组合

                     

贡献者: jingyuan; addis

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预备知识 排列

  1数学上,组合(combination)用于计算从 nn=0,1,2,)个不同的物体中选取 0rn 个,有几种方法。国内高中课本常用 Cnr 来表示,欧美教材常记为 (nr)。组合可以用阶乘表示(推导见下文)。

(1)Cnr=n!(nr)!r!(n,rN,rn) ,
注意 0!=1

   我们可以从排列来推导组合,在组合中认为 a,bb,a 是等效的,在排列中认为两者是不等的,现在我们有 n 个元素,我们要从中选取 m 个元素,即 Cnm。 我们先根据组合的知识可以知道 Anm 表示 n 个元素,从中选取 m 个再对选中的 m 个元素进行全排,我们就可以得到如下公式

(2)Anm=CnmAmm .
对等式进行变换,可得
(3)Cnm=AnmAmm .
对于这个公式,我们可以理解为,从排列中排除组合中认为等效的组合。 我们将式 3 展开,可得
(4)Cnm=n(n1)(nm+1)m(m1)1 .
进一步变换,可得
(5)Cnm=n!m!(nm)! ,

   我们将式 5 中的 mn(nm) 代换,可得组合的性质 1

(6)Cnm=n!(nm)![n(nm)]!=Cnnm .
对于性质 1 我们可以用一种直观的方式理解,到我们取 m 个元素时,剩余的元素本身就是取 nm 个元素时的组合

   当我们的总元素个数从 n 变为 n+1 时,我们可以分为两类,一类为不包含新元素的组合,一类为包含新元素的组合,由分类加法计数原理,可得组合的性质 2

(7)Cn+1m=Cnm+Cnm1 .
当然我们也可以对性质 2 进行数学证明,
(8)Cnm+Cnm1=n!m!(nm)!+n!(m1)!(nm+1)!=n!(nm+1)!+n!mm!(nm+1)!=n![(nm+1)+m]m!(nm+1)!=(n+1)!m!(nm+1)!=Cn+1m .


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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