厄米矩阵、自伴矩阵

             

贡献者: addis

预备知识 对称矩阵

1. 厄米共轭

   我们把矩阵元可以取复数的矩阵叫做复数矩阵.与矩阵转置(式 1 )类似,可以定义厄米共轭(Hermitian conjugate)操作:

定义 1 厄米共轭

   要对一个复数矩阵做厄米共轭,就先将其做转置,再对每个矩阵元取复共轭.矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭矩阵记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $,其第 $i$ 行第 $j$ 列的矩阵元为

\begin{equation} A ^\dagger _{i,j} = A_{j,i}^* \end{equation}
注意当矩阵元都是实数时,厄米共轭就是转置.$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $ 也称为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的伴随矩阵(adjoint matrix)

2. 厄米共轭的基本性质

   任意常数乘以厄米矩阵再取共轭,等于该常数的复共轭乘以矩阵的厄米共轭

\begin{equation} (c \boldsymbol{\mathbf{A}} ) ^\dagger = c^* \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \end{equation}

   类比转置,矩阵相乘的厄米共轭等于分别做厄米共轭,逆序排列,再相乘

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \dots \boldsymbol{\mathbf{C}} ) ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{C}} ^\dagger \dots \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \end{equation}

习题 1 证明

   请根据相关定义证明式 2 式 3

3. 线性映射的厄米共轭

预备知识 矩阵与线性映射

   既然矩阵可以用来表示线性映射,那么其厄米共轭(伴随矩阵)也有对应的算符.上述 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $ 的算符分别记为 $A:X\to Y$,$A ^\dagger : Y\to X$,其中 $Y = A(X)$ 是 $A$ 的值域空间.为什么 $A ^\dagger $ 要调换 $X, Y$ 呢?考虑长方形矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭矩阵就会发现转置后定义域和值域的维数互换了,所以 $A ^\dagger :Y\to X$ 是更自然的定义.

未完成:对任意线性映射有 $ \left\langle u \middle| Av \right\rangle = \left\langle A ^\dagger u \middle| v \right\rangle = \left\langle v \middle| A ^\dagger u \right\rangle $,即 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{u}} $(式 3 ).这可以看作厄米算符的等效定义,在泛函分析中更有用.

4. 厄米矩阵、自伴矩阵

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭是其本身,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
那么我们称其为厄米矩阵.厄米矩阵关于对角线对称的任意两个矩阵元互为复共轭
\begin{equation} A_{i,j} = A_{j,i}^* \end{equation}
特殊地,对角线上的矩阵元的复共轭等于本身($A_{i,i} = A_{i,i}^*$),所以厄米矩阵对角线上的矩阵元都是实数.

   事实上,厄米矩阵也可以等效定义为满足

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j) = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j \end{equation}
对任意列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _j$ 都成立的矩阵.这可以用式 3 证明.


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