电磁场中的薛定谔方程及规范变换

             

预备知识 点电荷的拉格朗日和哈密顿量,量子化,原子单位制

   本文使用原子单位制.电动力学中,电磁场中单个粒子的哈密顿量为

\begin{equation} H = \frac{1}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 + q\varphi \end{equation}
其中 $\varphi$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 分别是电磁场的标势和矢势,都是位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和时间的函数.$ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的广义动量
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
将 ${ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla $,代入得量子化后的哈密顿算符为
\begin{equation} \begin{aligned} H &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q \varphi\\ &= -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \mathrm{i} \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q\varphi \end{aligned} \end{equation}
注意算符 $ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是指先把波函数乘以矢势再取散度而不是直接对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 取散度(想想量子力学中算符相乘的定义).

   另外要注意 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} $ 代表的是式 2 广义动量而不是 $m \boldsymbol{\mathbf{v}} $.所以一般规范下的平面波 $ \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) $ 的能量是

\begin{equation} E = \frac{( \boldsymbol{\mathbf{k}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2}{2m} \end{equation}
在长度规范下,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \equiv \boldsymbol{\mathbf{0}} $,这时才有常见的 $E = \boldsymbol{\mathbf{k}} ^2/(2m)$.

   如果对电磁场进行规范变换(式 3

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ' + \boldsymbol\nabla \chi \qquad \varphi = \varphi' - \frac{\partial \chi}{\partial t} \end{equation}
为了仍然满足含时薛定谔方程,波函数需要乘以一个相位因子,但物理观测结果却不会改变
\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi\right) \Psi'( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
其中 $\chi$ 是式 3 中的任意标量函数 $\lambda$.将以上三式代入含时薛定谔方程并化简后,等于把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \varphi, \Psi$ 分别直接加上一撇.所以对于任意规范,式 3 都保持相同的形式.

   常见的规范如库仑规范,以及偶极子近似下的长度规范和速度规范

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