正交子空间

             

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预备知识 内积,直和,张成空间

定义 1 正交子空间

   一个内积空间 $V$ 中,如果两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$ 任意各选一个矢量 ${v_1}$ 和 ${v_2}$,它们的内积都有 $ \left\langle v_1, v_2 \right\rangle = 0$,那么我们就说者两个子空间是正交的.

   构造正交子空间的一种简单的方法是,在 $V$ 中找到两组矢量 $x_1, \dots, x_m$ 和 $y_1, \dots, y_m$,确保对任意 $x_i$ 和 $y_j$ 正交,那么 $x_1, \dots, x_m$ 张成的子空间必定和 $y_1, \dots, y_m$ 张成的子空间正交.

定理 1 

   从基底的角度来看,两个空间正交的充分必要条件是:如果从两空间各选一组基底 ${\alpha_i}$ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 ${\beta_i}$ $(i = 1, \dots, N_2)$,有对任意 $i, j$ 都有 $ \left\langle \alpha_i, \beta_j \right\rangle = 0$.

习题 1 

   证明两个正交子空间中,只有零矢量是共同矢量.

1. 正交子空间的直和

   若两个正交子空间的维数分别为 $N_1$ 和 $N_2$,它们之和等于母空间的维数 $N$,那么就说它们是互补(complementary)的.若分别在这两个空间中取一组基底,那么将他们合并起来就得到了母空间中的一组基底.

   特殊地,如果 $V_1$ 和 $V_2$ 的两组基底合并后仍然正交归一,那么合并后就得到了直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 中的一组正交归一基底.但注意直和空间中的任意一组正交归一基底未必可以划分为 $V_1$,$V_2$ 空间中的两组基底.

例 1 

   三维几何矢量空间中,建立直角坐标系,那么 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 张成的二维矢量空间(平面)与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 张成的一维矢量空间(直线)正交.

例 2 

   虽然 $xy$ 平面和 $xz$ 平面是两个垂直的平面,但它们并不是两个正交子空间.例如矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 是两个平面共同的矢量,但 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和它本身不正交.

2. 正交补

   我们在 “直和” 中已经定义了补空间的概念,现在来定义一种特殊的补空间.

定义 2 正交补空间

   在 $V$ 空间中,若 $V_1$ 和 $V_2$ 正交且 $V = V_1 \oplus V_2$,那么 $V_1$ 和 $V_2$ 互为对方的正交补空间(Orthogonal complement),简称正交补

定理 2 

   从基底的角度来看,两个有限维空间 $V_1, V_2$ 是关于 $V$ 的正交的充分必要条件是:如果从两空间各选一组基底 ${\alpha_i}$ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 ${\beta_i}$ $(i = 1, \dots, N_2)$,那么基底 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_{N_1}, \beta_1, \dots, \beta_{N_2}\}$ 就是 $X$ 的一组正交归一基底.

  

未完成:正交补是唯一的
未完成:如何求正交补?

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