子空间的正交关系

                     

贡献者: addis; Giacomo

  • 本文存在未完成的内容。
预备知识 内积,直和基底

定义 1 正交

   一个内积空间 V 中,如果两个向量 v1v2 满足内积 v1,v2=0,我们就称它们相互正交

   如果两个子空间 V1V2 任意各选一个向量 v1v2 都相互正交,那么我们就说者两个子空间相互正交

   构造正交关系的一种简单的方法是,在 V 中找到两组向量 x1,,xmy1,,ym,确保对任意 xiyj 正交,那么 x1,,xm 张成的子空间必定和 y1,,ym 张成的子空间正交。

   从的角度来看,两个空间正交的充分必要条件是:

定理 1 

   两个子空间 V1V2 各选一组基底 {vα}α{wβ}β,它们相互正交当且仅当对任意 α,β 都有 vα,wβ=0

例 1 

   三维几何向量空间中,建立直角坐标系,那么 x^y^ 张成的二维向量空间(平面)与 z^ 张成的一维向量空间(直线)正交。

   虽然 xy 平面和 xz 平面是两个垂直的平面,但它们并不相互正交。例如向量 x^ 是两个平面共同的向量,但 x^ 和它本身不正交。

1. 相互正交的子空间的直和

习题 1 

   证明两个相互正交的子空间中,只有零向量是共同向量;换言之,两个子空间是正交的,意味着它们两个是线性无关的(参考基底)。

   若在两个相互正交的子空间 V1V2 分别中取一组基底,那么将他们合并起来就得到了母空间中的一组基底。特别地,如果 V1V2 各取一组正交归一基底 {vα}α{wβ}β,那么合并之后 {vα,wβ}α,β 就是直和空间 V1V2 中的一组正交归一基底。但注意直和空间中的任意一组正交归一基底未必可以划分为 V1V2 空间中的两组基底。

2. 正交补

   我们在 “直和” 中已经定义了补空间的概念,现在来定义一种特殊的补空间。

定义 2 正交补空间

   在 V 空间中,若 V1V2 正交且 V=V1V2,那么 V1V2 互为对方的正交补空间(Orthogonal complement),简称正交补

定理 2 

   从基底的角度来看,两个有限维空间 V1,V2 是关于 V 的正交的充分必要条件是:如果从两空间各选一组基底 αi (i=1,,N1)βi (i=1,,N2),那么基底 {α1,,αN1,β1,,βN2} 就是 X 的一组正交归一基底。

  

未完成:正交补是唯一的
未完成:如何求正交补?


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利