厄米共轭算符的映射结构

             

预备知识 矩阵与矢量空间,正交子空间,线性映射的结构,厄米共轭
图
图 1:定理 1 中的韦恩图,三角形表示线性空间,$X_0\cap X_1$ 和 $Y_0\cap Y_1$ 都是零向量.

定理 1 

   令 $X, Y$ 为有限维线性空间,线性算符 $A:X \to Y$ 的零空间(定理 2 )为 $X_0$,其厄米共轭(也叫自伴算符)$A ^\dagger : Y \to X$ 的零空间为 $Y_0$;令两算符的值空间分别为 $Y_1 = A(X)$,$X_1 = A ^\dagger (Y)$.那么 $X_0, X_1$ 是 $X$ 中的正交补(定义 2 ),$Y_0, Y_1$ 是 $Y$ 中的正交补.即

\begin{equation} X = X_0 \oplus X_1 \qquad X_0 \perp X_1 \end{equation}
\begin{equation} Y = Y_0 \oplus Y_1 \qquad Y_0 \perp Y_1 \end{equation}
其中 $\oplus$ 表示直和,$\perp$ 表示两空间正交

   证明见下文.

推论 1 

   定理 1 中 $X_1, Y_1$ 维数相同,满足(见图 1

\begin{equation} A(X_1) = Y_1 \qquad A ^\dagger (Y_1) = X_1 \end{equation}
且这两个映射都是双射.

   根据定理 1 , 由于值空间的维数只能小于或等于定义域空间的维数,所以 $X_1, Y_1$ 维数相同.

推论 2 

   矩阵的行秩等于列秩

   证明:令矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的算符为 $A$,该矩阵的列秩就是 $Y_1$ 的维数.而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行秩等于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $ 的列秩,也就是 $X_1$ 的维数.而 $X_1, Y_1$ 维数相同.证毕.

1. 证明

   以下证明定理 1 中 $Y_1$ 的正交补就是 $Y_0$($X_0, X_1$ 的证明同理).令 $Y_1$ 的正交补为 $Y'_0$,那么 $y \in Y'_0$ 的充分必要条件是 $y$ 和 $Y_1$ 中所有矢量都正交,即

\begin{equation} \left\langle Ax \middle| y \right\rangle = 0 \qquad (\forall x \in X) \end{equation}
而根据零空间的定义(定理 2 )$y \in Y_0$ 的充分必要条件是 $A ^\dagger y = 0$,即
\begin{equation} \langle{x}|{A ^\dagger y}\rangle = 0 \qquad (\forall x \in X) \end{equation}
而根据(链接未完成)式 4 式 5 等效.所以 $Y'_0 = Y_0$.证毕.

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