充分必要条件
贡献者: 叶燊Leafshen; addis
若由命题 能推导出命题 ,则 是 的充分条件, 是 的必要条件。如何理解这个定义呢?下面举两个例子。
例 1
命题 :四边形 是一个正方形。
命题 :四边形 的四条边相等。
首先我们考虑 对 的关系。显然,由 可以推出 ,说明 中有充分的信息能得到 ,所以叫做 的充分条件。 中包括得到 所必要的信息,还可能包括一些其他信息,例如由命题 可以得出四边形任意两条临边垂直。这些多出来的信息并不一定是得到 所必须的,因为还有许多其他的四边形四条边相等但并不是正方形。
那如何判断 中有没有多余的信息呢?我们可以反过来试图用 推导命题 ,若原则上得不出 (而不是因为我们逻辑水平不够),则证明 中有多余的条件。这时我们说 不是 的必要条件,因为 中的一些信息是多余的,也就是没有必要的。综上, 是 的充分非必要条件。
现在我们从 的角度考虑。虽然由条件 不能推导出条件 ,但是 是 中信息的一部分, 必须要成立才有可能使 成立,也就是说如果 不成立 就不可能成立(四条边不全相等的四边形一定不是正方形)。所以说 是 的必要条件。另外,由 中的少量信息不能得到 ,所以 不是 的充分条件。综上, 是 的必要非充分条件。
例 2
命题 :三角形 的其中两内个角分别为 和 。
命题 :三角形 有两个 的内角。
利用三角形三个内角和为 的事实,可以从 推出 ,说明 是 的充分条件, 是 的必要条件。但也可以从 推出 ,说明 是 的充分条件, 是 的必要条件。所以 和 既是彼此的充分条件也是彼此的必要条件。所以我们说 和 互为充分必要条件。若 是 的充分必要条件, 一定也是 的充分必要条件。因为两种表述都意味着 , 命题等效,所提供的信息都是一样的,两者都没有任何多余的或者缺失的信息。
需要注意的是:
- 充分/必要条件是两个命题之间的关系,说一个孤立命题是充分/必要条件没有意义。
- 讨论充分/必要条件需要在一定的前提下进行。以上两个例子中的前提如:我们讨论的是欧几里得几何中的平面四边形和三角形。当然,我们也可以把这个前提直接写在每个命题中。
- 在证明 是 的充分必要条件时,需要分别证明 (相对于 )的充分性和必要性。充分性需要由 证明 ,必要性需要由 证明 。
- 在证明 是 的充分非必要条件时,除了需要证明 的充分性,还需非必要性,即 不能推出 。只要我们可以举出一个 成立 不成立的反例,就立刻证明了不可能由 推出 。
1. 逻辑学中的内涵和外延
在逻辑学中,我们这样解释:
“马” 是一类事物的总称。限制条件诸如 “高大的”,“白色的” 等等,具体了其内涵,缩小了其外延。
概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性或特有属性。
概念的外延是指具有概念所反映的本质属性或特有属性的对象,即概念的适用范围。
两者的区别:
1. 本质不同:
内涵是 “属性”,外延是 “范围”。属性越多,则符合这个属性的范围越小。属性越少,符合这个属性的范围就越大。
2. 侧重不同:
概念的内涵是指概念的质的方面。
概念的外延是指概念的量的方面。
2. 用韦恩图理解
简要说明:
有命题 和
- 推出 , 推不出 ,则为充分不必要,如图:
图 1:充分不必要
口诀:有之必然,无之未必不然
- 推出 , 推出 ,则为充要,如图:
图 2:充要
- 推不出 , 推不出 ,则既不充分也不必要,如图:
图 3:既不充分也不必要
- 推不出 , 推出 ,则必要不充分,如图:
图 4:必要不充分
口诀:有之未必然,无之必不然
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