矩阵的本征方程

                     

贡献者： addis; JierPeter

　　 若已知矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，我们把线性方程组

称为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征方程。式中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是已知的，而 $\lambda$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是未知的。显然，当 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时方程恒成立，所以我们通常只对非零解感兴趣。也就是说，我们希望找到一些非零矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，使得矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 乘以该矢量以后方向不变¹。对于每个这样的矢量，我们用一个标量 $\lambda$ 来描述其模长的改变。我们把这些矢量叫做本征矢（eigen vector），把对应的 $\lambda$ 叫做本征值（eigen value）。有些教材也翻译成特征矢和特征值。本书中，eigen 译作 “本征”，而 characteristic 译作 “特征”。

几何意义

　　 几何上来讲，实数矩阵对应的线性变换相当于把坐标网格做旋转、拉伸、翻折等操作。所以一般而言，一个非零矢量在变换后长度和方向都会改变。但也可能存在一些特殊的非零矢量，使得变换后只可能改变长度而不改变方向。这些矢量就是本征方程的解。注意这种几何理解仅适用于实数矩阵以及实数本征值和本征矢的解。

1. 求解本征方程

　　 若令 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 为 $N\times N$ 的单位矩阵²，则本征方程移项后得到一个齐次方程组

括号中的矩阵相当于把矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的对角线上的元都减去 $\lambda$ 得到的方阵。要确保方程有非零解，只需令系数矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} - \lambda \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 不是满秩的，即行列式为零 这是一个关于 $\lambda$ 的 $N$ 阶多项式，称为特征多项式（characteristic polynomial）。特征多项式必存在 $N$ 个复数根（包括重根），记为 $\lambda_i$（$i = 1, 2\dots N$）。将它们依次代入式 2 ，就可以分别解出对应的本征矢。考虑到式 2 是一个齐次方程，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} - \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 的零空间（定理 2 ）中所有矢量都是本征矢，且零空间至少是一维的。我们把这个空间叫做 $\lambda_i$ 的本征矢空间，是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 所在的 $N$ 维矢量空间的子空间。所以 1. 任何本征矢乘以非零常数都是本征矢；2. 本征值相同的一组本征矢的任意线性组合都仍然是本征矢。

　　 令 $\lambda_i$ 的本征矢空间的维度是 $n_i$，若 $n_i = 1$，我们说 $\lambda_i$ 是非简并（non-degenerate）的，若 $n_i > 1$ 就说 $\lambda_i$ 是 $n_i$ 重简并（degenerate）的，把 $n_i$ 叫做简并数（degeneracy）。

　　 证明：可以用反证法。若共线，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = C \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$，带入 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = \lambda_j \boldsymbol{\mathbf{v}} _j$ 后消去 $C$ 得 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_j \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$，这与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 矛盾。证毕。

　　 可见，对于一般 $N$ 维方阵，若特征多项式不存在重根，则复数域中必有 $N$ 个线性无关的特征矢量，每个构成一维特征子空间的基底。若存在重根，则线性无关的本征矢的个数小于等于 $N$ 个。

2. 对角化与相似变换

　　 求解矩阵的本征方程的过程有时候也叫做矩阵的对角化（diagonalization），原因如下：若 $N$ 维矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 存在 $N$ 个线性无关的本征矢（列矢量）$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$，对应本征值 $\lambda_i$，如果把本征值按顺序组成对角矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $，把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 按顺序从左到右组成方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $，那么根据矩阵乘法的定义，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 相当于分别计算 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 再从左到右排成方阵。而 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $ 相当于把 $\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 从左到右排成方阵。二者应该相等，所以有

由于方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 是满秩的（每列线性无关），必定存在逆矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{-1}$。两边右乘 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{-1}$ 或者左乘 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 得 这种从 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $ 之间的变换被称为相似变换（similarity transform）。如果能找到使 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $ 为对角矩阵的 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 就相当于解出了本征方程式 1 ，这就是 “对角化” 名字的由来。

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1. ^ “方向” 只是从几何矢量中沿用过来的一个习惯说法，注意式 1 中的所有量都可以是复数。两个矢量方向相同意味着一个矢量乘以标量（包括复数）可以得到另一个。
2. ^ 即对角线上的元为 1，其他元为 0，见 “矩阵”