算符的矩阵表示

                     

贡献者： addis

　　 考虑一个比较基本的问题，算符的 “功能” 是什么呢？算符就是对函数的一种操作方法。给出一个波函数，经过算符作用，可以得到一个新的波函数。以下给出量子力学中算符的两个重要性质

1. 算符都是线性的，即对任意 $n$ 个波函数 ${\psi }_1,{\psi }_2\dots {\psi }_n$， 算符 $\hat{Q}$ 满足
   $$\begin{array}{}\text{(1)}& \hat{Q}(c_1{\psi }_1+c_2{\psi }_2\dots c_n{\psi }_n)=c_1\hat{Q}{\psi }_1+c_2\hat{Q}{\psi }_2\dots c_n\hat{Q}{\psi }_n.\end{array}$$
2. 算符的本征方程的本征值都是实数。因为根据测量理论，本征值就是可能出现的测量结果，所以本征值一定是实数。

　　 我们已经知道，波函数可以用列矢量表示。既然算符都是线性的，而矩阵可以表示列矢量的线性变换，是否可以用矩阵代替算符，从而作用于列向量呢？根据性质 $1$， 若 $\psi$ 是算符是算符 $\hat{Q}$ 的本征函数，${\lambda }_1\dots {\lambda }_n$ 是对应的本征值（实数），则

若把上面的波函数表示成列矢量，就相当于在算符 $\hat{Q}$ 的作用下任意一个列矢量 $|\psi ⟩=(c_1,\dots ,c_n{)}^{\mathrm{T}}$ 总是会变成 $({\lambda }_1{c}_1,\dots ,{\lambda }_n{c}_n{)}^{\mathrm{T}}$。这个变换可以用矩阵 来表示，即 所以矩阵 $\mathbf{Q}$ 就是算符 $\hat{Q}$ 的矩阵形式，把算符作用在波函数上得到新的波函数，等效于把算符对应的矩阵作用在波函数对应的列矢量上，得到新的波函数对应的列矢量。

　　 用矩阵和列向量表示的本征方程如下

解得 $\lambda ={\lambda }_i$ 时，$|\psi ⟩=|{\psi }_1⟩=(0,\dots ,1,\dots ,0{)}^{\mathrm{T}}$（只有第 $i$ 个分量等于 1，其余分量等于 0），而 $|{\psi }_i⟩$ 正是波函数 ${\psi }_i$ 对应的列向量。

1. 在任意基底中的矩阵

　　 上面的讨论中用矩阵 $\mathbf{Q}$ 表示算符 $\hat{Q}$，其局限性在于，只能使用 $\hat{Q}$ 的本征函数 ${\psi }_1\dots {\psi }_n$ 作为基底。现在若用其他基底（正交归一的）${\varphi }_1\dots {\varphi }_n$，能否求出算符 $\hat{Q}$ 对应的矩阵 ${\mathbf{Q}}_1$ 呢？

　　 下面讨论中，为了避免混淆，用 ${|f⟩}_{\varphi }$ 表示波函数 $f$ 以 ${\varphi }_1\dots {\varphi }_n$ 为基底的列矢量，${|f⟩}_{\psi }$ 表示波函数 $f$ 以 ${\psi }_1\dots {\psi }_n$ 为基底的列矢量。

　　 现取任意一波函数 $f$， ${|f⟩}_{\psi }=(c_1\dots c_n{)}^{\mathrm{T}}$，${|f⟩}_{\varphi }=(d_1\dots d_n{)}^{\mathrm{T}}$。虽然它们表示同一个波函数 $f$， 但是由于选取的基底不同，列向量也不同。下面讨论它们之间的变换关系。

　　 若把 $f$ 按 ${\varphi }_i$ 展开，有

若把 $f$ 按 ${\psi }_i$ 展开，有 上式用矩阵和列矢量表示，即 $(d_1\dots d_n{)}^{\mathrm{T}}=\mathbf{P}(c_1\dots c_n{)}^{\mathrm{T}}$， 即 ${|f⟩}_{\varphi }=P{|f⟩}_{\psi }$。其中 $P$ 矩阵的矩阵元 $P_{ij}=\int {\varphi }_i^{\ast }{\psi }_{j}dx$。 $\mathbf{P}$ 叫做基底变换矩阵（或表象变换矩阵）。

　　 若令 $\hat{Q}f=g$， 根据前面的内容，$Q{|f⟩}_{\psi }={|g⟩}_{\psi }$ 其中 $Q=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1\dots {\lambda }_{\mathrm{n}})$。

　　 下面应用基底变换矩阵，有 ${|f⟩}_{\psi }=P^{-1}{|f⟩}_{\varphi }$ ; ${|g⟩}_{\psi }=P^{-1}{|g⟩}_{\varphi }$。代入上式得

两边左乘 $P$ 得 令 ${\mathbf{Q}}_1=\mathbf{P}\mathbf{Q}{\mathbf{P}}^{-1}$， 得 所以 ${\mathbf{Q}}_1$ 就是要求的矩阵。

　　 下面证明 ${\mathbf{Q}}_1$ 是厄米矩阵。

　　 我们先学习所谓幺正矩阵。这里给出幺正矩阵的一种定义：若把矩阵 $\mathbf{P}$ 的每一列划分成一个列向量，从左到右分别为 $|p_1⟩\dots |p_n⟩$， 若满足 $⟨p_i|p_j⟩={\delta }_{ij}$ 则矩阵 $\mathbf{P}$ 叫做幺正矩阵。

　　 容易证明式 $\ast$ 中的 $P$ 就是幺正矩阵（证明略）。

　　 性质 $1$：幺正矩阵一个很重要的性质就是其厄米共轭等于其逆矩阵，${\mathbf{P}}^{\ast }={\mathbf{P}}^{-1}.$

　　 证明：要证明 ${\mathbf{P}}^{\ast }={\mathbf{P}}^{-1}$， 只需证明 ${\mathbf{P}}^{\ast }\mathbf{P}$ 是单位矩阵即可。根据矩阵乘法的定义，

根据厄米共轭的定义， 所以 ${\mathbf{P}}^{\ast }\mathbf{P}$ 是 $n$ 阶的单位矩阵。 证毕。

　　 在上文中，$\mathbf{Q}$ 是所谓的实数元的对角矩阵，所以 ${\mathbf{Q}}^{\ast }=\mathbf{Q}.$

　　 另外容易证明，$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{\ast }={\mathbf{B}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }$。 所以

所以 ${\mathbf{Q}}_1$ 是厄米矩阵。