贡献者： addis
- 本文处于草稿阶段。
- 以二维无限深势阱为主要例子引入张量积空间在量子力学中的应用，说明波函数本质上是张量积空间中的矢量。两组低维空间中的基底张量积后变为张量积空间的基底
- 讲解可拆分的情况 $H = H_1\otimes I_2 + I_1 \otimes H_2$，讲解可能发生的简并情况，讲解什么是投影到子空间（如何测量任何状态在一个方向的能量分布）
预备知识 张量积空间
，拉普拉斯算符
，定态薛定谔方程（单粒子一维）
1. 单个粒子在多维空间中的波函数
本文中的 “多维” 指的是二维和三维。与牛顿力学一样，在学习完粒子的一维运动后，我们希望能了解粒子在平面上的运动（二维），或者空间中的运动（三维）。在多于一维的情况下，波函数变为位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 以及时间 $t$ 的函数
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~.
\end{equation}
例如在二维直角坐标系中，$\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi(x, y, t)$，又例如在三维的球坐标系中，$\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi(r, \theta, \phi, t)$。
2. 矢量算符
在多维空间中，位置和动量分别从标量拓展为矢量，所以对应地，位置算符和动量算符也分别拓展为矢量算符（我们暂时把这两个算符的定义看作是量子力学的基本假设）
\begin{equation}
\hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{r}} = x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
\quad \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }
&= - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla = \hat{p} _x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \hat{p} _y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \hat{p} _z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
&= \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{y}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{aligned} \end{equation}
当矢量算符作用在波函数上后，得到的函数的自变量仍然是 $( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$，而函数值却变为一个复数矢量（矢量的三个分量都是复数）。把位置算符作用在波函数上，就是把波函数分别乘以 $x, y, z$ 的坐标，并作为函数值的三个分量。而把动量算符作用在波函数上，就先把各个方向的动量算符分别作用，并作为函数值的三个分量。所以在矢量算符的本征方程
\begin{equation}
\hat{ \boldsymbol{\mathbf{Q}} } \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{\lambda}} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~
\end{equation}
中，我们只有使用矢量本征值才能保证等号两边都是矢量。矢量算符的本征方程也可以写成三个分量的形式
\begin{equation}
\hat{Q} _x \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_x \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~, \qquad
\hat{Q} _y \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_y \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) ~,\qquad
\hat{Q} _z \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_z \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
不难验证，位置的本征函数就是三维 $\delta$ 函数
\begin{equation}
\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \delta(x - x_0) \delta(y - y_0) \delta(z - z_0)~,
\end{equation}
对应的矢量本征值为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$。动量的本征函数就是三维平面波
\begin{equation}
\exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) = \exp\left( \mathrm{i} k_x x\right) \exp\left( \mathrm{i} k_y y\right) \exp\left( \mathrm{i} k_z z\right) ~,
\end{equation}
对应的矢量本征值为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = \hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} $。
于是动能算符也自然地变为
\begin{equation}
\frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{p}}} ^2}{2m} = \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{p}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{p}}} }{2m} = -\frac{1}{2m} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial{y}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial{z}^{2}} \right) ~.
\end{equation}
3. 单粒子多维定态薛定谔方程
二维或三维的情况下，波函数是位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的函数 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$
\begin{equation}
T = -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 ~,\qquad V = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
定态薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = E \Psi~.
\end{equation}
例子：
三维简谐振子（球坐标）。
未完成：散射态？无穷简并
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