三角恒等变换(高中)

                     

贡献者: jingyuan; JierPeter; addis

  • 本词条处于草稿阶段.
  • 和三角恒等式有部分重复,但这篇更符合高中数学要求
  • 应该与三角恒等式合并,并讲超出高中范围的知识写在最后

1. 两个基本公式

\begin{equation} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha \end{equation}

2. 两角和与两角差

\begin{equation} \sin\left(\alpha + \beta\right) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \end{equation}
\begin{equation} \sin\left(\alpha - \beta\right) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \end{equation}
\begin{equation} \cos\left(\alpha + \beta\right) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \end{equation}
\begin{equation} \cos\left(\alpha - \beta\right) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \end{equation}
\begin{equation} \tan\left(\alpha + \beta\right) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta} \end{equation}
\begin{equation} \tan\left(\alpha - \beta\right) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta} \end{equation}

3. 二倍角公式

\begin{equation} \sin2\alpha = 2\sin\alpha \cos\beta \end{equation}
\begin{equation} \cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha -1 \end{equation}
\begin{equation} \tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{equation}

4. 半角公式

\begin{equation} \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \end{equation}
\begin{equation} \cos\frac{\alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \end{equation}
\begin{equation} \tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \end{equation}
注意正负号的选择需要根据 $\alpha$ 的具体取值判断.

5. 升幂公式

\begin{equation} \cos2\alpha + 1 = 2\cos^2\alpha \end{equation}
\begin{equation} 1-\cos2\alpha = 2\sin^2\alpha \end{equation}

6. 降幂公式

\begin{equation} \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1+\cos2\alpha}{2}} \end{equation}
\begin{equation} \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1-\cos2\alpha}{2}} \end{equation}

7. 万能公式

\begin{equation} \sin2\alpha = \frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} \end{equation}
\begin{equation} \cos2\alpha = \frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha} = \frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha} \end{equation}

8. 辅助角公式

\begin{equation} a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin\left(\alpha + \phi\right) \end{equation}
注:$\tan\phi = \frac{b}{a}$

9. 证明

   可参考与本节内容相似的子节 1

两角和与两角差(旋转法)

   这一证法是先通过旋转法求出余弦的加法公式式 6 ,然后进行简单变换得到剩下的加法公式.思路来自П. М. Котельников的学位论文1

图
图 1:旋转法示意图.左图和右图表示的是同样的坐标系,圆都是同一个单位圆.右图中所有图形和点都围绕坐标系原点顺时针旋转了 $\beta$,从而使得 $B$ 点落在 $x$ 轴上.

   如图 1 所示,在单位圆上取两个角(不一定是图示的锐角)$\alpha$ 和 $\beta$,与单位元相交得交点 $A$ 和 $B$.由于是单位圆,故可知 $A$ 的坐标为 $ \begin{pmatrix}x_A, y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\alpha, \sin\alpha\end{pmatrix} $,$B$ 的坐标为 $ \begin{pmatrix}x_B, y_B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\beta, \sin\beta\end{pmatrix} $.由此可计算线段 $AB$ 的长度,或者准确来说,长度的平方:

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert AB \right\rvert ^2 =& (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2\\ =& (\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos\alpha\cos\beta)+\\&(\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta)\\ =& 2 \left(1-\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \right) \end{aligned} \end{equation}

   注意这里利用了 $\cos^2x+\sin^2x=1$ 恒等式,下面也一样.

   接下来,把所有点和图形都围绕坐标原点,顺时针旋转 $\beta$,得到右图.此时 $A$ 的坐标变成了 $ \begin{pmatrix}x'_A, y'_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\left(\alpha-\beta\right) , \sin\left(\alpha-\beta\right) \end{pmatrix} $,$B$ 的坐标变成了 $ \begin{pmatrix}x'_B, y'_B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1, 0\end{pmatrix} $.

