相似变换和相似矩阵
贡献者： addis
本文只讨论使用酉矩阵的相似变换。
定义 1 相似变换（酉矩阵）
令 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 为 $N$ 维酉矩阵。$N$ 维方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的相似变换为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{U}} ~.
\end{equation}
注意酉矩阵满足 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{U}} ^{-1}$（链接未完成）。一般的相似变换是 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{P}} $，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 是任意可逆矩阵。
由于酉矩阵乘以酉矩阵还是酉矩阵，多次相似变换可以看作一次相似变换。
未完成：相似变换相当于基底变换，因为相似变换 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{ ^\dagger }} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 矩阵元是 $ \left\langle u_i \middle| A \middle| u_j \right\rangle $，$ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的每一列就是 $u_i$。
1. 对角化
若相似变换可以使矩阵变为对角矩阵，我们把这个过程称为对角化。
一个 $N$ 维矩阵可以被对角化当且仅当它是（实）对称矩阵或厄米矩阵。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{U}} = \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} ~.
\end{equation}
对角化后，对角矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $ 的对角元就是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征值 $\lambda_i$，$ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的第 $i$ 列矢量就是 $\lambda_i$ 对应的本征矢。所以我们时常把 “对角化” 作为 “解矩阵的本征方程” 的同义词。
（未完成）
例 1 由本征值和本征矢求矩阵
已知本征方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
的 $N$ 个本征值和本征矢为 $\lambda_i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$，求矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $。
把式 2 两边分别左乘 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $，右乘 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger $，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger ~.
\end{equation}
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