相似变换和相似矩阵

                     

贡献者: 叶月2_; addis

  • 本文处于草稿阶段。
  • 欠缺线性映射的矩阵表示 eq。

   注:本篇使用爱因斯坦求和约定。

   矩阵是线性映射在特定基下的表示,每一列表示基向量被映射后的结果。即 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=a^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j$,对任意向量作用输出一个向量,是一个 $(1,1)$ 型张量:

\begin{equation} f(b^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=b^ia^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j~. \end{equation}
或者写成矩阵形式,令 $b^i$ 表示基向量组为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 下的任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $:
\begin{equation} A \boldsymbol{\mathbf{x}} = a^j_i b^i~. \end{equation}
最后一项为确定一组基后矩阵作用在向量下的简化表达,$a^j_i$ 表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 项。

   因此我们可以改变空间的基向量组,从而得到线性映射的不同表示。比如令 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\},\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$ 为同一线性空间下的两组基,$A=(a^i_j),B=(b^i_j)$ 分别为同一线性映射在不同基下的表示。这两组基通过矩阵 $Q$ 联系在一起:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i=q^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j~, \end{equation}
那么我们可以找到两个矩阵的关系:
\begin{equation} \begin{aligned} f( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i)&=b^j_i \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _j\\ &=b^j_i q^k_j \boldsymbol{\mathbf{e}} _k\\ &=f( a^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=a^j_iq^k_j \boldsymbol{\mathbf{e}} _k \end{aligned}~. \end{equation}
即:$QB=AQ$。

定义 1 相似变换

   设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵,若存在 $n$ 阶可逆方阵 $Q$,使得

\begin{equation} Q^{-1}AQ=B~, \end{equation}
则称 $A$相似于 $B$,该运算称为对 $A$ 进行相似变换,可逆矩阵 $Q$ 称为过渡矩阵。

   式 3 实际上是:

\begin{equation} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{e}} _1& \boldsymbol{\mathbf{e}} _2& \boldsymbol{\mathbf{e}} _3&... & \boldsymbol{\mathbf{e}} _n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q^1_1& q^1_2 &q^1_3 & ...&q^1_n\\ q^2_1& q^2_2 &q^2_3 & ...&q^2_n \\ ...& ... & ...&...&... \\ q^n_1& q^n_2 &q^n_3 & ...&q^n_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _1& \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _2& \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _3&... & \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _n\end{pmatrix}~. \end{equation}
相似关系是同阶矩阵群的等价关系(等价关系用 $\sim $ 表示),即满足

  1. 反身性 $A\sim A$
  2. 对称性 若 $A\sim B$,则 $B\sim A$
  3. 传递性 若 $A\sim B\,,B\sim C$,则 $A\sim C$

习题 1 

   证明:假定 $G$ 为可逆矩阵乘法群 $GL(n,\mathbb R)$,设任意 $B,C\in G, Ad_B(C)=BCB^{-1}$,证明 $Ad_B$ 是 $G$ 的自同构映射。

   相似变换还具有如下性质(假设 $A\sim B$):

  1. $ \operatorname {R}(A)= \operatorname {R}(B)$;
  2. $A$ 与 $B$ 的行列式相同:$|A|=|B|$;
  3. $A$ 与 $B$ 的迹相同:$ \operatorname {Tr}A= \operatorname {Tr}B$;
  4. 若 $A$ 可逆,则 $B$ 也可逆,且 $A^{-1}\sim B^{-1}$;
  5. $kA\sim kB\,,A^m\sim B^m$,其中 $k$ 为任意常数,$m\in \mathbb Z^{+}$;
  6. 若 $f(x)$ 是任意多项式,则 $f(A)\sim f(B)$。

   以上六点性质在线性映射的角度上看都是很好理解的,只要抓住相似矩阵是同一线性映射在不同基下的表示这一意义即可。在矩阵角度上也非常好证,比如第五点的 $A^m\sim B^m$:

\begin{equation} B^m=(Q^{-1}AQ)^m=Q^{-1}AQQ^{-1}AQ...Q^{-1}AQ=Q^{-1}A^mQ~. \end{equation}

   在量子力学中,相似变换也无处不在,我们一般称之为表象变换。由于量子力学中的矩阵定义在复数域上,且基向量组都满足正交归一关系,因此相似变换是保距变换(正交变换),且过渡矩阵 $Q$ 是酉矩阵,满足:$Q^{\dagger}=Q^{-1}$1

   由于相似变换改变了空间的基,因此向量的坐标表示也发生了变化。设相似变换前后的基向量组分别为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 与 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$,且对于任意向量有:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} =x^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i=x'^i \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i~. \end{equation}
设过渡矩阵为 $Q$,即 $ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i=Q^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j$,代入上式得:
\begin{equation} x'^i \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i=x'^iQ^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j=x^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i~. \end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '=Q^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} $。由这个关系,我们可以进一步证明一个几何结论:相似变换不改变矩阵的本征值和本征向量

1. 对角化

预备知识 矩阵的本征问题

   若相似变换可以使矩阵变为对角矩阵,我们把这个过程称为对角化,并称 $A$可对角化。从定理 3 可知,$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的本征向量。结合定理 1 “不同本征值的本征向量线性无关” 和推论 1 “不同本征值的本征向量组线性无关” 可知,如果 $A$ 满足以下两种情况,则 $A$ 可对角化。

推论 1 

   如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的本征值,则 $A$ 一定可以对角化。

推论 2 

   $n$ 阶方阵 $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 有 $n$ 个本征值(包括重根),且每个本征值的几何重数等于代数重数。

   可以证明,实对称矩阵一定可以对角化。2


1. ^ 由复数域上的保距关系:$ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\dagger}Q^{\dagger}Q \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\dagger} \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 得。
2. ^ 参见合同变换一节。


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