双线性函数

贡献者：叶月2_

定义 1　

　　设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间，映射 $f : V \times V \to F$ 若满足对于任意 $x, y, z \in V, a, b \in F$ 有：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} f (a x + b y, z) & = a f (x, z) + b f (y, z) = 0 \\ f (z, a x + b y) & = a f (z, x) + b f (z, y) = 0 \end{aligned}, \end{matrix}

则称

f

是

V

上的一个双线性函数。

　　显然，当固定一个向量不变时，双线性函数就是 $V$ 上的一个线性函数。

　　双线性函数可以用矩阵表示。设 ${e_{i}}$ 为 $V$ 上的一组基，任意向量 $x = a^{i} e_{i}, y = b^{i} e_{i}$ ，则 $f (a^{i} e_{i}, b^{j} e_{j}) = a^{i} b^{j} f (e_{i}, e_{j}) = x^{T} A y$ 。称 $A$ 是 $f$ 在基 ${e_{i}}$ 下的度量矩阵。

例 1　

\begin{matrix} (2) & x^{T} A y = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} f (e_{1}, e_{1}) & f (e_{1}, e_{2}) & f (e_{1}, e_{3}) \\ f (e_{2}, e_{1}) & f (e_{2}, e_{2}) & f (e_{2}, e_{3}) \\ f (e_{3}, e_{1}) & f (e_{3}, e_{2}) & f (e_{3}, e_{3}) \end{matrix}) (\begin{matrix} b^{1} & b^{2} & b^{3} \end{matrix}) . \end{matrix}

例 2　

　　欧几里得内积是特殊的度量矩阵，表示为单位矩阵 $E$ 。

　　内积具有双线性、正定性和对称性。我们可以把只保留双线性的度量矩阵看作广义内积。在前文我们已经知道，相似变换可以改变线性映射和向量的表示。度量矩阵的意义便在于保持向量内积在新基下不变。

　　设 $Q$ 为过渡矩阵， $B$ 为 $f$ 在新基下的表示，由内积不变得 $x^{T} A y = x^{T} (Q^{- 1})^{T} B Q^{- 1} y$ ，则 $B = Q^{T} A Q$ 。也就是说，合同变换实际上是改变双线性函数的度量矩阵表示。由于合同变换不改变矩阵的秩，因此把秩称作 $f$ 的矩阵秩。

定义 2　

　　设 $f$ 是域 $f$ 上线性空间 $V$ 的双线性函数，称 $V$ 的下述子集

\begin{matrix} (3) & {x \in V ∣ f (x, y) = 0, \forall y \in V} \end{matrix}

为

f

在

V

上的左根，类似于群论中的左零因子。同理，“右零因子” 被称作右根。

　　易见，左根和右根在数乘和加法下封闭，是 $V$ 的子空间。

定义 3　

　　若 $f$ 在 $V$ 上的左根和有根都为 $0$ ，则称 $f$ 在 $V$ 上非退化。称不满足该条件的 $f$ 是退化的。

　　 $f$ 的矩阵秩是判断其退化性的直接依据。

定理 1　

　　 $f$ 在 $V$ 上非退化 $\Leftrightarrow f$ 满秩。

　　 证明：

　　非退化意味着左根和右根都为 $0$ 。

　　设任意向量 $y = b^{j} e_{j}$ ，左根 $x = a^{i} e_{i}$ 满足 $f (a^{i} e_{i}, b^{j} e_{j}) = b^{j} a^{i} f (e_{i}, e_{j}) = 0$ ，则必有 $a^{i} f (e_{i}, e_{j}) = x^{T} A = (A^{T} x)^{T} = 0$ 。解集为 $0$ 意味着 $f$ 是个单射，即满秩。同理可证，右根为 $0$ 当且仅当 $f$ 满秩。

$f$ 的对称性

定义 4　

　　 $f, V, x, y$ 同上设。

若满足 $f (x, y) = f (y, x)$ ，则称 $f$ 是对称的，；
若满足 $f (x, y) = - f (y, x)$ ，则称 $f$ 是反对称（斜对称）的；
若满足 $f (x, x) = 0$ 则称 $f$ 是交错的。

