充分必要条件

贡献者：叶燊Leafshen; addis

预备知识 1　集合（高中）

　　若由命题 $A$ 能推导出命题 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充分条件， $B$ 是 $A$ 的必要条件。如何理解这个定义呢？下面举两个例子。

例 1　

　　命题 $A$ ：四边形 $A B C D$ 是一个正方形。

　　命题 $B$ ：四边形 $A B C D$ 的四条边相等。

　　首先我们考虑 $A$ 对 $B$ 的关系。显然，由 $A$ 可以推出 $B$ ，说明 $A$ 中有充分的信息能得到 $B$ ，所以叫做 $B$ 的充分条件。 $A$ 中包括得到 $B$ 所必要的信息，还可能包括一些其他信息，例如由命题 $A$ 可以得出四边形任意两条临边垂直。这些多出来的信息并不一定是得到 $B$ 所必须的，因为还有许多其他的四边形四条边相等但并不是正方形。

　　那如何判断 $A$ 中有没有多余的信息呢？我们可以反过来试图用 $B$ 推导命题 $A$ ，若原则上得不出 $A$ （而不是因为我们逻辑水平不够），则证明 $A$ 中有多余的条件。这时我们说 $A$ 不是 $B$ 的必要条件，因为 $A$ 中的一些信息是多余的，也就是没有必要的。综上， $A$ 是 $B$ 的充分非必要条件。

　　现在我们从 $B$ 的角度考虑。虽然由条件 $B$ 不能推导出条件 $A$ ，但是 $B$ 是 $A$ 中信息的一部分， $B$ 必须要成立才有可能使 $A$ 成立，也就是说如果 $B$ 不成立 $A$ 就不可能成立（四条边不全相等的四边形一定不是正方形）。所以说 $B$ 是 $A$ 的必要条件。另外，由 $B$ 中的少量信息不能得到 $A$ ，所以 $B$ 不是 $A$ 的充分条件。综上， $B$ 是 $A$ 的必要非充分条件。

例 2　

　　命题 $A$ ：三角形 $X$ 的其中两内个角分别为 $90^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$ 。

　　命题 $B$ ：三角形 $X$ 有两个 $45^{\circ}$ 的内角。

　　利用三角形三个内角和为 $180^{\circ}$ 的事实，可以从 $A$ 推出 $B$ ，说明 $A$ 是 $B$ 的充分条件， $B$ 是 $A$ 的必要条件。但也可以从 $B$ 推出 $A$ ，说明 $B$ 是 $A$ 的充分条件， $A$ 是 $B$ 的必要条件。所以 $A$ 和 $B$ 既是彼此的充分条件也是彼此的必要条件。所以我们说 $A$ 和 $B$ 互为充分必要条件。若 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件， $B$ 一定也是 $A$ 的充分必要条件。因为两种表述都意味着 $A$ ， $B$ 命题等效，所提供的信息都是一样的，两者都没有任何多余的或者缺失的信息。

　　需要注意的是：

充分/必要条件是两个命题之间的关系，说一个孤立命题是充分/必要条件没有意义。
讨论充分/必要条件需要在一定的前提下进行。以上两个例子中的前提如：我们讨论的是欧几里得几何中的平面四边形和三角形。当然，我们也可以把这个前提直接写在每个命题中。
在证明 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件时，需要分别证明 $A$ （相对于 $B$ ）的充分性和必要性。充分性需要由 $A$ 证明 $B$ ，必要性需要由 $B$ 证明 $A$ 。
在证明 $A$ 是 $B$ 的充分非必要条件时，除了需要证明 $A$ 的充分性，还需非必要性，即 $B$ 不能推出 $A$ 。只要我们可以举出一个 $B$ 成立 $A$ 不成立的反例，就立刻证明了不可能由 $B$ 推出 $A$ 。

1. 逻辑学中的内涵和外延

　　在逻辑学中，我们这样解释： “马” 是一类事物的总称。限制条件诸如 “高大的”，“白色的” 等等，具体了其内涵，缩小了其外延。

　　概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性或特有属性。

　　概念的外延是指具有概念所反映的本质属性或特有属性的对象，即概念的适用范围。

　　两者的区别：

　　 1. 本质不同：内涵是 “属性”，外延是 “范围”。属性越多，则符合这个属性的范围越小。属性越少，符合这个属性的范围就越大。

　　 2. 侧重不同：概念的内涵是指概念的质的方面。概念的外延是指概念的量的方面。

2. 用韦恩图理解

预备知识 2　韦恩图

　　简要说明：

　　有命题 $A$ 和 $B$

$A$ 推出 $B$ ， $B$ 推不出 $A$ ，则为充分不必要，如图：

图 1：充分不必要
口诀：有之必然，无之未必不然
$A$ 推出 $B$ ， $B$ 推出 $A$ ，则为充要，如图：

图 2：充要
$A$ 推不出 $B$ ， $B$ 推不出 $A$ ，则既不充分也不必要，如图：

图 3：既不充分也不必要
$A$ 推不出 $B$ ， $B$ 推出 $A$ ，则必要不充分，如图：

图 4：必要不充分
口诀：有之未必然，无之必不然

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