贡献者： addis
1本文使用原子单位制。和长度规范中的思路一样，我们只在使用偶极子近似时讨论速度规范（velocity gauge）。用角标 $V$ 表示速度规范，先从规范不变的哈密顿算符（式 1 ）出发
\begin{equation}
H = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} )
+ \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q \varphi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
由于偶极子近似下 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与位置无关，$ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} $。长度规范的思路是把上式中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2$ 消去。对库仑规范使用规范变换（
式 5 ）
\begin{equation}
\Psi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi_V\right) \Psi_V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\chi_V(t) = -\frac{q}{2m} \int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2(t') \,\mathrm{d}{t'} ~,
\end{equation}
得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _V = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C - \boldsymbol\nabla \chi_V = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C~.
\end{equation}
可见
速度规范下的矢势和库仑规范的相同，以下统一记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $。这使得广义动量（
式 2 ）也和库仑规范的相同，
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} _V = \boldsymbol{\mathbf{p}} _C = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla ~.
\end{equation}
再看标势的变换：
\begin{equation}
\varphi_V = \varphi_C + \frac{\partial \chi_V}{\partial t} = - \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2~,
\end{equation}
可见于库仑规范相比，速度规范的标势 $\varphi_V$ 与位置无关，只随时间变化。
式 4 和式 6 带入式 1 可以消去 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2$ 项得
\begin{equation}
H_V = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
薛定谔方程为
\begin{equation}
H_V \Psi_V = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_V~.
\end{equation}
对比式 2 和式 3 得长度规范与速度规范中的波函数转换关系为
\begin{equation}
\Psi_V = \exp\left[ \mathrm{i} q(\chi_L - \chi_V)\right] \Psi_L = \exp\left[ \mathrm{i} q \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} + \mathrm{i} \frac{q^2}{2m}\int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 \,\mathrm{d}{t'} \right] \Psi_L~.
\end{equation}
速度规范在数值解薛定谔方程时有一定的优势，若带电粒子的波包在外电场中加速，其动量增量和 $-q \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 增量成正比，会产生 $ \exp\left(- \mathrm{i} q \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) $ 相位因子，而式 9 恰好可以将其抵消，使波包的空间频率减小，便于用较少的空间格点表示波函数。
1. ^ 本文参考 [1]。
[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。