导数(高中)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
贡献者: 欄、停敘
1. 理解导数
2. 导数的定义
一点的导数
\begin{equation}
f'(x_0)=\lim_{x_1\to x_0}{f(x_1)-f(x_0)\over x_1-x_0}~.
\end{equation}
导数也是一个对应关系,即每个自变量都对应一个导数,因此他也是一个函数,这个函数称为导函数(不引起歧义时,简称为导数)。导函数和原本的函数是一一对应的,因此可以根据定义或求导方法,来求一个函数的导函数,这个过程就是求导。
导数的记号
由于历史发展和人们长久以来的使用习惯,导函数逐渐衍生出了许多不同的记法。这些记法不仅仅是使用者的偏好选择,还与特定领域的需求和表达习惯密切相关。既为方便计算和推导,也为强调不同的数学概念。了解这些符号的使用,有助于理解求导这个运算,另外在未来见到时,也不至陌生,不要求完全掌握,看个眼熟就好。下面的符号针对函数 $y=f(x)$:
- 拉格朗日记法——$y'$ 或 $f'(x)$,好处是记法比较简洁,便于书写,缺点是难以表达较为复杂的关系。高中数学主要采用这种表示法。
- 莱布尼茨记法——$\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 或 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)$,好处是在进行某些复杂运算时,分子与分母可以直接按照乘除法的规则来进行运算,降低推导的复杂度。另外,也在形式上代表着变化率。在大学阶段的数学领域主要采用这种表示方法。
- 牛顿记法——$\dot{y}$。由于在物理学中,时间是一个较为特别的变量,一般用这种方法来表示某个变量相对于时间的导数。基本只在物理学领域使用。
- 重导数记法——$f_x$,这种记法简洁紧凑,又在出现复杂关系时,避免了拉格朗日记法的问题。在偏微分方程和张量分析中常用。
- 欧拉记法——$Df(x)$,采用 $D$ 运算符。主要在大学阶段的微分方程中使用,好处是 $D^n f(x)$ 可以直接修改 $n$ 来表示进行几次求导运算。另外,将导数视为一种运算符,便于与其他运算符进行组合,适合处理复杂的微分运算。
- 差分导数——$\Delta f(x)$,对于定义域是离散的函数(一般是 $\mathbb{Z}$),通常会用这样的符号来表示它的导数,称为差分。
在高中阶段,一般只要求使用拉格朗日记法,且不允许使用其他记法。其余的记法可以这样理解:
- 用 $D$ 运算符代替 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)$ 中的 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }$ 就成了 $Df(x)$;
- 把 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)$ 中最重要的两部分 $f,x$ 拿出来显示就成了 $f_x$;
- 在明确自变量的情况下,只强调 $\displaystyle\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 中的 $y$ 就成了 $y'$;
- $\dot{y}$ 与 $y'$ 异曲同工,只是更着眼于 “时间”;
- $\Delta f(x)$ 与 $Df(x)$ 只是因为定义域不同,处理方法不同;
3. 求导法则
为记录方便,下面记 $u=f(x),v=g(x),u'=f'(x),v'=g'(x)$。
- 加减法:$(u\pm v)'=u'\pm v'$
- 乘法:$(uv)'=u'v+uv'$
- 除法:$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
- 复合函数:$(f(v))'=f'(v)v'$
4. 基本初等函数的导数推导
5. 对照表
这里将常见的函数与导数对照表列出如下,方便查询。具体介绍需查看每个函数自己的页面。
表1:高中常见函数及其导数
函数名称 | 函数 $f(x)$ | 导函数 $f'(x)$ |
幂函数 | $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
反比例函数 | $\displaystyle\frac{1}{x}$ | $\displaystyle-\frac{1}{x^2}$ |
指数函数(e 为底) | $e^x$ | $e^x$ |
对数函数(e 为底) | $ \ln\left(x\right) $ | $\displaystyle\frac{1}{x}$ |
指数函数 | $a^x$ | $a^x\ln a $ |
对数函数 | $\log_a(x)$ | $\displaystyle \frac{1}{x\ln a}$ |
正弦函数 | $ \sin\left(x\right) $ | $ \cos\left(x\right) $ |
余弦函数 | $ \cos\left(x\right) $ | $- \sin\left(x\right) $ |
正切函数 | $ \tan\left(x\right) $ | $\displaystyle \frac{1}{\cos^2(x)}$ |
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