充分必要条件

             

   若由命题 $A$ 能推导出命题 $B$,则 $A$ 是 $B$ 的充分条件,$B$ 是 $A$ 的必要条件.如何理解这个定义呢?下面举两个例子.

例 1 

   命题 $A$:四边形 $ABCD$ 是一个正方形.

   命题 $B$:四边形 $ABCD$ 的四条边相等.

   首先我们考虑 $A$ 对 $B$ 的关系.显然,由 $A$ 可以推出 $B$,说明 $A$ 中有充分的信息能得到 $B$,所以叫做 $B$ 的充分条件.$A$ 中包括得到 $B$ 所必要的信息,还可能包括一些其他信息,例如由命题 $A$ 可以得出四边形任意两条临边垂直.这些多出来的信息并不一定是得到 $B$ 所必须的,因为还有许多其他的四边形四条边相等但并不是正方形.

   那如何判断 $A$ 中有没有多余的信息呢?我们可以反过来试图用 $B$ 推导命题 $A$,若原则上得不出 $A$(而不是因为我们逻辑水平不够),则证明 $A$ 中有多余的条件.这时我们说 $A$ 不是 $B$ 的必要条件,因为 $A$ 中的一些信息是多余的,也就是没有必要的.综上,$A$ 是 $B$ 的充分非必要条件

   现在我们从 $B$ 的角度考虑.虽然由条件 $B$ 不能推导出条件 $A$,但是 $B$ 是 $A$ 中信息的一部分,$B$ 必须要成立才有可能使 $A$ 成立,也就是说如果 $B$ 不成立 $A$ 就不可能成立(四条边不全相等的四边形一定不是正方形).所以说 $B$ 是 $A$ 的必要条件.另外,由 $B$ 中的少量信息不能得到 $A$,所以 $B$ 不是 $A$ 的充分条件.综上,$B$ 是 $A$ 的必要非充分条件

例 2 

   命题 $A$:三角形 $X$ 的其中两内个角分别为 $90^\circ$ 和 $45^\circ$.

   命题 $B$:三角形 $X$ 有两个 $45^\circ$ 的内角.

   利用三角形三个内角和为 $180^\circ$ 的事实,可以从 $A$ 推出 $B$,说明 $A$ 是 $B$ 的充分条件,$B$ 是 $A$ 的必要条件.但也可以从 $B$ 推出 $A$,说明 $B$ 是 $A$ 的充分条件,$A$ 是 $B$ 的必要条件.所以 $A$ 和 $B$ 既是彼此的充分条件也是彼此的必要条件.所以我们说 $A$ 和 $B$ 互为充分必要条件.若 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件,$B$ 一定也是 $A$ 的充分必要条件.因为两种表述都意味着 $A$, $B$ 命题等效,所提供的信息都是一样的,两者都没有任何多余的或者缺失的信息.

   需要注意的是

  1. 充分/必要条件是两个命题之间的关系,若直说一个命题是充分/必要条件没有意义.
  2. 讨论充分/必要条件需要在一定的前提下进行.以上两个例子中的前提如:我们讨论的是欧几里得几何中的平面四边形和三角形.当然,我们也可以把这个前提直接写在每个命题中.
  3. 在证明 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件时,需要分别证明 $A$(相对于 $B$)的充分性和必要性.充分性需要由 $A$ 证明 $B$,必要性需要由 $B$ 证明 $A$.
  4. 在证明 $A$ 是 $B$ 的充分非必要条件时,除了需要证明 $A$ 的充分性,还需非必要性,即 $B$ 不能推出 $A$.只要我们可以举出一个 $B$ 成立 $A$ 不成立的反例,就立刻证明了不可能由 $B$ 推出 $A$.
致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利