贡献者： 待更新
定义算符 $A,B$ 的对易子（commutator）为
\begin{equation}
[A, B] = AB - BA~,
\end{equation}
那么对易可以表示为 $[A,B] = 0$，反之不对易表示为 $[A,B]\ne 0$。
定义两个算符（即映射）$A: X\to X$ 和 $B: X\to X$ 的交换子（commutator）（也叫对易算符）为
\begin{equation}
[A, B] = A B - B A~.
\end{equation}
两个算符相等在这里的意义是它们作用在任意 $x \in X$ 上，结果都相等。算符的乘法 $AB$ 在这里表示复合算符（即复合映射 $A\circ B$）。
根据定义，当 $A B = B A$ 就有 $[A, B] = 0$，这时我们就说它们对易（commutes）或者交换，否则就不对易。
习题 1
一般来说，矩阵乘法不满足交换律。试证明任意两个平面旋转矩阵（二维几何矢量空间的算符）对易（实数 $\alpha \ne \beta$）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
习题 2
令 $X$ 为所有连续可导函数的集合，定义算符 $A$ 作用在任意 $f\in X$ 上的结果 $Af$ 为函数 $(Af)(x) = x f(x)$，定义算符 $B$ 为 $(Bf)(x) = \mathrm{d}{f}/\mathrm{d}{x} $。试证明对易算符 $[A, B]$ 是单位算符，即 $[A, B]f = f$。
1. 常见性质
\begin{equation}
[B, A] = -[A, B]~.
\end{equation}
分配律
\begin{equation}
[A, B + C] = [A, B] + [A, C]~,
\qquad
[A + B, C] = [A, C] + [B, C]~,
\end{equation}
\begin{equation}
[A, BC] = [A, B]C + B[A, C]~.
\end{equation}
\begin{equation}
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。