速度规范

             

预备知识 长度规范

   本文使用原子单位制.和长度规范中的思路一样,我们只在使用偶极子近似时讨论速度规范(velocity gauge).用角标 $V$ 表示速度规范,先从规范不变的哈密顿算符(式 3 )出发

\begin{equation} H_V = H_0 - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} _V \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} _V) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _V^2 + q \varphi_V \end{equation}
长度规范的思路是把上式中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _V^2$ 消去.对库仑规范使用规范变换(式 5
\begin{equation} \Psi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi_V\right) \Psi_V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
\begin{equation} \chi_V(t) = -\frac{q}{2m} \int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2(t') \,\mathrm{d}{t'} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} _V = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C - \boldsymbol\nabla \chi_V = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \end{equation}
可见速度规范下的矢势和库仑规范的相同,以下统一记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _C$.这使得广义动量(式 2 )也和库伦规范的相同,
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} _V = \boldsymbol{\mathbf{p}} _C = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} _{C} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla \end{equation}
再看标势的变换:
\begin{equation} \varphi_V = \varphi_C + \frac{\partial \chi_V}{\partial t} = - \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2 \end{equation}
式 4 式 6 带入式 1 可以消去 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _V^2$ 项得
\begin{equation} H_V = H_0 - \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \end{equation}
薛定谔方程为
\begin{equation} H_V \Psi_V = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_V \end{equation}

   对比式 2 式 4 得长度规范与速度规范中的波函数转换关系为

\begin{equation} \Psi_V = \exp\left[ \mathrm{i} q(\chi_L - \chi_V)\right] \Psi_L = \exp\left[ \mathrm{i} q \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} + \mathrm{i} \frac{q^2}{2m}\int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2(t') \,\mathrm{d}{t'} \right] \Psi_L \end{equation}

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