矩阵的秩

贡献者： 叶月2_; addis; JierPeter; ACertainUser

1. 秩的概念

　　 线性相关性的概念源自向量坐标的唯一性。以几何向量为例，当给定一组向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$，其线性组合 $a_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+a_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2+\cdots+a_n \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$ 也是一个向量，我们可以称列矩阵 $ \begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}$ 为该向量的坐标。两个向量相加后的坐标，就是两个向量的坐标矩阵直接相加。零向量显然有一个坐标，即零矩阵 $ \begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}$；如果零向量还有一个非零的坐标 $ \begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}$，那么任何向量也都会有无穷多个坐标。比如说，有一个坐标为 $ \begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}$ 的向量，其坐标值也可以是 $ \begin{pmatrix}1+x_1&2+x_2&\cdots&n+x_n\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}$，乃至 $ \begin{pmatrix}1+2x_1&2+2x_2&\cdots&n+nx_n\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}}$。各向量的坐标唯一，当且仅当零向量的坐标唯一，而零向量的坐标唯一等价于 “对于不全为零的系数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，线性组合 $a_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+a_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2+\cdots+a_n \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$ 不可能是零向量”，这便是线性无关的定义。

　　 上段所解释的是几何向量线性相关性的定义，但把对象从几何向量改为 $n\times m$ 矩阵，也可以类似推广出矩阵线性相关性的定义。

　　 证明：

　　 转置矩阵后有：初等行变换不改变行秩 $\Leftrightarrow$ 初等列变换不改变列秩，以及初等行变换不改变列秩 $\Leftrightarrow$ 初等列变换不改变矩阵行秩。因此我们只需要分别证明一种情况。

　　 首先证明初等行变换不改变行秩。易知交换若干行不改变行秩。设行秩为 $m$，这意味着有 $m$ 行线性无关，设这部分行向量组为 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2... \boldsymbol{\mathbf{e}} _m$。则 i 行的 k 倍加到 j 行后行向量组为 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1... \boldsymbol{\mathbf{e}} _i,...k \boldsymbol{\mathbf{e}} _i+ \boldsymbol{\mathbf{e}} _j$，合并 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 项，则行变换不改变 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}^m_{i=1}$ 的线性相关性。易证将某行乘以 $k$ 倍也不改变行秩。

　　 然后证明初等行变换不改变列秩。设该初等变换矩阵为 $M$，列向量组为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$，列秩为 $n$ 相当于有 $n$ 列线性无关，设为前 n 列并取这部分进行观察。

　　 则对该向量组进行初等行变换相当于：$M( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _2... \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _n)=(A \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _1,A \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _2...A \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _n...)$。由于初等变换可逆，则这是一个一一映射，$\{A \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}_{i=1}^n$ 依然线性无关。所以初等行变换不改变列秩。

　　 经过初等变换，我们总可以把任意矩阵 $M$ 变换为对角矩阵，这个过程为：

　　 则可知矩阵的行秩等于列秩，因此可以被定义为矩阵的秩。

2. 秩的性质

　　 关于秩，有两个常用性质：

　　 证明：¹

　　 设行秩为 $L_r$，列秩为 $L_c$。 设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 为任意列向量，任意列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} \in \operatorname {Im}AB$，即 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} =AB \boldsymbol{\mathbf{x}} $。所以 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} \in \operatorname {Im}{A}$（象空间为列空间），则 $ L_c(AB)\leq L_c(A)$。

　　 设 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 为任意行向量，同理得：$ \boldsymbol{\mathbf{z}} AB= \boldsymbol{\mathbf{y}} ^T\in \operatorname {Im}B$（象空间为行空间），所以 $L_r(AB)\leq L_r(B)$。 又因为 $L_c=L_r=\mathcal R$，综合上述得：$\mathcal R(AB)\le \operatorname {min}\{\mathcal R(A),\mathcal R(B)\}$。

　　 证明：

　　 设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 为任意向量，则 $AB \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，也就是说 $ \operatorname {Im}B= \operatorname {ker}A$。结合秩定理：$ \operatorname {dim}V= \operatorname {dim} \operatorname {Im}f+ \operatorname {ker}f$ 及象维度等于矩阵的秩便可得该定理。

　　 从运算可知，n 阶方阵是 n 维空间的线性变换，因此若方阵满秩，也可称该线性变换满秩。

　　 判断一个方阵是否为满秩矩阵的一种常见方法是计算方阵的行列式，若结果不为零，则矩阵是满秩的，否则不是（定理 7 ）。注意非满秩的情况下行列式并不能判断秩具体是多少。另一种更简单的方法是使用下面的高斯消元法。

3. 高斯消元法计算秩

　　 要确定任意矩阵秩的大小，我们可以先用高斯消元法将矩阵变换为梯形矩阵。矩阵的秩数就是梯形矩阵中不为零的行数。这是因为行变换不会改变矩阵的秩。

　　 证明：如果通过行变换可以把矩阵的某行变为零，那么就说明该行必定可以表示为其他行的线性组合；而梯形矩阵中每一个不为零的行都无法通过行变换变为零，所以他们都是线性无关的（具体证明留作习题）。证毕。

　　 同理，我们也可以把矩阵先做转置再用高斯消元法计算其线性无关的列。这么做可以验证给定矩阵的行秩等于列秩。

1. ^ 另一种思路的证明可见 Jier Peter 的《代数学基础》，把 $A,B$ 都表示为包含初等变换及对角矩阵的形式即可。$A=...P^{-1}_iI_AQ^{-1}_s...$。