b,m\geq n$ 有 $a-b\geq 0,m- n\geq0$，从而 $(a-b)(m- n)\geq0$，打开整理即可得到结论。上面两种方法都可以知道，原不等式当且仅当 $a=b$ 或 $m=n$ 时取等。

　　 下面使用数学归纳法证明排序不等式中顺序和不小于乱序和，逆序部分同理：

　　 1. 当 $n=1$ 时显然成立；

　　 2. 假设当 $n$ 时，任意乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n)$ 时不等式均成立。当取 $n+1$ 时，$\forall 1\leq i\leq n$ 有 $a_{n+1}>a_i,b_{n+1}>b_i$，从而代入假设有：

\begin{equation} \begin{split} \sum_{i=1}^{n+1} a_i b_i&=\sum_{i=1}^n a_i b_i+a_{n+1}b_{n+1}\\ &\overset{\mathrm{1}}{\geq} \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} +a_{n+1}b_{n+1} \\ &\overset{\mathrm{2}}{\geq} \sum_{i=1}^{n+1} a_i b_{\sigma(i)} \\ \end{split}~. \end{equation}
其中：第一个 $\geq$ 根据假设，成立，对应 $1$ 种乱序的情况；第二个 $\geq$ 是交换了某个 $b_{\sigma(i)}$ 和 $b_{n+1}$，此时根据引理 1 可知，必有 $a_i b_{\sigma(i)}+a_{n+1}b_{n+1}\geq a_ib_{n+1} +a_{n+1}b_{\sigma(i)}$，分别对应 $n$ 个乱序的情况。综上，对某个 $\sigma(i)$ 乱序的前提下，添加 $a_{n+1}b_{n+1}$ 后新生成的 $n+1$ 种乱序情况均成立。由于假设任意乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n)$ 均成立，因此对任意的新乱序 $\sigma(i),(1\leq i\leq n+1)$ 不等式均成立。

　　 由数学归纳法，排序不等式恒成立。

　　 证毕。

5. *柯西不等式

预备知识 2　向量，几何向量的点乘

　　 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），也称柯西不等式，为两个向量的内积（inner product）与它们的模长（norm）之间建立了重要的不等关系。柯西不等式是根据 “内积” 这种运算的定义推知的基本属性，因此所有满足 “内积” 定义要求的运算，或者说可以称为 “内积” 的运算，都会满足这个不等式5。

定理 4　柯西-施瓦茨不等式

　　 对于具备内积运算的任意两个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} $，有

\begin{equation} | \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} | \leq ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} )( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\| \boldsymbol{\mathbf{u}} \|\cdot\| \boldsymbol{\mathbf{v}} \|~. \end{equation}
，当且仅当两个向量平行时取等。其中 $\| \boldsymbol{\mathbf{u}} \|$ 是与内积对应的范数（norm）。

　　 鉴于这部分是为开阔视野，上面采用了比较严谨的表述，但涉及到很多高中未曾了解的知识。不必担心，在高中阶段由于只涉及到几何向量的运算，这时的内积指的就是 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} =| \boldsymbol{\mathbf{u}} |\cdot| \boldsymbol{\mathbf{v}} |\cos\theta$，而所谓对应的 “范数” 指的就是向量的 “模长”$| \boldsymbol{\mathbf{u}} |$。其实这里根据 $\cos \theta$ 的取值范围，显然可以得到结论。等号成立的条件是当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 时，即此时两个向量平行。

　　 如果以高中常见的二维向量为例，利用坐标将两个向量表示出来，即 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} =(a,b), \boldsymbol{\mathbf{v}} =(c,d)$，就得到了下面的表达方法：

\begin{equation} |ac+bd|\leq\sqrt {a^2 + b^2}\cdot\sqrt{c^2 + d^2}\quad\text{或} \quad(ac+bd)^2\leq(a^2 + b^2)\cdot(c^2 + d^2)~. \end{equation}
这种表示方法在高中的题目中更为常见。

　　 对于多维情况，即向量的坐标是由一列数构成的时，有：

\begin{equation} \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2\leq\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) ~. \end{equation}

　　 这个不等式不仅在几何中起作用，在数学分析、线性代数、概率等领域都非常重要。

1. ^ 大部分情况下也可以由 $c>0$ 来代替 $a>0$ 进行判定。
2. ^ 大部分情况下也可以由 $c<0$ 来代替 $a<0$ 进行判定。
3. ^ 此处只给出这四种，其实有很多种均值的定义，它们也都可纳入下面的均值不等式中。
4. ^ 也称作均方根（root mean square，RMS）
5. ^ 关于内积更详细的内容可以参考内积、内积空间。


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