厄米共轭算符的映射结构

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　矩阵与矢量空间，正交子空间，线性映射的结构，厄米共轭

图 1：定理 1 中的韦恩图，三角形表示线性空间，

X_{0} \cap X_{1}

和

Y_{0} \cap Y_{1}

都是零向量。

定理 1　

　　令 $X, Y$ 为有限维线性空间，线性算符 $A : X \to Y$ 的零空间为 $X_{0}$ ，其厄米共轭（也叫自伴算符） $A^{†} : Y \to X$ 的零空间（定义 3 ）为 $Y_{0}$ ；令两算符的值空间（定义 2 ）分别为 $Y_{1} = A (X)$ ， $X_{1} = A^{†} (Y)$ 。那么 $X_{0}, X_{1}$ 是 $X$ 中的正交补（定义 2 ）， $Y_{0}, Y_{1}$ 是 $Y$ 中的正交补。即

\begin{matrix} (1) & X = X_{0} \oplus X_{1}, X_{0} ⊥ X_{1}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & Y = Y_{0} \oplus Y_{1}, Y_{0} ⊥ Y_{1} . \end{matrix}

其中

\oplus

表示直和，

⊥

表示两空间正交。

　　证明见下文。

推论 1　

　　定理 1 中 $X_{1}, Y_{1}$ 维数相同，满足（见图 1 ）

\begin{matrix} (3) & A (X_{1}) = Y_{1}, A^{†} (Y_{1}) = X_{1}, \end{matrix}

且这两个映射都是双射。

　　根据定理 1 ，由于值空间的维数只能小于或等于定义域空间的维数，所以 $X_{1}, Y_{1}$ 维数相同。

推论 2　

　　矩阵的行秩等于列秩。

　　证明：令矩阵 $A$ 的算符为 $A$ ，该矩阵的列秩就是 $Y_{1}$ 的维数。而 $A$ 的行秩等于 $A^{†}$ 的列秩，也就是 $X_{1}$ 的维数。而 $X_{1}, Y_{1}$ 维数相同。证毕。

1. 证明

　　以下证明定理 1 中 $Y_{1}$ 的正交补就是 $Y_{0}$ （ $X_{0}, X_{1}$ 的证明同理）。令 $Y_{1}$ 的正交补为 $Y_{0}^{'}$ ，那么 $y \in Y_{0}^{'}$ 的充分必要条件是 $y$ 和 $Y_{1}$ 中所有矢量都正交，即

\begin{matrix} (4) & ⟨ A x | y ⟩ = 0 (\forall x \in X) . \end{matrix}

而根据零空间的定义

y \in Y_{0}

的充分必要条件是

A^{†} y = 0

，即

\begin{matrix} (5) & ⟨ x | A^{†} y ⟩ = 0 (\forall x \in X), \end{matrix}

而式 4 和式 5 等效。所以

Y_{0}^{'} = Y_{0}

。证毕。

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