相似变换和相似矩阵

                     

贡献者: addis

预备知识 酉矩阵

   本文只讨论使用酉矩阵的相似变换.

定义 1 相似变换(酉矩阵)

   令 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 为 $N$ 维酉矩阵.$N$ 维方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的相似变换

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{U}} \end{equation}

   注意酉矩阵满足 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{U}} ^{-1}$(链接未完成).一般的相似变换是 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{P}} $,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 是任意可逆矩阵.

   由于酉矩阵乘以酉矩阵还是酉矩阵,多次相似变换可以看作一次相似变换.

未完成:相似变换相当于基底变换,因为相似变换 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{ ^\dagger }} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 矩阵元是 $ \left\langle u_i \middle| A \middle| u_j \right\rangle $,$ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的每一列就是 $u_i$.

1. 对角化

预备知识 厄米矩阵的本征问题

  

未完成:该内容应该移动到 厄米矩阵的本征问题
若相似变换可以使矩阵变为对角矩阵,我们把这个过程称为对角化.

   一个 $N$ 维矩阵可以被对角化当且仅当它是(实)对称矩阵或厄米矩阵.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{U}} = \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} \end{equation}

   对角化后,对角矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $ 的对角元就是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征值 $\lambda_i$,$ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的第 $i$ 列矢量就是 $\lambda_i$ 对应的本征矢.所以我们时常把 “对角化” 作为 “解矩阵的本征方程” 的同义词.

   (未完成)

例 1 由本征值和本征矢求矩阵

   已知本征方程

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
的 $N$ 个本征值和本征矢为 $\lambda_i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$,求矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $.

   把式 2 两边分别左乘 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $,右乘 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger $,得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger \end{equation}


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