哈密顿正则方程

             

预备知识 拉格朗日方程,勒让德变换

1. 哈密顿量

   拉格朗日力学中使用 $N$ 个广义坐标 $q_1,\dots,q_N$ 和 $N$ 个广义速度 $\dot q_1,\dots,\dot q_N$ 来描述力学系统的状态,我们分别简记为 $q$ 和 $\dot q$.而在哈密顿力学中,系统的状态由广义坐标和对应的 $N$ 广义动量(generalized momentum) $p_1, \dots, p_N$,来描述,简记为 $p$.我们定义广义动量为(式 13

\begin{equation} p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \end{equation}
$p$ 也可以叫做正则动量(canonical momentum)或者共轭动量(conjugate momentum)

   定义系统的哈密顿量(Hamiltonian)

\begin{equation} H(q,p,t) = \sum_i \dot q_i p_i - L \end{equation}
其中 $L$ 为拉格朗日量(式 1 ).我们在能量积分(式 10 )中见到过,但在哈密顿力学中,我们必须要把等式右边的所有 $\dot q$ 用 $p$ 来表示,使哈密顿量是 $(q,p,t)$ 的函数.

   从拉格朗日函数 $L$ 变为哈密顿量 $H$ 的这种变换,叫做勒让德变换(Legendre transformation)

2. 哈密顿量与能量

   当拉格朗日量 $L$ 等于系统动能减势能时,哈密顿量等于系统能量.所以当我们在构建一个系统的拉格朗日量时,往往不需要做勒让德变换,而是直接用广义坐标和广义动量写出系统能量.另外,

证明

   将系统看做质点系,由于 $L = T - V$ 且 $V$ 与 $\dot q$ 无关,有

\begin{equation} p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial}{\partial{\dot q_i}} \sum_j \frac12 m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j^2 = \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \frac{\partial \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j}{\partial \dot q_i} = \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \end{equation}
其中最后一步利用了式 4 .所以
\begin{equation} \sum_i \dot q_i p_i = \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \sum_i \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \frac{\mathrm{d}{q_i}}{\mathrm{d}{t}} = \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j^2 = 2T \end{equation}
其中第二步用到了 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j(q_1,\dots,q_N)$ 的全微分,注意该函数不能显含 $t$.上式代回式 2 ,有 $H = 2T - (T - V) = T + V$ 即系统总能量.证毕.

3. 哈密顿方程

   哈密顿方程(Hamilton's equations)也叫哈密顿正则方程(Hamilton's canonical equations)是一组关于广义坐标和广义动量的微分方程组,共有 $2N$ 条方程:

\begin{equation} \dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \qquad \dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} \qquad (i = 1\dots N) \end{equation}
与拉格朗日方程相比,虽然方程的个数多了一倍,但是方程却由二阶变为了一阶.可见在方程中,$q$ 和 $p$ 是对称的,具有同样的地位.

例 1 直角坐标系中的质点运动

   直角坐标系中一个质点的拉格朗日量为 $L = m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2)/2 - V$,易得共轭动量就是通常定义的动量(用 $x_1,x_2,x_3$ 表示 $x, y, z$)

\begin{equation} p_{x_i} = \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} = m\dot x_i \qquad \text{(i = 1,2,3)} \end{equation}
哈密顿量等于总能量(注意要写成 $x_i$ 和 $p_{x_i}$ 的函数,不能含有 $\dot x_i$)为
\begin{equation} H = \sum_i \frac{p_{x_i}^2}{2m} + V \end{equation}
代入哈密顿方程得
\begin{equation} \dot x_i = \frac{p_{x_i}}{m} \qquad \dot p_{x_i} = - \frac{\partial V}{\partial x_i} \qquad (i = 1,2,3) \end{equation}
显然上式的第一条是(普通)动量与速度的关系,第二条则是牛顿第二定律.

例 2 中心力场问题

   在式 2 的基础上,广义坐标 $p_r = r, \theta$ 的广义动量分别为 $m\dot r$ 和 $L = mr^2\dot \theta$.可以写出质点的哈密顿量(即能量)为

\begin{equation} H = T + V = \frac12 m(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2) + V(r) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) \end{equation}
代入哈密顿方程得
\begin{equation} m\ddot r = mr \dot \theta^2 - \frac{\partial V}{\partial r} \end{equation}
以及角动量守恒 $\dot L = 0$.

4. 哈密顿正则方程的推导

   对式 2 全微分,有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{H} = \sum_i \dot q_i \,\mathrm{d}{p_i} + \sum_i p_i \,\mathrm{d}{\dot q_i} - \,\mathrm{d}{L} \end{equation}
对拉格朗日量全微分,有
\begin{equation} \,\mathrm{d}{L} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \,\mathrm{d}{\dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
将拉格朗日方程(式 1 )的右边和广义动量的定义(式 13 )代入该式,得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{L} = \sum_i \dot p_i \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i p_i \,\mathrm{d}{\dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
代入式 11 ,得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{H} = - \sum_i \dot p_i \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \dot q_i \,\mathrm{d}{p_i} - \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
由于 $H$ 是 $p_i, q_i, t$ 的函数,其全微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{H} = \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i} \,\mathrm{d}{p_i} + \frac{\partial H}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
最后,对比以上两式可得哈密顿正则方程(式 5 ),以及
\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} \end{equation}

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