矩阵与线性映射

                     

贡献者： addis

　　 我们已经知道 $M\times N$ 的矩阵可以表示一个 $N$ 维列矢量的线性组合，得到一个 $M$ 维列矢量（式 8 ）。

我们可以把这个 $\mathbf{x}$ 看做任意一个 $N$ 维矢量空间 $X$ 中某矢量关于某组基底 $\{{\mathbf{x}}_i\}$ 的坐标，而把 $\mathbf{y}$ 看做任意一个 $M$ 维矢量空间（以下称为 $Y$ 空间）中某矢量关于某组基底 $\{{\mathbf{y}}_i\}$ 的坐标¹。当基底的选取不同，同一个矩阵表示的映射也不同。

　　 这样，我们就通过矩阵 $\mathbf{A}$ 建立了从 $X$ 空间到 $Y$ 空间的一个映射 $A:X\to Y$。即 $X$ 空间的任意矢量 $\mathbf{x}$，都可以映射到 $Y$ 空间中唯一矢量 $\mathbf{y}$。注意该映射既不一定是单射也不一定是满射，而是要取决于 $\mathbf{A}$ 的具体性质。

　　 特殊地，当矩阵 $\mathbf{A}$ 为方阵时，矩阵 $\mathbf{A}$ 可以用于表示 $X$ 空间到自身的自映射 $A:X\to X$，即 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 都是 $X$ 空间中的矢量的坐标，但 $\{{\mathbf{x}}_i\}$ 和 $\{{\mathbf{y}}_i\}$ 仍然可以是 $X$ 空间中两组不同的基底。同样，自映射也未必是单射或满射。

　　 由矩阵与列矢量乘法的分配律（式 21 ）可知 $X$ 空间中若干个矢量做任意线性组合然后映射到 $Y$ 空间，等于这些矢量先分别映射到 $Y$ 空间再做同样的线性组合，即

这说明，任何矩阵 $\mathbf{A}$ 表示的映射 $A:X\to Y$ 必定是线性映射。

　　 作为一个简单的例子，我们来看平面旋转矩阵

这是一个方阵，对应二维矢量空间（例如二维几何矢量构成的空间）的自映射。对于这个矩阵我们有 “主动” 和 “被动” 两种理解，前者假设基底不变而矢量旋转，后者假设矢量不变而基底旋转²。这个映射中，映射前后的矢量有一一对应关系。

　　 我们还可能有多对一映射，即多个矢量映射后可能得到同一个矢量（例 1 ）。来看一个例子。

1. 定义域和值域

　　 式 1 表示的线性映射中，定义域（domain）是 $X$ 空间中的任意矢量，而值域（range）却不一定是整个 $Y$ 空间，也可能是 $Y$ 的一个子空间。任何情况下，线性映射的值域必定是一个矢量空间。例如例 1 中投影变换的值域就是沿 ${\hat{\mathbf{x}}}_1+{\hat{\mathbf{x}}}_2$ 方向的任意矢量（包括零矢量）构成的一维矢量空间，是二维矢量空间中的一个子空间。

2. 矩阵的列

　　 我们先来看第一空间的基底 ${\mathit{\alpha }}_1$ 如何映射到第二空间。${\mathit{\alpha }}_1$ 对应的列矢量是 $(1,0,\dots {)}^{\mathrm{T}}$，作为 $\mathbf{x}$ 输入矩阵 $\mathbf{A}$ 得 $\mathbf{y}$ 等于 $\mathbf{A}$ 的第一列。同理，矩阵的第 $i$ 列就是 ${\mathit{\alpha }}_i$ 映射到第二个空间的矢量在基底 $\{{\mathit{\beta }}_i\}$ 上的坐标。

3. 矩阵元

　　 线性算符 $A:X\to Y$ 的矩阵记为 $\mathbf{A}$，矩阵元记为 $A_{i,j}$，如果有一组 $X$ 的正交归一基底 ${\xi }_j$ 和 $Y$ 的正交归一基底 ${\eta }_i$，那么矩阵元为

这里我们使用了狄拉克符号 表示点乘。若 ${\xi }_j,{\eta }_i$ 的列矢量为 ${\mathit{\xi }}_j,{\mathit{\eta }}_{\mathbf{i}}$，那么也可以记为

　　 证明：把式 2 代入即可：

证毕。

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1. ^ 要再次强调列矢量 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 并不是矢量本身，而是矢量关于选定基底的坐标
2. ^ 注意 “主动” 和 “被动” 并不是两种唯一的理解，例如我们可以选择让基底顺时针旋转 $\theta /2$，矢量逆时针旋转 $\theta /2$。