算符的矩阵表示

                     

贡献者: addis

  • 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。
  • 这是事实上是线性代数的内容,并没有涉及到量子力学

   考虑一个比较基本的问题,算符的 “功能” 是什么呢?算符就是对函数的一种操作方法。给出一个波函数,经过算符作用,可以得到一个新的波函数。以下给出量子力学中算符的两个重要性质

  1. 算符都是线性的,即对任意 n 个波函数 ψ1,ψ2ψn, 算符 Q^ 满足
    (1)Q^(c1ψ1+c2ψ2cnψn)=c1Q^ψ1+c2Q^ψ2cnQ^ψn .
  2. 算符的本征方程的本征值都是实数。因为根据测量理论,本征值就是可能出现的测量结果,所以本征值一定是实数。

   我们已经知道,波函数可以用列矢量表示。既然算符都是线性的,而矩阵可以表示列矢量的线性变换,是否可以用矩阵代替算符,从而作用于列向量呢?根据性质 1, 若 ψ 是算符是算符 Q^ 的本征函数,λ1λn 是对应的本征值(实数),则

(2){Q^ψ=Q^(c1ψ1++cnψn)=c1Q^ψ1++cnQ^ψn=λ1c1ψ1++λncnψn .
若把上面的波函数表示成列矢量,就相当于在算符 Q^ 的作用下任意一个列矢量 |ψ=(c1,,cn)T 总是会变成 (λ1c1,,λncn)T。这个变换可以用矩阵
(3)Q=(λ1λn) 
来表示,即
(4)(λ1λn)(c1cn)=(λ1c1λncn) .
所以矩阵 Q 就是算符 Q^ 的矩阵形式,把算符作用在波函数上得到新的波函数,等效于把算符对应的矩阵作用在波函数对应的列矢量上,得到新的波函数对应的列矢量。

   用矩阵和列向量表示的本征方程如下

(5)Q|ψ=λ|ψ .
解得 λ=λi 时,|ψ=|ψ1=(0,,1,,0)T(只有第 i 个分量等于 1,其余分量等于 0),而 |ψi 正是波函数 ψi 对应的列向量。

1. 在任意基底中的矩阵

   上面的讨论中用矩阵 Q 表示算符 Q^,其局限性在于,只能使用 Q^ 的本征函数 ψ1ψn 作为基底。现在若用其他基底(正交归一的)ϕ1ϕn,能否求出算符 Q^ 对应的矩阵 Q1 呢?

   下面讨论中,为了避免混淆,用 |fϕ 表示波函数 fϕ1ϕn 为基底的列矢量,|fψ 表示波函数 fψ1ψn 为基底的列矢量。

   现取任意一波函数 f|fψ=(c1cn)T|fϕ=(d1dn)T。虽然它们表示同一个波函数 f, 但是由于选取的基底不同,列向量也不同。下面讨论它们之间的变换关系。

   若把 fϕi 展开,有

(6)ϕifdx=ϕi(d1ϕ1++dnϕn)dx=j=1ndjϕiϕjdx=j=1ndjδij=di .
若把 fψi 展开,有
(7)di=ϕifdx=ϕi(c1ψ1++cnψn)dx=j=1ncjϕiψjdx .
上式用矩阵和列矢量表示,即 (d1dn)T=P(c1cn)T, 即 |fϕ=P|fψ。其中 P 矩阵的矩阵元 Pij=ϕiψjdxP 叫做基底变换矩阵(或表象变换矩阵)。

   若令 Q^f=g, 根据前面的内容,Q|fψ=|gψ 其中 Q=diag(λ1λn)

   下面应用基底变换矩阵,有 |fψ=P1|fϕ ; |gψ=P1|gϕ。代入上式得

(8)QP1|fϕ=P1|gϕ ,
两边左乘 P
(9)PQP1|fϕ=|gϕ .
Q1=PQP1, 得
(10)Q1|fϕ=|gϕ ,
所以 Q1 就是要求的矩阵。

   下面证明 Q1 是厄米矩阵。

   我们先学习所谓幺正矩阵。这里给出幺正矩阵的一种定义:若把矩阵 P 的每一列划分成一个列向量,从左到右分别为 |p1|pn, 若满足 pi|pj=δij 则矩阵 P 叫做幺正矩阵。

   容易证明式 中的 P 就是幺正矩阵(证明略)。

   性质 1:幺正矩阵一个很重要的性质就是其厄米共轭等于其逆矩阵,P=P1 .

   证明:要证明 P=P1, 只需证明 PP 是单位矩阵即可。根据矩阵乘法的定义,

(11)(PP)ij=k=1n(P)ikPkj .
根据厄米共轭的定义,
(12)k=1n(P)ikPkj=k=1n(Pki)Pkj=pi|pjδij ,
所以 PPn 阶的单位矩阵。 证毕。

   在上文中,Q 是所谓的实数元的对角矩阵,所以 Q=Q .

   另外容易证明,(AB)=BA。 所以

(13)Q1=(PQP1)=(P1)(PQ)=P(QP)=PQP1=Q1 ,
所以 Q1 是厄米矩阵。


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