高斯单位制

             

预备知识 厘米—克—秒单位制

   高斯单位制是在 CGS 单位制的基础上添加了一些电磁学相关的单位.以下先来定义各个物理量的转换常数, 已知 CGS 的转换常数为

\begin{equation} \begin{aligned} &\beta_x = 0.01 \,\mathrm{m/cm} &\qquad &\beta_m = 0.001 \,\mathrm{kg} / \,\mathrm{g} \\ &\beta_t = 1 &\qquad &\beta_F = \beta_x \beta_m = 10^{-5} \,\mathrm{N/dyn} \end{aligned} \end{equation}

电荷

   为了满足式 6 ,与国际单位相比,高斯单位制中电荷的量纲发生变化,单位为 $ \,\mathrm{\sqrt{cm^3 g}/s} $,为了方便我们不妨记为1 $C_g$.则电荷的转换常数为

\begin{equation} \beta_q = \sqrt{4\pi\epsilon_0\beta_F} \beta_x \approx 3.3356409510736 \times 10^{-10} \,\mathrm{C/C_g} \end{equation}
假如把 $ \,\mathrm{C} $ 和 $ \,\mathrm{C_g} $ 看成是相同的量纲,则以下除了磁场 $\beta_B$ 外其他转换常数都是无量纲的 1,$\beta_B$ 量纲为速度分之一.

电场

   为满足式 7 ,电场单位为 $ \,\mathrm{\sqrt{g/cm}/s} = \,\mathrm{C_g/cm^2} $.转换常数为

\begin{equation} \beta_{\mathcal E} = \frac{\beta_F}{\beta_q} = \sqrt{\frac{\beta_m}{4\pi\epsilon_0 \beta_x}} \approx 2.997924580815998 \times 10^{4} \,\mathrm{\frac{C_g\cdot m\cdot kg}{C\cdot cm\cdot g}} \end{equation}
若采用 2020 年 5 月以前的国际单位标准,数值上等于 $10^{-4} c_{s}$,$c_{s}$ 是国际单位的光速.

磁场

   为满足式 7 ,电场和磁场应具有相同的单位 $ \,\mathrm{C_g/cm^2} $.转换常数为2

\begin{equation} \beta_B = \frac{\beta_m\beta_x}{c_s\beta_q} = \frac{\beta_{\mathcal E}}{c_s} \approx 1.000000000272 \times 10^{-4} \,\mathrm{\frac{C_g\cdot kg \cdot s}{C \cdot g \cdot m}} \end{equation}
其中 $c_{s}$ 是国际单位的光速.若采用旧国际单位,该数值精确等于 $10^{-4}$.

1. 高斯单位制公式

   高斯单位制下的电磁学公式比其国际单位要更简洁对称.以下 $c$ 为 CGS 单位下的光速3

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 4\pi\rho\\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{4\pi}{c} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{aligned} \quad\text{(麦克斯韦方程组)} \end{equation}
\begin{equation} F = \frac{q_1 q_2}{r^2} \qquad\text{(库伦定律)} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = q \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{q}{c} \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \qquad\text{(广义洛伦兹力)} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \qquad\text{(磁矢势)} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi - \frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \qquad\text{(标量势)} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ' + \boldsymbol\nabla \chi \qquad \varphi = \varphi' - \frac{1}{c} \frac{\partial \chi}{\partial t} \qquad \text{(规范变换)} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} = 0 \qquad \text{(波动方程)} \end{equation}
真空中的平面电磁波若用高斯单位表示,有 $E_0 = B_0$.
\begin{equation} \rho_E = \frac{1}{8\pi} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2) \qquad\text{(场能量密度)} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{c}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \qquad\text{(坡印廷矢量)} \end{equation}
\begin{equation} \epsilon_0 = \frac{1}{4\pi} \qquad \mu_0 = 4\pi \end{equation}
转换常数为 $\beta_\epsilon = 4\pi\epsilon_0$,$\beta_\mu = \mu_0/(4\pi)$.


1. ^ $C_g$ 是笔者发明的记号,方便理解记忆.
2. ^ 2020 新国际单位标准以前,这个数值精确等于 $1/100$, 新标准需要乘以 $\sqrt{\mu_0/(4 \times 10^{-7} \pi)}$ 的数值.
3. ^ 如果高斯单位直接建立在国际单位制上(式 1 中的转换常数全部改为 $1$),以下公式同样成立($c$ 也要换成国际单位制).

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