单粒子薛定谔方程

             

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 张量积空间,梯度

1. 单个粒子在多维空间中的波函数

   本词条中的 “多维” 指的是二维和三维.与牛顿力学一样,在学习完粒子的直线运动(一维)后,我们希望能了解粒子在平面上的运动(二维),或者空间中的运动(三维).在多于一维的情况下,波函数变为位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 以及时间 $t$ 的函数

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
例如在二维直角坐标系中,$\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi(x, y, t)$,又例如在三维的球坐标系中,$\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi(r, \theta, \phi, t)$.

2. 矢量算符

   在多维空间中,位置和动量分别从标量拓展为矢量,所以对应地,位置算符和动量算符也分别拓展为矢量算符(我们暂时把这两个算符的定义看作是量子力学的基本假设)

\begin{equation} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{r}} = x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla = \hat{p} _x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \hat{p} _y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \hat{p} _z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ &= \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{y}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned} \end{equation}
当矢量算符作用在波函数上后,得到的函数的自变量仍然是 $( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$,而函数值却变为一个复数矢量(矢量的三个分量都是复数).把位置算符作用在波函数上,就是把波函数分别乘以 $x, y, z$ 的坐标,并作为函数值的三个分量.而把动量算符作用在波函数上,就先把各个方向的动量算符分别作用,并作为函数值的三个分量.所以在矢量算符的本征方程
\begin{equation} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{Q}} } \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{\lambda}} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
中,我们只有使用矢量本征值才能保证等号两边都是矢量.矢量算符的本征方程也可以写成三个分量的形式
\begin{equation} \hat{Q} _x \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_x \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \qquad \hat{Q} _y \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_y \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \qquad \hat{Q} _z \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_z \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}

   不难验证,位置的本征函数就是三维 $\delta$ 函数

\begin{equation} \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \delta(x - x_0) \delta(y - y_0) \delta(z - z_0) \end{equation}
对应的本征值为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$.动量的本征函数就是三维平面波
\begin{equation} \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) = \exp\left( \mathrm{i} k_x x\right) \exp\left( \mathrm{i} k_y y\right) \exp\left( \mathrm{i} k_z z\right) \end{equation}
对应的本征值为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = \hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} $.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利