薛定谔方程（单粒子多维）

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。
以二维无限深势阱为主要例子引入张量积空间在量子力学中的应用，说明波函数本质上是张量积空间中的矢量。两组低维空间中的基底张量积后变为张量积空间的基底
讲解可拆分的情况 $H = H_{1} \otimes I_{2} + I_{1} \otimes H_{2}$ ，讲解可能发生的简并情况，讲解什么是投影到子空间（如何测量任何状态在一个方向的能量分布）

预备知识　张量积空间，拉普拉斯算符，定态薛定谔方程（单粒子一维）

1. 单个粒子在多维空间中的波函数

　　本文中的 “多维” 指的是二维和三维。与牛顿力学一样，在学习完粒子的一维运动后，我们希望能了解粒子在平面上的运动（二维），或者空间中的运动（三维）。在多于一维的情况下，波函数变为位置矢量 $r$ 以及时间 $t$ 的函数

\begin{matrix} (1) & Ψ (r, t) . \end{matrix}

例如在二维直角坐标系中，

Ψ (r, t) = Ψ (x, y, t)

，又例如在三维的球坐标系中，

Ψ (r, t) = Ψ (r, θ, ϕ, t)

。

2. 矢量算符

　　在多维空间中，位置和动量分别从标量拓展为矢量，所以对应地，位置算符和动量算符也分别拓展为矢量算符（我们暂时把这两个算符的定义看作是量子力学的基本假设）

\begin{matrix} (2) & \hat{r} = r = x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z}, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \hat{p} & = - i ℏ \nabla = {\hat{p}}_{x} \hat{x} + {\hat{p}}_{y} \hat{y} + {\hat{p}}_{z} \hat{z} \\ = (- i ℏ \frac{\partial}{\partial x}) \hat{x} + (- i ℏ \frac{\partial}{\partial y}) \hat{y} + (- i ℏ \frac{\partial}{\partial z}) \hat{z} . \end{aligned} \end{matrix}

当矢量算符作用在波函数上后，得到的函数的自变量仍然是

(r, t)

，而函数值却变为一个复数矢量（矢量的三个分量都是复数）。把位置算符作用在波函数上，就是把波函数分别乘以

x, y, z

的坐标，并作为函数值的三个分量。而把动量算符作用在波函数上，就先把各个方向的动量算符分别作用，并作为函数值的三个分量。所以在矢量算符的本征方程

\begin{matrix} (4) & \hat{Q} Ψ (r) = λ Ψ (r) \end{matrix}

中，我们只有使用矢量本征值才能保证等号两边都是矢量。矢量算符的本征方程也可以写成三个分量的形式

\begin{matrix} (5) & {\hat{Q}}_{x} Ψ (r) = λ_{x} Ψ (r), {\hat{Q}}_{y} Ψ (r) = λ_{y} Ψ (r), {\hat{Q}}_{z} Ψ (r) = λ_{z} Ψ (r) . \end{matrix}

　　不难验证，位置的本征函数就是三维 $δ$ 函数

\begin{matrix} (6) & δ (r - r_{0}) = δ (x - x_{0}) δ (y - y_{0}) δ (z - z_{0}), \end{matrix}

对应的矢量本征值为

r_{0}

。动量的本征函数就是三维平面波

\begin{matrix} (7) & \exp (i k \cdot r) = \exp (i k_{x} x) \exp (i k_{y} y) \exp (i k_{z} z), \end{matrix}

对应的矢量本征值为

p = ℏ k

。

　　于是动能算符也自然地变为

\begin{matrix} (8) & \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} = \frac{\hat{p} \cdot \hat{p}}{2 m} = - \frac{1}{2 m} (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) . \end{matrix}

3. 单粒子多维定态薛定谔方程

　　二维或三维的情况下，波函数是位置矢量 $r$ 的函数 $Ψ (r)$

\begin{matrix} (9) & T = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2}, V = V (r), \end{matrix}

定态薛定谔方程为

\begin{matrix} (10) & - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} Ψ + V (r) Ψ = E Ψ . \end{matrix}

例子：三维简谐振子（球坐标）。

未完成：散射态？无穷简并

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