双线性函数
贡献者: 叶月2_
定义 1
设 是域 上的线性空间,映射 若满足对于任意 有:
则称 是 上的一个双线性函数。
显然,当固定一个向量不变时,双线性函数就是 上的一个线性函数。
双线性函数可以用矩阵表示。设 为 上的一组基,任意向量 ,则 。称 是 在基 下的度量矩阵。
例 2
欧几里得内积是特殊的度量矩阵,表示为单位矩阵 。
内积具有双线性、正定性和对称性。我们可以把只保留双线性的度量矩阵看作广义内积。
在前文我们已经知道,相似变换可以改变线性映射和向量的表示。度量矩阵的意义便在于保持向量内积在新基下不变。
设 为过渡矩阵, 为 在新基下的表示,由内积不变得 ,则 。也就是说,合同变换实际上是改变双线性函数的度量矩阵表示。由于合同变换不改变矩阵的秩,因此把秩称作 的矩阵秩。
定义 2
设 是域 上线性空间 的双线性函数,称 的下述子集
为 在 上的
左根,类似于群论中的左零因子。同理,“右零因子” 被称作
右根。
易见,左根和右根在数乘和加法下封闭,是 的子空间。
定义 3
若 在 上的左根和有根都为 ,则称 在 上非退化。称不满足该条件的 是退化的。
的矩阵秩是判断其退化性的直接依据。
证明:
非退化意味着左根和右根都为 。
设任意向量 ,左根 满足 ,则必有 。解集为 意味着 是个单射,即满秩。同理可证,右根为 当且仅当 满秩。
的对称性
定义 4
同上设。
- 若满足 ,则称 是对称的,;
- 若满足 ,则称 是反对称(斜对称)的;
- 若满足 则称 是交错的。
交错性相当于幂零性,在特征不为 的域下是可以推出反对称性的,由 可得。而在特征为 的域下相当于是对称性。因此,本篇下述只研究对称性和反对称性双线性函数的性质。
如果 是对称的,则有 ,则其度量矩阵是对称的。
同理可证,若 是反对称的,则其度量矩阵是反对称的。
- 是对称的 其度量矩阵是对称的。
- 是反对称的 其度量矩阵是反对称的。
由于对称矩阵相似于对角矩阵,且其过渡矩阵是正交矩阵,因此这也是个合同变换的过程。所以对于线性空间 上的对称双线性函数 ,我们总能找到一组基,使其度量矩阵在该基下为对角矩阵。
反对称双线性函数也有较为简单的度量矩阵形式。
定理 2
设域 的特征不为 , 是域 的 维线性空间, 是 上的反对称双线性函数。则存在一组基 ,使得 的度量矩阵具有如下形式:
证明:1
由对称矩阵的性质可知, 时定理自然成立。下面假设维度小于 时成立,需要证明维度为 时定理依然成立。
由于 是反对称的,因此必然至少有两个向量其内积不为 ,如 ,设 ,则可得 。拓展这两个向量至 上的一组基:
设 ,并令
则有:
因此 。
可以证明 依然构成 上的一组基。因此 。
由题设可知, 在 上存在一组基,使得在该子空间上的度量矩阵为定理所示形式,又因 及 ,定理得证。
1. ^ 引自丘维声《抽象代数》
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