算符的矩阵表示
贡献者: addis
- 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。
- 这是事实上是线性代数的内容,并没有涉及到量子力学
考虑一个比较基本的问题,算符的 “功能” 是什么呢?算符就是对函数的一种操作方法。给出一个波函数,经过算符作用,可以得到一个新的波函数。以下给出量子力学中算符的两个重要性质
- 算符都是线性的,即对任意 个波函数 , 算符 满足
- 算符的本征方程的本征值都是实数。因为根据测量理论,本征值就是可能出现的测量结果,所以本征值一定是实数。
我们已经知道,波函数可以用列矢量表示。既然算符都是线性的,而矩阵可以表示列矢量的线性变换,是否可以用矩阵代替算符,从而作用于列向量呢?根据性质 , 若 是算符是算符 的本征函数, 是对应的本征值(实数),则
若把上面的波函数表示成列矢量,就相当于在算符 的作用下任意一个列矢量 总是会变成 。这个变换可以用矩阵
来表示,即
所以矩阵 就是算符 的矩阵形式,把算符作用在波函数上得到新的波函数,等效于把算符对应的矩阵作用在波函数对应的列矢量上,得到新的波函数对应的列矢量。
用矩阵和列向量表示的本征方程如下
解得 时,(只有第 个分量等于 1,其余分量等于 0),而 正是波函数 对应的列向量。
1. 在任意基底中的矩阵
上面的讨论中用矩阵 表示算符 ,其局限性在于,只能使用 的本征函数 作为基底。现在若用其他基底(正交归一的),能否求出算符 对应的矩阵 呢?
下面讨论中,为了避免混淆,用 表示波函数 以 为基底的列矢量, 表示波函数 以 为基底的列矢量。
现取任意一波函数 , ,。虽然它们表示同一个波函数 , 但是由于选取的基底不同,列向量也不同。下面讨论它们之间的变换关系。
若把 按 展开,有
若把 按 展开,有
上式用矩阵和列矢量表示,即 , 即 。其中 矩阵的矩阵元 。 叫做基底变换矩阵(或表象变换矩阵)。
若令 , 根据前面的内容, 其中 。
下面应用基底变换矩阵,有 ; 。代入上式得
两边左乘 得
令 , 得
所以 就是要求的矩阵。
下面证明 是厄米矩阵。
我们先学习所谓幺正矩阵。这里给出幺正矩阵的一种定义:若把矩阵 的每一列划分成一个列向量,从左到右分别为 , 若满足 则矩阵 叫做幺正矩阵。
容易证明式 中的 就是幺正矩阵(证明略)。
性质 :幺正矩阵一个很重要的性质就是其厄米共轭等于其逆矩阵,
证明:要证明 , 只需证明 是单位矩阵即可。根据矩阵乘法的定义,
根据厄米共轭的定义,
所以 是 阶的单位矩阵。 证毕。
在上文中, 是所谓的实数元的对角矩阵,所以
另外容易证明,。 所以
所以 是厄米矩阵。
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