矩阵的秩

             

预备知识 行列式

定义 1 矩阵的秩

   定义矩阵列秩(column rank)等于其线性无关的列数,行秩(row rank)等于线性无关的行数.任意的矩阵的行秩和列秩相等,可以直接称为矩阵的秩(rank)

   行秩和列秩相等的证明见推论 2

例 1 

   矩阵

\begin{equation} \begin{pmatrix}1 & 1 & 4\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \end{equation}
中,如果我们把矩阵看做是三个列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _3$ 组成,那么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 显然是线性无关的(不共线),而 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _3$ 可以表示为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 的线性组合,即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _3 = 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \end{equation}
所以它们之中只有两个矢量线性无关,该矩阵的秩为 2.

   当然,我们也可以认为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _3$ 线性无关,排除 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$,同样得到秩为 2.一般来说,若有(式 1

\begin{equation} \sum_i c_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} \qquad (c_i \ne 0) \end{equation}
我们就可以把任意一个 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 排除,再次求解上式,直到上式无解,那么可以确定剩下的矢量就是线性无关的,他们的数量就是矩阵的秩.这种方法计算量过大,下文我们会介绍更简单的方法.

   根据定义,一个矩阵的秩 $R$ 必定小于或等于矩阵的行数 $M$ 以及列数 $N$(取较小者).对于方阵,若三者相等,即 $M = N = R$,我们就称其为满秩矩阵(full rank matrix).满秩矩阵意味着矩阵中所有行(列)都线性无关.

   判断一个方阵是否为满秩矩阵的一种常见方法是计算方阵的行列式,若结果不为零,则矩阵是满秩的,否则不是(定理 7 ).注意非满秩的情况下行列式并不能判断秩具体是多少.另一种更简单的方法是使用下面的高斯消元法.

1. 高斯消元法计算秩

预备知识 高斯消元法

   要确定任意矩阵秩的大小,我们可以先用高斯消元法将矩阵变换为梯形矩阵.矩阵的秩数就是梯形矩阵中不为零的行数.这是因为行变换不会改变矩阵的秩.

   证明:如果通过行变换可以把矩阵的某行变为零,那么就说明该行必定可以表示为其他行的线性组合;而梯形矩阵中每一个不为零的行都无法通过行变换变为零,所以他们都是线性无关的(具体证明留作习题).证毕.

例 2 

   我们用高斯消元法计算式 1 的秩,该矩阵经过行变换 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \leftrightarrow \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 后变为梯形矩阵

\begin{equation} \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{equation}
有两个不为零的行,所以矩阵的秩为 2.

   同理,我们也可以把矩阵先做转置再用高斯消元法计算其线性无关的列.这么做可以验证给定矩阵的行秩等于列秩.

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