矩阵的本征问题

                     

贡献者： 叶月2_; addis; Giacomo; int256

　　 若已知矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，我们把线性方程组

称为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征方程（eigen equation）。式中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是已知的，而 $\lambda$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是未知的。显然，当 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时方程恒成立，所以我们通常只对非零解感兴趣。也就是说，我们希望找到一些非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，使得矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 乘以该向量以后方向不变¹。对于每个这样的向量，我们用一个标量 $\lambda$ 来描述其模长的改变。我们把这些向量叫做本征矢（eigen vector），把对应的 $\lambda$ 叫做本征值（eigen value）。一些教材也翻译成特征矢和特征值。小时百科中，eigen 译作 “本征”，而 characteristic 译作 “特征”。

几何意义

　　 几何上来讲，实数矩阵对应的线性变换相当于把坐标网格做旋转、拉伸、翻折等操作。所以一般而言，一个非零向量在变换后长度和方向都会改变。但也可能存在一些特殊的非零向量，使得变换后只可能改变长度而不改变方向。这些向量就是本征方程的解。注意这种几何理解仅适用于实数矩阵以及实数本征值和本征矢的解。

1. 求解本征方程

　　 若令 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 为 $N\times N$ 的单位矩阵²，则本征方程式 1 移项后得到一个齐次线性方程组

括号中的矩阵相当于把矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的对角线上的元都减去 $\lambda$ 得到的方阵。要确保方程有非零解，只需令系数矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} - \lambda \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 不是满秩的，即行列式为零 这是一个关于 $\lambda$ 的 $N$ 阶多项式，称为特征多项式（characteristic polynomial）。并不是所有矩阵都有本征向量和相应本征值，比如非特殊角的旋转变换并不能把任意向量旋转到与原向量平行。但是根据代数学基本定理，复数域上的特征多项式（一元 n 次方程）必有 n 个根（重根的重数包括在内），即有 $n$ 个本征值。对于 $n$ 阶矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，如果 $\lambda$ 为特征方程的单根，称 $\lambda$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的单本征值；如果 $\lambda$ 是 $k$ 重根，称之为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的$k$ 重本征值，并称 $k$ 为 $\lambda$ 的代数重数。

　　 把本征值记为 $\lambda_i$（$i = 1, 2\dots N$）。将它们依次代入式 2 ，就可以分别解出对应的本征矢。通常把式 2 的解空间称为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 对应于本征值 $\lambda$ 的本征子空间，记为 $V_{\lambda}$，称该子空间的维数为几何重数，即线性无关的本征向量。根据方程的线性可知，本征子空间的任意向量都是本征矢。

　　 在物理上，如果本征子空间维度是 $1$，我们称相应的本征值是非简并（non-degenerate）的，若几何重数 $n_i$ 大于 1，则称 $\lambda_i$ 是 $n_i$ 重简并（degenerate）的，把 几何重数 $n_i$ 叫做简并数（degeneracy）。 可以证明，任意本征值的几何重数不大于代数重数。

　　 下面列举与本征值相关的常用结论。

　　 证明： 用数学归纳法证明。 $m=1$ 显然成立。设 $i=m-1$ 成立，需要证明 $i=m$ 成立。用反证法，假设 $i=m$ 时，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1, \boldsymbol{\mathbf{x}} _2... \boldsymbol{\mathbf{x}} _m$ 线性相关，设有若干不全部为 0 的系数使得：

则有： 由于式 8 中的 $a^i(i=1,2...m-1)$ 不全为 0。所以至少有部分本征值满足 $\lambda_i=\lambda_m$，这与题设矛盾，因而定理成立。

　　 上述定理可以推广为几何重数大于 $1$ 的情况，即：

　　 证明思路一致。

　　 Proof. 现证第一点。由于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} =\lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} $，因此 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 依然是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1}$ 的本征向量，且本征值为 $\lambda^{-1} $。从线性变换的角度上看，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 使得 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $“伸长” 为原来的 $\lambda$ 倍，其逆操作必定是缩小为原来的 $\lambda^{-1}$，才能保证本征向量不变。

　　 第二点易证，留作习题。下证第三点，为证明方便，使用爱因斯坦求和约定。

　　 设 $f(x)=a_nx^n$，则 $f( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=a_i \boldsymbol{\mathbf{A}} ^i,f(\lambda)=a_n\lambda ^n$。显然我们有 $f( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{x}} =a_i \boldsymbol{\mathbf{A}} ^i \boldsymbol{\mathbf{x}} =a_i\lambda^i \boldsymbol{\mathbf{x}} =f(\lambda) \boldsymbol{\mathbf{x}} $，得证。

2. 对角化与相似变换

　　 求解矩阵的本征方程的过程有时候也叫做矩阵的对角化（diagonalization），因为方阵可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的本征向量。

　　 Proof. 设 $Q=( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1, \boldsymbol{\mathbf{x}} _2... \boldsymbol{\mathbf{x}} _n)$ 是实现该相似变换的过渡矩阵，相似变换为：

必要性的证明同理。

　　 因此，过渡矩阵的每一列都是 $A$ 的本征向量。由于过渡矩阵可逆，因而这 $n$ 个本征向量线性无关。 如果能找到使 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为对角矩阵的 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $ 就相当于解出了本征方程式 1 ，这就是 “对角化” 名字的由来。

3. 相似不变量

　　 相似变换不改变矩阵的本征值和本征向量，因为这仅仅是改变线性映射和向量的 “表示”，$f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 这个关系是不随基的改变而改变的。当然，你也可以利用相似变换后矩阵和向量坐标关系的变化来证明这一点。由此我们可以进一步总结基本的相似不变量：矩阵的秩、行列式、本征值。

　　 实际上，矩阵的迹也是相似不变量。设过渡矩阵为 $S$，则有 $ \operatorname {Tr}(S^{-1}AS)= \operatorname {Tr}(SS^{-1}A)= \operatorname {Tr}A$。

　　 实际上，还有两个常见的相似不变量，可以让我们明晰矩阵元和本征值的关系。

　　 Proof.

　　 关键是展开矩阵的特征多项式。

在第二种展开方式里，$\prod\limits^n_{i=1}\lambda_i$ 的系数为 $(-1)^n$，因此我们只需要在第一种展开方式里找不含有 $\lambda$ 的项即可。首先想到的是对角元连乘，里面有一项 $(-1)^{n}\prod \limits^n_{i=1}a^i_i$。在其他的展开项里，总含有 $\prod \limits^k_{i=1}(\lambda-a^i_i)$，其中 $k\le n-2$。可以进一步展开多项式，选取不含有 $\lambda$ 的项。由于保留了矩阵元前的系数 $-1$，所以最终得到的是 $(-1)^n | \boldsymbol{\mathbf{A}} |$，第一点得证。

　　 现在证明第二点。同样的，在第二种展开方式里我们可以看到这一项实际上是 $(\lambda)^{n-1}(\lambda_1+\lambda_2...+\lambda_n)$。由于除了对角元连乘以外的项里连乘数目 $k\le n-2$，因此这一项只在对角元连乘项里，展开这一项便可得证。

　　 关于本征值还有一个常用结论：本征值的几何重数小于或等于对应的代数重数，这里不做证明。

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1. ^ “方向” 只是从几何向量中沿用过来的一个习惯说法，注意式 1 中的所有量都可以是复数。两个向量方向相同意味着一个向量乘以标量（包括复数）可以得到另一个。
2. ^ 即对角线上的元为 1，其他元为 0，见 “矩阵”