贡献者: 欄、停敘; addis
想象一下这样一个场景,老师要求你计算从 1 到 100 的所有自然数的和,这时,你旁边的一个名叫高斯的同学脱口而出 5050。当然,这篇文章的内容不是介绍如何快速的计算这个和的,于是这个故事里,你不是高斯,而是他旁边那个看起来 “笨笨” 的同学。你和其他的同学一样,从
时过境迁,对于计算机随处可见的现在,这样的操作不再像当时那样看起来笨笨的,计算机每天都在进行着类似的操作。不仅如此,通过对这个过程抽象得到的求和符号,不仅能只用一个比较简短的记号就描述之前你的求和过程,在理论上提供了强大的表达能力,还能够推广到远比高斯当时使用的方法广泛的场景中,展现了高效和便捷的特性。
当然,这个符号与之前学习过的其他符号(
假设有人给了你一项任务,他希望你求出一些数字的和是多少(这个过程的名字叫累加),比如一辆车从始发站到某一站,每站都会上一些人,再下一些人,问到这一站的时候车上有多少人。想一想这个过程,你会需要他给你哪些信息呢?
你需要知道第一个数是多少,并且要他依次把这些数字给你,而且最终需要有一个停止的条件,即这些数字会最终停止在某一个数字上。对于已经接触过数列的同学一定意识到了,这些数字可以构成一个数列。第一个数就是首项,最后一个数就是末项。下面假设这个数列是
为了避免每次都要写一堆点来表达这个求和过程,通常会设这个数列的所有项的和是
但是,尽管使用
由于累加过于常用,上面的三个问题就显得尤为突出,因此,迫切需要一个新的手段来避免出现这些问题,数学家们设计了求和符号,用求和符号来表现累加过程的定义如下:
下面大概的解释一下求和符号在做什么:
对照着刚才的那些问题,可以发现,用它来代替
对于递增情况的累加过程,可以采用递归的定义方式,也就是把第
在实际使用时,为了让求和符号能在在不同的情况下表示累加的概念,发明了一些其他的表达方法2。标题中带*的内容只做拓展视野使用,在高中阶段不涉及。
式 3 是最常用的一种表示方法。但事实上不论是指标,还是它的下限或是上限都可以根据实际情况有其他的选择。相较之前更泛用的记法定义如下:
指标通常会使用
关于下限和上限,与刚才相同,不一定会从
注意,求和符号所代表的累加过程一共有
如果
这样做的好处是彻底脱离了之前提到的 “给这个数列一个符号” 的操作,直接用一个具体的表达式就可以写出来了,这样的表达方法使用最广泛。
通过上面的例题可以看到,如果求和的表达式如果是一个单项式的话,直接写出即可,但如果是一个多项式的话,那么在书写时必须要用括号把它扩起来,以免引发歧义。
综上,式 3 到式 6 介绍了常用的几种求和符号的使用方法3,它们各有特点,具体使用时需要根据情况进行选择,需要做到能认能写。
下面给出一些常用的求和结论,感兴趣的读者可以自行证明。
求和式 | | | | | |
化简结果 | | | | |
下面以
很多刚刚接触这个符号的人,在见到写成求和符号时,会下意识地想要把它展开成熟悉的累加形式。但是事实上,有一些运算技巧可以保证在运算过程中快速地进行变换。当然,觉得理解困难时,随时都可以展开再计算,但熟练了下面提到的这些技巧,相信你可以 “不畏浮云遮望眼”。
求和符号内部是线性的。
式中
对于指标递增的求和符号,指标集也是可以分拆的,假设
指标换元时,根据换元的关系,分别更换指标的下限、上限,以及求和通项中的指标。设
特别的,可以通过换元来得到倒序求和,只要保证
这个过程可以理解成将一列数按一定顺序放到一个表里面后,按照表的行求和后再按列求和。这样做可以在行求和时不考虑列的影响,反之亦然。
它的一个特例是,分成两列,并利用式 10 使得两列的顺序相反,即:
与式 3 类似,许多常见的求和问题可以通过拆项(partial fraction decomposition),使得相邻项变得可以互相抵消,最终得出简洁的结果,这种方法被称为裂项相消法。
如 例 6 所示,通过对每一项的拆分,使得相邻的正负项互相抵消,从而将复杂的求和过程简化为一个首尾项的差。这种方法适用于求和过程中每一项形式为分母是与
求和式 | 裂项方法 | 化简结果 |
| | |
* | * | * |
* | * | * |
总结一下,求和符号有下面几点明确的好处:
相信认真阅读完本页内容的你,已经感受到了前三点。其他的内容或许对高中的你而言会觉得不知所谓,但相信随着学习的深入,你会一点一点感受到这些好处,并受用终身。
1. ^ 这时称为 “空和”
2. ^ 在印刷排版中,行内的求和符号也经常写成
3. ^ 更多的表示方法可参见大型运算符
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