贡献者： addis; ACertainUser
定义 1 矩阵的秩
定义矩阵的列秩（column rank）等于其线性无关的列数，行秩（row rank）等于线性无关的行数。
定理 1 行、列秩相等
任意的矩阵的行秩和列秩相等，因此一般情况下无需区分行秩或列秩，可以直接称为矩阵的秩（rank），记为 $Rank( \boldsymbol{\mathbf{A}} )$ 或 R。
该定理也可写为 $Rank ( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T)=Rank( \boldsymbol{\mathbf{A}} )$。
行秩和列秩相等的证明见推论 2 。
定理 2
根据定义，一个矩阵的秩 $R$ 必定小于或等于矩阵的行数 $M$ 以及列数 $N$（取较小者）。$R\leq \min (M, N)$
例 1
矩阵
\begin{equation}
\begin{pmatrix}1 & 1 & 4\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} ~
\end{equation}
中，如果我们把矩阵看做是三个列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _3$ 组成，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 显然是线性无关的（不共线），而 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _3$ 可以表示为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 的线性组合，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _3 = 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2~,
\end{equation}
所以它们之中只有两个矢量线性无关，该矩阵的秩为 2。
当然，我们也可以认为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _3$ 线性无关，排除 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$，同样得到秩为 2。一般来说，若有（式 1 ）
\begin{equation}
\sum_i c_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} \qquad (c_i \ne 0)~.
\end{equation}
我们就可以把任意一个 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 排除，再次求解上式，直到上式无解，那么可以确定剩下的矢量就是线性无关的，他们的数量就是矩阵的秩。这种方法计算量过大，下文我们会介绍更简单的方法。
定义 2 满秩矩阵
对于方阵，若 $M = N = R$，我们就称其为满秩矩阵（full rank matrix）。满秩矩阵意味着矩阵中所有行（列）都线性无关。
判断一个方阵是否为满秩矩阵的一种常见方法是计算方阵的行列式，若结果不为零，则矩阵是满秩的，否则不是（定理 7 ）。注意非满秩的情况下行列式并不能判断秩具体是多少。另一种更简单的方法是使用下面的高斯消元法。
1. 高斯消元法计算秩
要确定任意矩阵秩的大小，我们可以先用高斯消元法将矩阵变换为梯形矩阵。矩阵的秩数就是梯形矩阵中不为零的行数。这是因为行变换不会改变矩阵的秩。
证明：如果通过行变换可以把矩阵的某行变为零，那么就说明该行必定可以表示为其他行的线性组合；而梯形矩阵中每一个不为零的行都无法通过行变换变为零，所以他们都是线性无关的（具体证明留作习题）。证毕。
例 2
我们用高斯消元法计算式 1 的秩，该矩阵经过行变换 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \leftrightarrow \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 后变为梯形矩阵
\begin{equation}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} ~
\end{equation}
有两个不为零的行，所以矩阵的秩为 2。
同理，我们也可以把矩阵先做转置再用高斯消元法计算其线性无关的列。这么做可以验证给定矩阵的行秩等于列秩。
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