块对角厄米矩阵的本征问题

                     

贡献者: addis

预备知识 厄米矩阵的本征问题,块对角矩阵

定理 1 

   若一个厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 是块对角的,那么每个对角块 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _i$ 也显然是厄米矩阵.只需要分别解每个 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _i$ 的本征方程,得到相同大小的本征矢列矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i$,然后按相同顺序拼成块对角矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $,就是 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的本征矢列矩阵.

   从线性算符的角度来理解,就是

定理 2 

   若厄米算符 $H:V\to V$ 在 $V$ 的若干子空间 $V_i$ 中闭合,且

\begin{equation} V = V_1\oplus V_2\oplus \dots \oplus V_N \end{equation}
那么 $V_i$ 两两正交,且每个 $H:V_i\to V_i$ 的本征矢和本征值就是 $H:V\to V$ 的本征矢和本征值.

  

未完成:举例

   由于映射 $H$ 在每个子空间中都闭合,只需要在每个子空间解 $H$ 的本征矢,即第 $n$ 个对角块矩阵元为 $ \left\langle v_{n,i} \middle| H \middle| v_{n,j} \right\rangle $……


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