方程与不等式（高中）

贡献者：欄、停敘

本文处于草稿阶段。

1. 方程

　　广泛使用的方程的定义是 “含有未知数的等式”，但这样的定义会使人困惑如 $x=3$ 是否也是一个方程。

　　方程是包含未知数的表达两个代数表达式相等的数学关系等式。

　　方程的解可以分为两大类：解析解和数值解。如果方程的解可以通过有限次的常见运算（如加、减、乘、除等）得到，这种解称为解析解（Analytical Solution）。这时，解的表达式可以用代数形式清晰地表示出来。有些复杂的方程很难找到解析解，甚至解析解根本不存在。在这种情况下，可以使用数值分析方法，如二分法、牛顿法等，通过迭代和近似计算来求解方程。此时得到的解称为数值解（Numerical Solution）。数值解通常通过计算机来计算，能够为复杂问题提供高精度的近似解。

　　总的来说，解析解是精确的，但不总是存在；数值解是近似的，却总是能提供实用的近似结果。在高中阶段，一般只涉及解析解，但存在大量的方程无法获得解析解，或难以获得解析解。

定义 1　代数学基本定理

　　任何一个 $n$ 次多项式函数在复数域上都有 $n$ 个零点（重数计入）。

　　这意味着在复数范围内，可以找到所有多项式方程的解。

2. 不等式

基本不等式

\begin{equation} {a^2+b^2\over2}\geq ab~. \end{equation}

*柯西不等式

　　柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）为两个向量或数列的内积与它们的模长之间建立了不等关系。

　　高中常用的二维模式如下：

\begin{equation} \left( a^2 + b^2\right) \left(c^2 + d^2 \right) \geq \left( ac+bd \right)^2~. \end{equation}

　　多维模式如下：

\begin{equation} \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2~. \end{equation}

　　证明：在几何上，柯西不等式可以通过向量内积和向量模的关系得到解释。设 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是两个向量，则它们的内积可以表示为：

　　 $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta~.$$

　　其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角。根据 $\cos \theta$ 的取值范围，显然有：

　　 $$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|~.$$

　　这就是柯西不等式的向量形式。等号成立的条件是当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 时，即两个向量平行。