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广泛使用的方程的定义是 “含有未知数的等式”,但这样的定义会使人困惑如 $x=3$ 是否也是一个方程。
方程是包含未知数的表达两个代数表达式相等的数学关系等式。
方程的解可以分为两大类:解析解和数值解。如果方程的解可以通过有限次的常见运算(如加、减、乘、除等)得到,这种解称为解析解(Analytical Solution)。这时,解的表达式可以用代数形式清晰地表示出来。有些复杂的方程很难找到解析解,甚至解析解根本不存在。在这种情况下,可以使用数值分析方法,如二分法、牛顿法等,通过迭代和近似计算来求解方程。此时得到的解称为数值解(Numerical Solution)。数值解通常通过计算机来计算,能够为复杂问题提供高精度的近似解。
总的来说,解析解是精确的,但不总是存在;数值解是近似的,却总是能提供实用的近似结果。在高中阶段,一般只涉及解析解,但存在大量的方程无法获得解析解,或难以获得解析解。
这意味着在复数范围内,可以找到所有多项式方程的解。
柯西不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)为两个向量或数列的内积与它们的模长之间建立了不等关系。
高中常用的二维模式如下:
多维模式如下:
证明:在几何上,柯西不等式可以通过向量内积和向量模的关系得到解释。设 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是两个向量,则它们的内积可以表示为:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta~.$$
其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角。根据 $\cos \theta$ 的取值范围,显然有:
$$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|~.$$
这就是柯西不等式的向量形式。等号成立的条件是当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 时,即两个向量平行。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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