速度规范

贡献者： addis

预备知识　长度规范，库仑规范（量子力学）

　　¹本文使用原子单位制。和长度规范中的思路一样，我们只在使用偶极子近似时讨论速度规范（velocity gauge）。用角标 $V$ 表示速度规范，先从规范不变的哈密顿算符（式 1 ）出发

\begin{matrix} (1) & H = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{q}{2 m} (A \cdot p + p \cdot A) + \frac{q^{2}}{2 m} A^{2} + q φ + V (r), \end{matrix}

由于偶极子近似下

A

与位置无关，

p \cdot A = A \cdot p

。长度规范的思路是把上式中的

A^{2}

消去。对库仑规范使用规范变换（式 5 ）

\begin{matrix} (2) & Ψ_{C} (r, t) = \exp (i q χ_{V}) Ψ_{V} (r, t), \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & χ_{V} (t) = - \frac{q}{2 m} \int_{- \infty}^{t} A_{C}^{2} (t^{'}) d t^{'}, \end{matrix}

得

\begin{matrix} (4) & A_{V} = A_{C} - \nabla χ_{V} = A_{C} . \end{matrix}

可见速度规范下的矢势和库仑规范的相同，以下统一记为

A

。这使得广义动量（式 2 ）也和库仑规范的相同，

\begin{matrix} (5) & p_{V} = p_{C} = m v + q A = - i \nabla . \end{matrix}

再看标势的变换：

\begin{matrix} (6) & φ_{V} = φ_{C} + \frac{\partial χ_{V}}{\partial t} = - \frac{q}{2 m} A^{2}, \end{matrix}

可见于库仑规范相比，速度规范的标势

φ_{V}

与位置无关，只随时间变化。

　　式 4 和式 6 带入式 1 可以消去 $A^{2}$ 项得

\begin{matrix} (7) & H_{V} = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{q}{m} A \cdot p + V (r) . \end{matrix}

薛定谔方程为

\begin{matrix} (8) & H_{V} Ψ_{V} = i \frac{\partial}{\partial t} Ψ_{V} . \end{matrix}

　　对比式 2 和式 3 得长度规范与速度规范中的波函数转换关系为

\begin{matrix} (9) & Ψ_{V} = \exp [i q (χ_{L} - χ_{V})] Ψ_{L} = \exp [i q A \cdot r + i \frac{q^{2}}{2 m} \int_{- \infty}^{t} A^{2} d t^{'}] Ψ_{L} . \end{matrix}

　　速度规范在数值解薛定谔方程时有一定的优势，若带电粒子的波包在外电场中加速，其动量增量和 $- q A$ 增量成正比，会产生 $\exp (- i q A \cdot r)$ 相位因子，而式 9 恰好可以将其抵消，使波包的空间频率减小，便于用较少的空间格点表示波函数。

1. ^ 本文参考 [1]。

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed

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