贡献者： jingyuan; JierPeter; addis
- 本文处于草稿阶段。
- 和三角恒等式有部分重复，但这篇更符合高中数学要求
- 应该与三角恒等式合并，并讲超出高中范围的知识写在最后
1. 两个基本公式
\begin{equation}
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha~.
\end{equation}
2. 两角和与两角差
\begin{equation}
\sin\left(\alpha + \beta\right) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sin\left(\alpha - \beta\right) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\left(\alpha + \beta\right) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\left(\alpha - \beta\right) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta~,
\end{equation}
\begin{equation}
\tan\left(\alpha + \beta\right) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\tan\left(\alpha - \beta\right) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}~.
\end{equation}
3. 二倍角公式
\begin{equation}
\sin2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha -1~,
\end{equation}
\begin{equation}
\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}~.
\end{equation}
4. 半角公式
\begin{equation}
\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\frac{\alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}~.
\end{equation}
注意正负号的选择需要根据 $\alpha$ 的具体取值判断。
5. 升幂公式
\begin{equation}
\cos2\alpha + 1 = 2\cos^2\alpha~,
\end{equation}
\begin{equation}
1-\cos2\alpha = 2\sin^2\alpha~.
\end{equation}
6. 降幂公式
\begin{equation}
\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1+\cos2\alpha}{2}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1-\cos2\alpha}{2}}~.
\end{equation}
7. 万能公式
\begin{equation}
\sin2\alpha = \frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos2\alpha = \frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha} = \frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}~.
\end{equation}
8. 辅助角公式
\begin{equation}
a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin\left(\alpha + \phi\right) ~.
\end{equation}
注：$\tan\phi = \frac{b}{a}$
9. 证明
可参考与本节内容相似的子节 1 。
两角和与两角差（旋转法）
这一证法是先通过旋转法求出余弦的加法公式式 6 ，然后进行简单变换得到剩下的加法公式。思路来自П. М. Котельников的学位论文1。
图 1：旋转法示意图。左图和右图表示的是同样的坐标系，圆都是同一个单位圆。右图中所有图形和点都围绕坐标系原点顺时针旋转了 $\beta$，从而使得 $B$ 点落在 $x$ 轴上。
如图 1 所示，在单位圆上取两个角（不一定是图示的锐角）$\alpha$ 和 $\beta$，与单位元相交得交点 $A$ 和 $B$。由于是单位圆，故可知 $A$ 的坐标为 $ \begin{pmatrix}x_A, y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\alpha, \sin\alpha\end{pmatrix} $，$B$ 的坐标为 $ \begin{pmatrix}x_B, y_B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\beta, \sin\beta\end{pmatrix} $。由此可计算线段 $AB$ 的长度，或者准确来说，长度的平方：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert AB \right\rvert ^2 =& (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2\\
=& (\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos\alpha\cos\beta)+\\&(\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta)\\
=& 2 \left(1-\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意这里利用了 $\cos^2x+\sin^2x=1$ 恒等式，下面也一样。
接下来，把所有点和图形都围绕坐标原点，顺时针旋转 $\beta$，得到右图。此时 $A$ 的坐标变成了 $ \begin{pmatrix}x'_A, y'_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\left(\alpha-\beta\right) , \sin\left(\alpha-\beta\right) \end{pmatrix} $，$B$ 的坐标变成了 $ \begin{pmatrix}x'_B, y'_B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1, 0\end{pmatrix} $。
同样地，计算线段 $AB$ 的长度平方：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert AB \right\rvert ^2 =& (x'_A-x'_B)^2+(y'_A-y'_B)^2\\
=& \left(\cos^2(\alpha-\beta)+1-2 \cos\left(\alpha-\beta\right) \right) +\sin^2(\alpha-\beta)\\
=& 2(1- \cos\left(\alpha-\beta\right) )~.
\end{aligned}
\end{equation}
式 22 和式 23 应相等，比较它们的最后一步即可得式 6 。
计算 $\cos \left(\alpha-(-\beta) \right) $ 即可得式 5 。将 $\sin x= \cos\left(x-\pi/2\right) $ 代入这两个余弦加法公式，即可得到正弦加法公式式 3 与式 4 。再代入 $\tan x=\sin x/\cos x$ 即可得正切的加法公式式 7 与式 8 。
两角和与两角差（几何矢量证法）
图 2：图示
设 $\alpha$、$\beta$ 对应的单位向量分别为 $a(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$b( \cos\left(\alpha+\beta\right) , \sin\left(\alpha+\beta\right) )~.$
设 $a$ 与其垂直的单位向量 $m(-\sin\alpha,\cos\alpha)$ 为基向量，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
b &= \cos\beta \cdot a + \sin\beta \cdot m \\
&= (\cos\beta \cos\alpha,\cos\beta \sin\alpha) + (-\sin\beta \sin\alpha,\sin\beta \cos\alpha) \\
&= (\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta,\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)~.
\end{aligned}
\end{equation}
由此可得
\begin{equation}
\sin\left(\alpha+\beta\right) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\left(\alpha+\beta\right) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta~.
\end{equation}
用 $-\beta$ 代换 $\beta$，可得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sin\left(\alpha-\beta\right) &= \sin\alpha \cos\left(-\beta\right) + \cos\alpha \sin\left(-\beta\right) \\
&=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cos\left(\alpha-\beta\right) &= \cos\alpha \cos\left(-\beta\right) + \sin\alpha \sin\left(-\beta\right) \\
&=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta~.
\end{aligned}
\end{equation}
由 $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，得
\begin{equation}
\tan\left(\alpha+\beta\right) = \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}~.
\end{equation}
上下同除 $\cos\alpha\cos\beta$，得
\begin{equation}
\tan\left(\alpha+\beta\right) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}~.
\end{equation}
同理，可得
\begin{equation}
\tan\left(\alpha-\beta\right) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}~.
\end{equation}
二倍角公式
在两角和公式中，令 $\alpha = \beta$
\begin{equation}
\sin2\alpha = \sin\alpha \cos\alpha+\cos\alpha \sin\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha~,
\end{equation}
\begin{equation}
\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}~.
\end{equation}
由 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，可得
\begin{equation}
\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha~.
\end{equation}
代入，可得
\begin{equation}
\cos2\alpha = 1 - \sin^2 - \sin^2 = 1 - 2\sin^2\alpha~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1~.
\end{equation}
半角公式
由余弦的二倍角公式，可得
\begin{equation}
2\sin^2\alpha = 1 - \cos2\alpha~,
\end{equation}
\begin{equation}
2\cos^2\alpha = 1 + \cos2\alpha~.
\end{equation}
用 $\frac{\alpha}{2}$ 代还 $\alpha$，可得
\begin{equation}
\begin{aligned}
2\sin^2\frac{\alpha}{2} &= 1 - \cos\alpha~,\\
\sin\frac{\alpha}{2}&= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
2\cos^2\frac{\alpha}{2} &= 1 + \cos\alpha~,\\
\cos\frac{\alpha}{2} &= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 据刘培杰工作室出版的《世界著名三角学经典著作钩沉 平面三角卷 I》第 22 节。笔者按此名字搜索，并未找到出处，特此声明。
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