子空间的正交关系

贡献者： addis; Giacomo

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预备知识　内积，直和，基底

定义 1　正交

　　一个内积空间 $V$ 中，如果两个向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 满足内积 $⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = 0$ ，我们就称它们相互正交；

　　如果两个子空间 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 任意各选一个向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 都相互正交，那么我们就说者两个子空间相互正交。

　　构造正交关系的一种简单的方法是，在 $V$ 中找到两组向量 $x_{1}, \dots, x_{m}$ 和 $y_{1}, \dots, y_{m}$ ，确保对任意 $x_{i}$ 和 $y_{j}$ 正交，那么 $x_{1}, \dots, x_{m}$ 张成的子空间必定和 $y_{1}, \dots, y_{m}$ 张成的子空间正交。

　　从的角度来看，两个空间正交的充分必要条件是：

定理 1　

　　两个子空间 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 各选一组基底 ${v_{α}}_{α}$ 和 ${w_{β}}_{β}$ ，它们相互正交当且仅当对任意 $α, β$ 都有 $⟨ v_{α}, w_{β} ⟩ = 0$ 。

例 1　

　　三维几何向量空间中，建立直角坐标系，那么 $\hat{x}$ 和 $\hat{y}$ 张成的二维向量空间（平面）与 $\hat{z}$ 张成的一维向量空间（直线）正交。

　　虽然 $x y$ 平面和 $x z$ 平面是两个垂直的平面，但它们并不相互正交。例如向量 $\hat{x}$ 是两个平面共同的向量，但 $\hat{x}$ 和它本身不正交。

1. 相互正交的子空间的直和

习题 1　

　　证明两个相互正交的子空间中，只有零向量是共同向量；换言之，两个子空间是正交的，意味着它们两个是线性无关的（参考基底）。

　　若在两个相互正交的子空间 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 分别中取一组基底，那么将他们合并起来就得到了母空间中的一组基底。特别地，如果 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 各取一组正交归一基底 ${v_{α}}_{α}$ 和 ${w_{β}}_{β}$ ，那么合并之后 ${v_{α}, w_{β}}_{α, β}$ 就是直和空间 $V_{1} \oplus V_{2}$ 中的一组正交归一基底。但注意直和空间中的任意一组正交归一基底未必可以划分为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ 空间中的两组基底。

2. 正交补

　　我们在 “直和” 中已经定义了补空间的概念，现在来定义一种特殊的补空间。

定义 2　正交补空间

　　在 $V$ 空间中，若 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 正交且 $V = V_{1} \oplus V_{2}$ ，那么 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 互为对方的正交补空间（Orthogonal complement），简称正交补。

定理 2　

　　从基底的角度来看，两个有限维空间 $V_{1}, V_{2}$ 是关于 $V$ 的正交的充分必要条件是：如果从两空间各选一组基底 $α_{i}$ $(i = 1, \dots, N_{1})$ 和 $β_{i}$ $(i = 1, \dots, N_{2})$ ，那么基底 ${α_{1}, \dots, α_{N_{1}}, β_{1}, \dots, β_{N_{2}}}$ 就是 $X$ 的一组正交归一基底。

未完成：正交补是唯一的

未完成：如何求正交补？

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子空间的正交关系

定义 1 正交

定理 1

例 1

1. 相互正交的子空间的直和

习题 1

2. 正交补

定义 2 正交补空间

定理 2

定义 1　正交

定理 1　

例 1　

习题 1　

定义 2　正交补空间

定理 2　