矩阵与线性映射

             

预备知识 线性映射

   我们已经知道 $M\times N$ 的矩阵可以表示一个 $N$ 维列矢量的线性组合,得到一个 $M$ 维列矢量(式 4 ).

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \end{equation}
我们可以把这个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 看做任意一个 $N$ 维矢量空间 $X$ 中某矢量关于某组基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\}$ 的坐标,而把 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 看做任意一个 $M$ 维矢量空间(以下称为 $Y$ 空间)中某矢量关于某组基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i\}$ 的坐标1.当基底的选取不同,同一个矩阵表示的映射也不同.

   这样,我们就通过矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 建立了从 $X$ 空间到 $Y$ 空间的一个映射 $A:X\to Y$.即 $X$ 空间的任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $,都可以映射到 $Y$ 空间中唯一矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $.注意该映射既不一定是单射也不一定是满射,而是要取决于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的具体性质.

   特殊地,当矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为方阵时,矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可以用于表示 $X$ 空间到自身的自映射 $A:X\to X$,即 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 都是 $X$ 空间中的矢量的坐标,但 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i\}$ 仍然可以是 $X$ 空间中两组不同的基底.同样,自映射也未必是单射或满射.

   由矩阵与列矢量乘法的分配律(式 17 )可知 $X$ 空间中若干个矢量做任意线性组合然后映射到 $Y$ 空间,等于这些矢量先分别映射到 $Y$ 空间再做同样的线性组合,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \left(\sum_i c_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \right) = \sum_i c_i \left( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \right) \end{equation}
这说明,任何矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 表示的映射 $A:X\to Y$ 必定是线性映射

   作为一个简单的例子,我们来看平面旋转矩阵

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 = \begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix} \end{equation}
这是一个方阵,对应二维矢量空间(例如二维几何矢量构成的空间)的自映射.对于这个矩阵我们有 “主动” 和 “被动” 两种理解,前者假设基底不变而矢量旋转,后者假设矢量不变而基底旋转2.这个映射中,映射前后的矢量有一一对应关系.

   我们还可能有多对一映射,即多个矢量映射后可能得到同一个矢量(例 1 ).来看一个例子.

例 1 投影矩阵

   我们考虑一个投影变换:将平面上任意几何矢量投影到 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 方向上得到该方向的矢量.已知该变换是线性的,写出变换矩阵(变换前后使用同一组正交归一基底 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2$)

   解:与 “平面旋转矩阵” 中的方法同理,先考虑各基底的投影变换.$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1 = (1, 0) ^{\mathrm{T}} $ 投影后变为 $(1, 1) ^{\mathrm{T}} /\sqrt2$,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2$ 投影后同样变为 $(1, 1) ^{\mathrm{T}} /\sqrt2$,所以投影变换矩阵即使两个列矢量组成的矩阵

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{P}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 && 1\\ 1 && 1\end{pmatrix} \end{equation}

   注意该变换中虽然每个矢量都映射到同一空间的唯一的矢量,但不同的矢量有可能映射到同一个矢量.所以这是一个多对一映射.

1. 定义域和值域

预备知识 子空间

   式 1 表示的线性映射中,定义域(domain)是 $X$ 空间中的任意矢量,而值域(range)却不一定是整个 $Y$ 空间,也可能是 $Y$ 的一个子空间.任何情况下,线性映射的值域必定是一个矢量空间.例如例 1 中投影变换的值域就是沿 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1 + \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2$ 方向的任意矢量(包括零矢量)构成的一维矢量空间,是二维矢量空间中的一个子空间.

2. 矩阵的列

   我们先来看第一空间的基底 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1$ 如何映射到第二空间.$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1$ 对应的列矢量是 $(1, 0, \dots) ^{\mathrm{T}} $,作为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 输入矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 得 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 等于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第一列.同理,矩阵的第 $i$ 列就是 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i$ 映射到第二个空间的矢量在基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}$ 上的坐标.

未完成:未完成

3. 矩阵元

   线性算符对应矩阵,记为 $\hat A$,如果有一组正交归一基底 $ \left\lvert u_i \right\rangle $,那么矩阵元为

\begin{equation} A_{i,j} = \left\langle u_i \middle| A \middle| u_j \right\rangle \end{equation}


1. ^ 要再次强调列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 并不是矢量本身,而是矢量关于选定基底的坐标
2. ^ 注意 “主动” 和 “被动” 并不是两种唯一的理解,例如我们可以选择让基底顺时针旋转 $\theta/2$,矢量逆时针旋转 $\theta/2$.

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