充分必要条件

                     

贡献者: 叶燊Leafshen; addis

预备知识 1 集合(高中)

   若由命题 A 能推导出命题 B,则 AB充分条件BA必要条件。如何理解这个定义呢?下面举两个例子。

例 1 

   命题 A:四边形 ABCD 是一个正方形。

   命题 B:四边形 ABCD 的四条边相等。

   首先我们考虑 AB 的关系。显然,由 A 可以推出 B,说明 A 中有充分的信息能得到 B,所以叫做 B充分条件A 中包括得到 B 所必要的信息,还可能包括一些其他信息,例如由命题 A 可以得出四边形任意两条临边垂直。这些多出来的信息并不一定是得到 B 所必须的,因为还有许多其他的四边形四条边相等但并不是正方形。

   那如何判断 A 中有没有多余的信息呢?我们可以反过来试图用 B 推导命题 A,若原则上得不出 A(而不是因为我们逻辑水平不够),则证明 A 中有多余的条件。这时我们说 A 不是 B必要条件,因为 A 中的一些信息是多余的,也就是没有必要的。综上,AB充分非必要条件

   现在我们从 B 的角度考虑。虽然由条件 B 不能推导出条件 A,但是 BA 中信息的一部分,B 必须要成立才有可能使 A 成立,也就是说如果 B 不成立 A 就不可能成立(四条边不全相等的四边形一定不是正方形)。所以说 BA 的必要条件。另外,由 B 中的少量信息不能得到 A,所以 B 不是 A 的充分条件。综上,BA必要非充分条件

例 2 

   命题 A:三角形 X 的其中两内个角分别为 9045

   命题 B:三角形 X 有两个 45 的内角。

   利用三角形三个内角和为 180 的事实,可以从 A 推出 B,说明 AB 的充分条件,BA 的必要条件。但也可以从 B 推出 A,说明 BA 的充分条件,AB 的必要条件。所以 AB 既是彼此的充分条件也是彼此的必要条件。所以我们说 AB 互为充分必要条件。若 AB 的充分必要条件,B 一定也是 A 的充分必要条件。因为两种表述都意味着 AB 命题等效,所提供的信息都是一样的,两者都没有任何多余的或者缺失的信息。

   需要注意的是:

  1. 充分/必要条件是两个命题之间的关系,说一个孤立命题是充分/必要条件没有意义。
  2. 讨论充分/必要条件需要在一定的前提下进行。以上两个例子中的前提如:我们讨论的是欧几里得几何中的平面四边形和三角形。当然,我们也可以把这个前提直接写在每个命题中。
  3. 在证明 AB 的充分必要条件时,需要分别证明 A(相对于 B)的充分性和必要性。充分性需要由 A 证明 B,必要性需要由 B 证明 A
  4. 在证明 AB 的充分非必要条件时,除了需要证明 A 的充分性,还需非必要性,即 B 不能推出 A。只要我们可以举出一个 B 成立 A 不成立的反例,就立刻证明了不可能由 B 推出 A

1. 逻辑学中的内涵和外延

   在逻辑学中,我们这样解释: “马” 是一类事物的总称。限制条件诸如 “高大的”,“白色的” 等等,具体了其内涵,缩小了其外延

   概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性或特有属性。

   概念的外延是指具有概念所反映的本质属性或特有属性的对象,即概念的适用范围。

   两者的区别:

   1. 本质不同: 内涵是 “属性”,外延是 “范围”。属性越多,则符合这个属性的范围越小。属性越少,符合这个属性的范围就越大。

   2. 侧重不同: 概念的内涵是指概念的质的方面。 概念的外延是指概念的量的方面。

2. 用韦恩图理解

预备知识 2 韦恩图

   简要说明:

   有命题 AB

  1. A 推出 BB 推不出 A,则为充分不必要,如图:
    图
    图 1:充分不必要
    口诀:有之必然,无之未必不然
  2. A 推出 BB 推出 A,则为充要,如图:
    图
    图 2:充要
  3. A 推不出 BB 推不出 A,则既不充分也不必要,如图:
    图
    图 3:既不充分也不必要
  4. A 推不出 BB 推出 A,则必要不充分,如图:
    图
    图 4:必要不充分
    口诀:有之未必然,无之必不然

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