双线性函数

                     

贡献者: 叶月2_

定义 1 

   设 V 是域 F 上的线性空间,映射 f:V×VF 若满足对于任意 x,y,zV,a,bF 有:

(1)f(ax+by,z)=af(x,z)+bf(y,z)=0f(z,ax+by)=af(z,x)+bf(z,y)=0 ,
则称 fV 上的一个双线性函数。

   显然,当固定一个向量不变时,双线性函数就是 V 上的一个线性函数。

   双线性函数可以用矩阵表示。设 {ei}V 上的一组基,任意向量 x=aiei,y=biei,则 f(aiei,bjej)=aibjf(ei,ej)=xTAy。称 Af 在基 {ei} 下的度量矩阵

例 1 

(2)xTAy=(a1a2a3)(f(e1,e1)f(e1,e2)f(e1,e3)f(e2,e1)f(e2,e2)f(e2,e3)f(e3,e1)f(e3,e2)f(e3,e3))(b1b2b3) .

例 2 

   欧几里得内积是特殊的度量矩阵,表示为单位矩阵 E

   内积具有双线性、正定性和对称性。我们可以把只保留双线性的度量矩阵看作广义内积。 在前文我们已经知道,相似变换可以改变线性映射和向量的表示。度量矩阵的意义便在于保持向量内积在新基下不变。

   设 Q 为过渡矩阵,Bf 在新基下的表示,由内积不变得 xTAy=xT(Q1)TBQ1y,则 B=QTAQ。也就是说,合同变换实际上是改变双线性函数的度量矩阵表示。由于合同变换不改变矩阵的秩,因此把秩称作 f矩阵秩

定义 2 

   设 f 是域 f 上线性空间 V 的双线性函数,称 V 的下述子集

(3){xVf(x,y)=0,yV} 
fV 上的左根,类似于群论中的左零因子。同理,“右零因子” 被称作右根

   易见,左根和右根在数乘和加法下封闭,是 V 的子空间。

定义 3 

   若 fV 上的左根和有根都为 0,则称 fV非退化。称不满足该条件的 f 是退化的。

   f 的矩阵秩是判断其退化性的直接依据。

定理 1 

   fV 上非退化 f 满秩。

   证明:

   非退化意味着左根和右根都为 0

   设任意向量 y=bjej,左根 x=aiei 满足 f(aiei,bjej)=bjaif(ei,ej)=0,则必有 aif(ei,ej)=xTA=(ATx)T=0。解集为 0 意味着 f 是个单射,即满秩。同理可证,右根为 0 当且仅当 f 满秩。

f 的对称性

定义 4 

   f,V,x,y 同上设。

  • 若满足 f(x,y)=f(y,x),则称 f对称的,;
  • 若满足 f(x,y)=f(y,x),则称 f反对称(斜对称)的;
  • 若满足 f(x,x)=0 则称 f交错的

   交错性相当于幂零性,在特征不为 2 的域下是可以推出反对称性的,由 f(x+y,x+y)=0 可得。而在特征为 2 的域下相当于是对称性。因此,本篇下述只研究对称性和反对称性双线性函数的性质。

   如果 f 是对称的,则有 f(aiei,bjej)=aibjf(ei,ej)=f(bjej,aiei)=aibjf(ej,ei),则其度量矩阵是对称的。 同理可证,若 f 是反对称的,则其度量矩阵是反对称的。

   由于对称矩阵相似于对角矩阵,且其过渡矩阵是正交矩阵,因此这也是个合同变换的过程。所以对于线性空间 V 上的对称双线性函数 f,我们总能找到一组基,使其度量矩阵在该基下为对角矩阵。

   反对称双线性函数也有较为简单的度量矩阵形式。

定理 2 

   设域 K 的特征不为 2V 是域 Kn 维线性空间,fV 上的反对称双线性函数。则存在一组基 ε1,ε2,η3...ηn,使得 f 的度量矩阵具有如下形式:

(4)diag{(0110),,(0110),0,,0} .

   证明:1

   由对称矩阵的性质可知,n<3 时定理自然成立。下面假设维度小于 n 时成立,需要证明维度为 n 时定理依然成立。

   由于 f 是反对称的,因此必然至少有两个向量其内积不为 0,如 f(ε1,x2)=k0,设 ε2=k1x2,则可得 f(ε1,ε2)=1。拓展这两个向量至 V 上的一组基:

(5)ε1,ε2,η3,...ηn ,
f(ηi,ε1)=ki,f(ηi,ε2)=ki,并令
(6)ηi=ηikiε1+kiε2,i=3...n ,
则有:
(7)f(ηi,ε1)=f(ηi,ε1)+kif(ε2,ε1)=kiki=0f(ηi,ε2)=f(ηi,ε2)kif(ε1,ε2)=kiki=0 .
因此 ηi(Span{ε1,ε2})。 可以证明 {ε1,ε2,η3...ηn} 依然构成 V 上的一组基。因此 V={ε1,ε2}Span{ηi}i=3n。 由题设可知,fSpan{ηi}i=3n 上存在一组基,使得在该子空间上的度量矩阵为定理所示形式,又因 f(ηi,ε1)=f(ηi,ε2)=0f(ε1,ε2)=1,定理得证。


1. ^ 引自丘维声《抽象代数》


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