子空间的正交关系
贡献者: addis; Giacomo
定义 1 正交
一个内积空间 中,如果两个向量 和 满足内积 ,我们就称它们相互正交;
如果两个子空间 和 任意各选一个向量 和 都相互正交,那么我们就说者两个子空间相互正交。
构造正交关系的一种简单的方法是,在 中找到两组向量 和 ,确保对任意 和 正交,那么 张成的子空间必定和 张成的子空间正交。
从的角度来看,两个空间正交的充分必要条件是:
定理 1
两个子空间 和 各选一组基底 和 ,它们相互正交当且仅当对任意 都有 。
例 1
三维几何向量空间中,建立直角坐标系,那么 和 张成的二维向量空间(平面)与 张成的一维向量空间(直线)正交。
虽然 平面和 平面是两个垂直的平面,但它们并不相互正交。例如向量 是两个平面共同的向量,但 和它本身不正交。
1. 相互正交的子空间的直和
习题 1
证明两个相互正交的子空间中,只有零向量是共同向量;换言之,两个子空间是正交的,意味着它们两个是线性无关的(参考基底)。
若在两个相互正交的子空间 和 分别中取一组基底,那么将他们合并起来就得到了母空间中的一组基底。特别地,如果 和 各取一组正交归一基底 和 ,那么合并之后 就是直和空间 中的一组正交归一基底。但注意直和空间中的任意一组正交归一基底未必可以划分为 , 空间中的两组基底。
2. 正交补
我们在 “直和” 中已经定义了补空间的概念,现在来定义一种特殊的补空间。
定义 2 正交补空间
在 空间中,若 和 正交且 ,那么 和 互为对方的正交补空间(Orthogonal complement),简称正交补。
定理 2
从基底的角度来看,两个有限维空间 是关于 的正交的充分必要条件是:如果从两空间各选一组基底 和 ,那么基底 就是 的一组正交归一基底。
未完成:正交补是唯一的
未完成:如何求正交补?
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