　　交错性相当于幂零性，在特征不为 $2$ 的域下是可以推出反对称性的，由 $f (x + y, x + y) = 0$ 可得。而在特征为 $2$ 的域下相当于是对称性。因此，本篇下述只研究对称性和反对称性双线性函数的性质。

　　如果 $f$ 是对称的，则有 $f (a^{i} e_{i}, b^{j} e_{j}) = a^{i} b^{j} f (e_{i}, e_{j}) = f (b^{j} e_{j}, a^{i} e_{i}) = a^{i} b^{j} f (e_{j}, e_{i})$ ，则其度量矩阵是对称的。同理可证，若 $f$ 是反对称的，则其度量矩阵是反对称的。

$f$ 是对称的 $\Leftrightarrow$ 其度量矩阵是对称的。
$f$ 是反对称的 $\Leftrightarrow$ 其度量矩阵是反对称的。

　　由于对称矩阵相似于对角矩阵，且其过渡矩阵是正交矩阵，因此这也是个合同变换的过程。所以对于线性空间 $V$ 上的对称双线性函数 $f$ ，我们总能找到一组基，使其度量矩阵在该基下为对角矩阵。

　　反对称双线性函数也有较为简单的度量矩阵形式。

定理 2　

　　设域 $K$ 的特征不为 $2$ ， $V$ 是域 $K$ 的 $n$ 维线性空间， $f$ 是 $V$ 上的反对称双线性函数。则存在一组基 $ε_{1}, ε_{2}, η_{3}^{'} . . . η_{n}^{'}$ ，使得 $f$ 的度量矩阵具有如下形式：

\begin{matrix} (4) & diag {(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}), \dots, (\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}), 0, \dots, 0}, . \end{matrix}

　　 证明：¹

　　由对称矩阵的性质可知， $n < 3$ 时定理自然成立。下面假设维度小于 $n$ 时成立，需要证明维度为 $n$ 时定理依然成立。

　　由于 $f$ 是反对称的，因此必然至少有两个向量其内积不为 $0$ ，如 $f (ε_{1}, x_{2}) = k \neq 0$ ，设 $ε_{2} = k^{- 1} x_{2}$ ，则可得 $f (ε_{1}, ε_{2}) = 1$ 。拓展这两个向量至 $V$ 上的一组基：

\begin{matrix} (5) & ε_{1}, ε_{2}, η_{3}, . . . η_{n}, \end{matrix}

设

f (η_{i}, ε_{1}) = k_{i}, f (η_{i}, ε_{2}) = k_{i}^{'}

，并令

\begin{matrix} (6) & η_{i}^{'} = η_{i} - k_{i}^{'} ε_{1} + k_{i} ε_{2}, i = 3. . . n, \end{matrix}

则有：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} f (η_{i}^{'}, ε_{1}) & = f (η_{i}, ε_{1}) + k_{i} f (ε_{2}, ε_{1}) \\ = k_{i} - k_{i} = 0 \\ f (η_{i}^{'}, ε_{2}) & = f (η_{i}, ε_{2}) - k_{i}^{'} f (ε_{1}, ε_{2}) \\ = k_{i}^{'} - k_{i}^{'} = 0 \end{aligned} . \end{matrix}

因此

η_{i}^{'} \in {(Span {ε_{1}, ε_{2}})}^{⊥}

。可以证明

{ε_{1}, ε_{2}, η_{3}^{'} . . . η_{n}^{'}}

依然构成

V

上的一组基。因此

V = {ε_{1}, ε_{2}} \oplus Span {η_{i}^{'}}_{i = 3}^{n}

。由题设可知，

f

在

Span {η_{i}^{'}}_{i = 3}^{n}

上存在一组基，使得在该子空间上的度量矩阵为定理所示形式，又因

f (η_{i}^{'}, ε_{1}) = f (η_{i}^{'}, ε_{2}) = 0

及

f (ε_{1}, ε_{2}) = 1

，定理得证。

1. ^ 引自丘维声《抽象代数》

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双线性函数

定义 1

例 1

例 2

定义 2

定义 3

定理 1

f 的对称性

定义 4

定理 2

定义 1　

例 1　

例 2　

定义 2　

定义 3　

定理 1　

$f$ 的对称性

定义 4　

定理 2　