充分必要条件

                     

贡献者: 叶燊Leafshen; addis; huangsijun17; ACertainUser

预备知识 集合(高中)

  

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1. 韦恩图

   韦恩图(Veen diagram),是在所谓的集合论(或者类的理论)数学分支中,在不太严格的意义下用以表示集合(或类)的一种草图。它们用于展示在不同的事物群组(集合)之间的数学或逻辑联系,尤其适合用来表示集合(或)类之间的 “大致关系”。它也常常被用来帮助推导(或理解推导过程)关于集合运算(或类运算)的一些规律。

图
图 1:Veen 图

   条件越多,在韦恩图上范围就越小,这似乎很好理解。

   我们将全集用黄色来表示,一个个限制条件瓦解侵蚀,我们用粉色来标记。那么,如图所示:

图
图 2:条件越多,在韦恩图上范围就越小

2. 学科联系

   在语文逻辑中,我们这样解释: “马” 是一类事物的总称。限制条件诸如 “高大的”“白色的”“会飞的” 等等,具体了其内涵,缩小了其外延

   概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性或特有属性。

   概念的外延是指具有概念所反映的本质属性或特有属性的对象,即概念的适用范围。

   两者的区别:

   1. 本质不同: 内涵是 “属性”,外延是 “范围”。属性越多,则符合这个属性的范围越小。属性越少,符合这个属性的范围就越大。

   2. 侧重不同: 概念的内涵是指概念的质的方面。 概念的外延是指概念的量的方面。

   若由命题 $A$ 能推导出命题 $B$,则 $A$ 是 $B$ 的充分条件,$B$ 是 $A$ 的必要条件。如何理解这个定义呢?下面举两个例子。

例 1 

   命题 $A$:四边形 $ABCD$ 是一个正方形。

   命题 $B$:四边形 $ABCD$ 的四条边相等。

   首先我们考虑 $A$ 对 $B$ 的关系。显然,由 $A$ 可以推出 $B$,说明 $A$ 中有充分的信息能得到 $B$,所以叫做 $B$ 的充分条件。$A$ 中包括得到 $B$ 所必要的信息,还可能包括一些其他信息,例如由命题 $A$ 可以得出四边形任意两条临边垂直。这些多出来的信息并不一定是得到 $B$ 所必须的,因为还有许多其他的四边形四条边相等但并不是正方形。

   那如何判断 $A$ 中有没有多余的信息呢?我们可以反过来试图用 $B$ 推导命题 $A$,若原则上得不出 $A$(而不是因为我们逻辑水平不够),则证明 $A$ 中有多余的条件。这时我们说 $A$ 不是 $B$ 的必要条件,因为 $A$ 中的一些信息是多余的,也就是没有必要的。综上,$A$ 是 $B$ 的充分非必要条件

   现在我们从 $B$ 的角度考虑。虽然由条件 $B$ 不能推导出条件 $A$,但是 $B$ 是 $A$ 中信息的一部分,$B$ 必须要成立才有可能使 $A$ 成立,也就是说如果 $B$ 不成立 $A$ 就不可能成立(四条边不全相等的四边形一定不是正方形)。所以说 $B$ 是 $A$ 的必要条件。另外,由 $B$ 中的少量信息不能得到 $A$,所以 $B$ 不是 $A$ 的充分条件。综上,$B$ 是 $A$ 的必要非充分条件

例 2 

   命题 $A$:三角形 $X$ 的其中两内个角分别为 $90^\circ$ 和 $45^\circ$。

   命题 $B$:三角形 $X$ 有两个 $45^\circ$ 的内角。

   利用三角形三个内角和为 $180^\circ$ 的事实,可以从 $A$ 推出 $B$,说明 $A$ 是 $B$ 的充分条件,$B$ 是 $A$ 的必要条件。但也可以从 $B$ 推出 $A$,说明 $B$ 是 $A$ 的充分条件,$A$ 是 $B$ 的必要条件。所以 $A$ 和 $B$ 既是彼此的充分条件也是彼此的必要条件。所以我们说 $A$ 和 $B$ 互为充分必要条件。若 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件,$B$ 一定也是 $A$ 的充分必要条件。因为两种表述都意味着 $A$, $B$ 命题等效,所提供的信息都是一样的,两者都没有任何多余的或者缺失的信息。

   需要注意的是:

  1. 充分/必要条件是两个命题之间的关系,若直说一个命题是充分/必要条件没有意义。
  2. 讨论充分/必要条件需要在一定的前提下进行。以上两个例子中的前提如:我们讨论的是欧几里得几何中的平面四边形和三角形。当然,我们也可以把这个前提直接写在每个命题中。
  3. 在证明 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件时,需要分别证明 $A$(相对于 $B$)的充分性和必要性。充分性需要由 $A$ 证明 $B$,必要性需要由 $B$ 证明 $A$。
  4. 在证明 $A$ 是 $B$ 的充分非必要条件时,除了需要证明 $A$ 的充分性,还需非必要性,即 $B$ 不能推出 $A$。只要我们可以举出一个 $B$ 成立 $A$ 不成立的反例,就立刻证明了不可能由 $B$ 推出 $A$。

   简要说明:

   有命题 $A$ 和 $B$

  1. $A$ 推出 $B$,$B$ 推不出 $A$,则为充分不必要,如图:
    图
    图 3:充分不必要
    口诀:有之必然,无之未必不然
  2. $A$ 推出 $B$,$B$ 推出 $A$,则为充要,如图:
    图
    图 4:充要
  3. $A$ 推不出 $B$,$B$ 推不出 $A$,则既不充分也不必要,如图:
    图
    图 5:既不充分也不必要
  4. $A$ 推不出 $B$,$B$ 推出 $A$,则必要不充分,如图:
    图
    图 6:必要不充分
    口诀:有之未必然,无之必不然

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