薛定谔方程(单粒子多维)

             

贡献者: addis

  • 本词条处于草稿阶段.
  • 以二维无限深势阱为主要例子引入张量积空间在量子力学中的应用,说明波函数本质上是张量积空间中的矢量.两组低维空间中的基底张量积后变为张量积空间的基底
  • 讲解可拆分的情况 $H = H_1\otimes I_2 + I_1 \otimes H_2$,讲解可能发生的简并情况,讲解什么是投影到子空间(如何测量任何状态在一个方向的能量分布)
预备知识 张量积空间,拉普拉斯算符

1. 单个粒子在多维空间中的波函数

   本词条中的 “多维” 指的是二维和三维.与牛顿力学一样,在学习完粒子的一维运动后,我们希望能了解粒子在平面上的运动(二维),或者空间中的运动(三维).在多于一维的情况下,波函数变为位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 以及时间 $t$ 的函数

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
例如在二维直角坐标系中,$\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi(x, y, t)$,又例如在三维的球坐标系中,$\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi(r, \theta, \phi, t)$.

2. 矢量算符

   在多维空间中,位置和动量分别从标量拓展为矢量,所以对应地,位置算符和动量算符也分别拓展为矢量算符(我们暂时把这两个算符的定义看作是量子力学的基本假设)

\begin{equation} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{r}} = x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla = \hat{p} _x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \hat{p} _y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \hat{p} _z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ &= \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{y}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned} \end{equation}
当矢量算符作用在波函数上后,得到的函数的自变量仍然是 $( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$,而函数值却变为一个复数矢量(矢量的三个分量都是复数).把位置算符作用在波函数上,就是把波函数分别乘以 $x, y, z$ 的坐标,并作为函数值的三个分量.而把动量算符作用在波函数上,就先把各个方向的动量算符分别作用,并作为函数值的三个分量.所以在矢量算符的本征方程
\begin{equation} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{Q}} } \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{\lambda}} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
中,我们只有使用矢量本征值才能保证等号两边都是矢量.矢量算符的本征方程也可以写成三个分量的形式
\begin{equation} \hat{Q} _x \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_x \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \qquad \hat{Q} _y \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_y \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \qquad \hat{Q} _z \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_z \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}

   不难验证,位置的本征函数就是三维 $\delta$ 函数

\begin{equation} \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \delta(x - x_0) \delta(y - y_0) \delta(z - z_0) \end{equation}
对应的矢量本征值为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$.动量的本征函数就是三维平面波
\begin{equation} \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) = \exp\left( \mathrm{i} k_x x\right) \exp\left( \mathrm{i} k_y y\right) \exp\left( \mathrm{i} k_z z\right) \end{equation}
对应的矢量本征值为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = \hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} $.

   于是动能算符也自然地变为

\begin{equation} \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{p}}} ^2}{2m} = \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{p}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{p}}} }{2m} = -\frac{1}{2m} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial{y}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial{z}^{2}} \right) \end{equation}

3. 单粒子多维定态薛定谔方程

   二维或三维的情况下,波函数是位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的函数 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$

\begin{equation} T = -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \qquad V = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
定态薛定谔方程为
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = E \Psi \end{equation}
例子:三维简谐振子(球坐标)
未完成:散射态?无穷简并


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