贡献者： addis
本文使用原子单位制。和长度规范中的思路一样，我们只在使用偶极子近似时讨论速度规范（velocity gauge）。用角标 $V$ 表示速度规范，先从规范不变的哈密顿算符（式 3 ）出发
\begin{equation}
H_V = H_0 - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} _V \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} _V)
+ \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _V^2 + q \varphi_V~,
\end{equation}
长度规范的思路是把上式中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _V^2$ 消去。对库仑规范使用规范变换（
式 5 ）
\begin{equation}
\Psi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi_V\right) \Psi_V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\chi_V(t) = -\frac{q}{2m} \int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2(t') \,\mathrm{d}{t'} ~,
\end{equation}
得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _V = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C - \boldsymbol\nabla \chi_V = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C~.
\end{equation}
可见
速度规范下的矢势和库仑规范的相同，以下统一记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _C$。这使得广义动量（
式 2 ）也和库仑规范的相同，
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} _V = \boldsymbol{\mathbf{p}} _C = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} _{C} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla ~.
\end{equation}
再看标势的变换：
\begin{equation}
\varphi_V = \varphi_C + \frac{\partial \chi_V}{\partial t} = - \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2~,
\end{equation}
和
式 6 带入
式 1 可以消去 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _V^2$ 项得
\begin{equation}
H_V = H_0 - \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} ~.
\end{equation}
薛定谔方程为
\begin{equation}
H_V \Psi_V = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_V~.
\end{equation}
对比式 2 和式 4 得长度规范与速度规范中的波函数转换关系为
\begin{equation}
\Psi_V = \exp\left[ \mathrm{i} q(\chi_L - \chi_V)\right] \Psi_L = \exp\left[ \mathrm{i} q \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} + \mathrm{i} \frac{q^2}{2m}\int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2(t') \,\mathrm{d}{t'} \right] \Psi_L~.
\end{equation}
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