组合(高中)

             

预备知识 排列(高中)

1. 定义

   一般地,从 $n$ 个不同元素中,任取出 $m(m\leq n)$ 个元素并成一组,叫做从 $n$ 个元素中任取 $m$ 个元素的一个组合(combination)

   从 $n$ 个不同元素中,任取 $m(m\leq n)$ 个元素的所有组合的个数,叫做从 $n$ 个不同元素中,任意取出 $m$ 个元素的组合数(number of combination),用符号 $C_n^m$ 表示.

   我们可以从排列来推导组合,在组合中认为 ${a,b}$ 和 ${b,a}$ 是等效的,在排列中认为两者是不等的,现在我们有 $n$ 个元素,我们要从中选取 $m$ 个元素,即 $C_n^m$. 我们先根据组合的知识可以知道 $A_n^m$ 表示 $n$ 个元素,从中选取 $m$ 个再对选中的 $m$ 个元素进行全排,我们就可以得到如下公式

\begin{equation} A_n^m = C_n^m A_m^m \end{equation}
对等式进行变换,可得
\begin{equation} C_n^m = \frac {A_n^m}{A_m^m} \end{equation}
对于这个公式,我们可理解为,从排列中排除组合中认为等效的组合. 我们将式 2 展开,可得
\begin{equation} C_n^m = \frac{n(n -1) \cdots(n -m + 1)}{m(m-1)\cdots 1} \end{equation}
进一步变换,可得
\begin{equation} C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} \end{equation}

2. 性质

   我们将式 4 中的 $m$ 用 $n-(n-m) $ 代换,可得组合的性质 1

\begin{equation} C_n^m = \frac{n!}{(n -m)![n-(n-m)]!} = C_n^{n-m} \end{equation}
对于性质 1 我们可以用一种直观的方式理解,到我们取 m 个元素时,剩余的元素本身就是取 $n-m$ 个元素时的组合

   当我们的总元素个数从 $n$ 变为 $n$ 变为 $n+1$ 时,我们可以分两类,一类为不包含新元素的组合,一类为包含新元素的组合,由分类加法技术原理,可得组合的性质 2

\begin{equation} C_{n + 1}^m = C_n^m + C_n^{m -1} \end{equation}
当然我们也可以对性质 2 进行数学证明,
\begin{equation} \begin{aligned} C_n^m + C_n^{m - 1} &= \frac{n!}{m!(n-m)!} + \frac{n!}{(m - 1)!(n - m + 1)!}\\ &= \frac{n!(n - m + 1)! + n!\cdot m}{m!(n - m + 1)!}\\ &= \frac{n![(n - m + 1)] + m}{m!(n - m + 1)!}\\ &= \frac{(n + 1)!}{m!(n - m + 1)!}\\ &= C_{n + 1}^m \end{aligned} \end{equation}

   下面这个公式出现在课本(人教 B 版)的《离散型随机变量的数字特征》这一章节,不要求掌握但这里还是作为拓展给出,

\begin{equation} mC_n^m = nC_{n-1}^{m-1} \end{equation}
下面给出证明,
\begin{equation} left = m\cdot \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-1)!(n-m)!} \end{equation}
\begin{equation} right = n\cdot \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-1)!(n-m)!} \end{equation}
\begin{equation} left = right \end{equation}
我们对式 8 进行变形可得
\begin{equation} C_n^m = \frac{n}{m} \cdot C_{n-1}^{m-1} \end{equation}

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