厄米矩阵、自伴矩阵

贡献者： addis

预备知识 1　对称矩阵

1. 厄米共轭

　　我们把矩阵元可以取复数的矩阵叫做复数矩阵。与矩阵转置（式 3 ）类似，可以定义厄米共轭（Hermitian conjugate）操作：

定义 1　厄米共轭

　　要对一个复数矩阵做厄米共轭，就先将其做转置，再对每个矩阵元取复共轭。矩阵 $A$ 的厄米共轭矩阵记为 $A^{†}$ ，其第 $i$ 行第 $j$ 列的矩阵元为

\begin{matrix} (1) & A_{i, j}^{†} = A_{j, i}^{*} . \end{matrix}

注意当矩阵元都是实数时，厄米共轭就是转置。

A^{†}

也称为

A

的伴随矩阵（adjoint matrix）。

2. 厄米共轭的基本性质

　　任意常数乘以厄米矩阵再取共轭，等于该常数的复共轭乘以矩阵的厄米共轭

\begin{matrix} (2) & (c A)^{†} = c^{*} A^{†} . \end{matrix}

　　类比转置，矩阵相乘的厄米共轭等于分别做厄米共轭，逆序排列，再相乘

\begin{matrix} (3) & (A B \dots C)^{†} = C^{†} \dots B^{†} A^{†} . \end{matrix}

习题 1　证明

　　请根据相关定义证明式 2 和式 3 。

3. 线性映射的厄米共轭

预备知识 2　矩阵与线性映射

　　既然矩阵可以用来表示线性映射，那么其厄米共轭（伴随矩阵）也有对应的算符。上述 $A$ 和 $A^{†}$ 的算符分别记为 $A : X \to Y$ ， $A^{†} : Y \to X$ ，其中 $Y = A (X)$ 是 $A$ 的值域空间。为什么 $A^{†}$ 要调换 $X, Y$ 呢？考虑长方形矩阵 $A$ 的厄米共轭矩阵就会发现转置后定义域和值域的维数互换了，所以 $A^{†} : Y \to X$ 是更自然的定义。

未完成：对任意线性映射有

⟨ u | A v ⟩ = ⟨ A^{†} u | v ⟩ = ⟨ v | A^{†} u ⟩

，即

u^{†} A v = v^{†} A^{†} u

（式 3 ）。这可以看作厄米算符的等效定义，在泛函分析中更有用。

4. 厄米矩阵、自伴矩阵

　　若 $A$ 的厄米共轭是其本身，即

\begin{matrix} (4) & A^{†} = A . \end{matrix}

那么我们称其为厄米矩阵。厄米矩阵关于对角线对称的任意两个矩阵元互为复共轭

\begin{matrix} (5) & A_{i, j} = A_{j, i}^{*} . \end{matrix}

特殊地，对角线上的矩阵元的复共轭等于本身（

A_{i, i} = A_{i, i}^{*}

），所以厄米矩阵对角线上的矩阵元都是实数。

　　事实上，厄米矩阵也可以等效定义为满足

\begin{matrix} (6) & v_{i}^{†} (A v_{j}) = (A v_{i})^{†} v_{j} . \end{matrix}

对任意列矢量

v_{i}

和

v_{j}

都成立的矩阵。这可以用式 3 证明。

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