导数(高中)

                     

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  • 本文处于草稿阶段。

1. 理解导数

2. 导数的定义

   一点的导数

\begin{equation} f'(x_0)=\lim_{x_1\to x_0}{f(x_1)-f(x_0)\over x_1-x_0}~. \end{equation}

   导数也是一个对应关系,即每个自变量都对应一个导数,因此他也是一个函数,这个函数称为导函数(不引起歧义时,简称为导数)。导函数和原本的函数是一一对应的,因此可以根据定义或求导方法,来求一个函数的导函数,这个过程就是求导

导数的记号

   由于历史发展和人们长久以来的使用习惯,导函数逐渐衍生出了许多不同的记法。这些记法不仅仅是使用者的偏好选择,还与特定领域的需求和表达习惯密切相关。既为方便计算和推导,也为强调不同的数学概念。了解这些符号的使用,有助于理解求导这个运算,另外在未来见到时,也不至陌生,不要求完全掌握,看个眼熟就好。下面的符号针对函数 $y=f(x)$:

   在高中阶段,一般只要求使用拉格朗日记法,且不允许使用其他记法。其余的记法可以这样理解:

3. 求导法则

   为记录方便,下面记 $u=f(x),v=g(x),u'=f'(x),v'=g'(x)$。

4. 基本初等函数的导数推导

5. 对照表

   这里将常见的函数与导数对照表列出如下,方便查询。具体介绍需查看每个函数自己的页面。

表1:高中常见函数及其导数
函数名称 函数 $f(x)$ 导函数 $f'(x)$
幂函数$x^n$ $n x^{n-1}$
反比例函数$\displaystyle\frac{1}{x}$ $\displaystyle-\frac{1}{x^2}$
指数函数(e 为底)$e^x$ $e^x$
对数函数(e 为底)$ \ln\left(x\right) $ $\displaystyle\frac{1}{x}$
指数函数$a^x$ $a^x\ln a $
对数函数$\log_a(x)$ $\displaystyle \frac{1}{x\ln a}$
正弦函数$ \sin\left(x\right) $ $ \cos\left(x\right) $
余弦函数$ \cos\left(x\right) $ $- \sin\left(x\right) $
正切函数$ \tan\left(x\right) $ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2(x)}$

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