对易算符

             

预备知识 映射

   定义两个算符(即映射)$A: X\to X$ 和 $B: X\to X$ 的交换子(commutator)(也叫对易算符)为

\begin{equation} [A, B] = A B - B A \end{equation}
两个算符相等在这里的意义是它们作用在任意 $x \in X$ 上,结果都相等.算符的乘法 $AB$ 在这里表示复合算符(即复合映射 $A\circ B$).

   根据定义,当 $A B = B A$ 就有 $[A, B] = 0$,这时我们就说它们对易(commutes)或者交换,否则就不对易

习题 1 

   一般来说,矩阵乘法不满足交换律.试证明任意两个平面旋转矩阵(二维几何矢量空间的算符)对易(实数 $\alpha \ne \beta$)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \qquad \boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix} \end{equation}

习题 2 

   令 $X$ 为所有连续可导函数的集合,定义算符 $A$ 作用在任意 $f\in X$ 上的结果 $Af$ 为函数 $(Af)(x) = x f(x)$,定义算符 $B$ 为 $(Bf)(x) = \mathrm{d}{f}/\mathrm{d}{x} $.试证明对易算符 $[A, B]$ 是单位算符,即 $[A, B]f = f$.

1. 常见性质

\begin{equation} [B, A] = -[A, B] \end{equation}
分配律
\begin{equation} [A, B + C] = [A, B] + [A, C] \qquad [A + B, C] = [A, C] + [B, C] \end{equation}
\begin{equation} [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] \end{equation}
雅可比恒等式(Jacobi identity)
\begin{equation} [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 \end{equation}

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