   同样地,计算线段 $AB$ 的长度平方:

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert AB \right\rvert ^2 =& (x'_A-x'_B)^2+(y'_A-y'_B)^2\\ =& \left(\cos^2(\alpha-\beta)+1-2 \cos\left(\alpha-\beta\right) \right) +\sin^2(\alpha-\beta)\\ =& 2(1- \cos\left(\alpha-\beta\right) ) \end{aligned} \end{equation}

   式 22 式 23 应相等,比较它们的最后一步即可得式 6

   计算 $\cos \left(\alpha-(-\beta) \right) $ 即可得式 5 .将 $\sin x= \cos\left(x-\pi/2\right) $ 代入这两个余弦加法公式,即可得到正弦加法公式式 3 式 4 .再代入 $\tan x=\sin x/\cos x$ 即可得正切的加法公式式 7 式 8

两角和与两角差(几何矢量证法)

图
图 2:图示

   设 $\alpha$、$\beta$ 对应的单位向量分别为 $a(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$b( \cos\left(\alpha+\beta\right) , \sin\left(\alpha+\beta\right) )$
设 $a$ 与其垂直的单位向量 $m(-\sin\alpha,\cos\alpha)$ 为基向量,则

\begin{equation} \begin{aligned} b &= \cos\beta \cdot a + \sin\beta \cdot m \\ &= (\cos\beta \cos\alpha,\cos\beta \sin\alpha) + (-\sin\beta \sin\alpha,\sin\beta \cos\alpha) \\ &= (\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta,\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) \end{aligned} \end{equation}
由此可得
\begin{equation} \sin\left(\alpha+\beta\right) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \end{equation}
\begin{equation} \cos\left(\alpha+\beta\right) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \end{equation}

   用 $-\beta$ 代换 $\beta$,可得

\begin{equation} \begin{aligned} \sin\left(\alpha-\beta\right) &= \sin\alpha \cos\left(-\beta\right) + \cos\alpha \sin\left(-\beta\right) \\ &=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \cos\left(\alpha-\beta\right) &= \cos\alpha \cos\left(-\beta\right) + \sin\alpha \sin\left(-\beta\right) \\ &=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \end{aligned} \end{equation}

   由 $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$,得

\begin{equation} \tan\left(\alpha+\beta\right) = \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta} \end{equation}
上下同除 $\cos\alpha\cos\beta$,得
\begin{equation} \tan\left(\alpha+\beta\right) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \end{equation}

   同理,可得

\begin{equation} \tan\left(\alpha-\beta\right) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \end{equation}

二倍角公式

   在两角和公式中,令 $\alpha = \beta$

\begin{equation} \sin2\alpha = \sin\alpha \cos\alpha+\cos\alpha \sin\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha \end{equation}
\begin{equation} \cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \end{equation}
\begin{equation} \tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \end{equation}

   由 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$,可得

\begin{equation} \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \end{equation}
\begin{equation} \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \end{equation}

   代入,可得

\begin{equation} \cos2\alpha = 1 - \sin^2 - \sin^2 = 1 - 2\sin^2\alpha \end{equation}
\begin{equation} \cos2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 \end{equation}

半角公式

   由余弦的二倍角公式,可得

\begin{equation} 2\sin^2\alpha = 1 - \cos2\alpha \end{equation}
\begin{equation} 2\cos^2\alpha = 1 + \cos2\alpha \end{equation}

   用 $\frac{\alpha}{2}$ 代还 $\alpha$,可得

\begin{equation} \begin{aligned} 2\sin^2\frac{\alpha}{2} &= 1 - \cos\alpha\\ \sin\frac{\alpha}{2}&= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} 2\cos^2\frac{\alpha}{2} &= 1 + \cos\alpha\\ \cos\frac{\alpha}{2} &= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 据刘培杰工作室出版的《世界著名三角学经典著作钩沉 平面三角卷 I》第 22 节.笔者按此名字搜索,并未找到出处,特此声明.


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