哈密顿正则方程

贡献者： addis

预备知识　拉格朗日方程（额外广义力），勒让德变换

1. 哈密顿量

　　拉格朗日力学中使用 $N$ 个广义坐标 $q_{1}, \dots, q_{N}$ 和 $N$ 个广义速度 ${\dot{q}}_{1}, \dots, {\dot{q}}_{N}$ 来描述力学系统的状态，我们分别简记为 $q$ 和 $\dot{q}$ 。而在哈密顿力学中，系统的状态由广义坐标和对应的 $N$ 广义动量（generalized momentum） $p_{1}, \dots, p_{N}$ ，来描述，简记为 $p$ 。我们定义广义动量为（式 15 ）

\begin{matrix} (1) & p_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} (i = 1, \dots, N), \end{matrix}

p

也可以叫做正则动量（canonical momentum）或者共轭动量（conjugate momentum）。

　　定义系统的哈密顿量（Hamiltonian）为

\begin{matrix} (2) & H (q, p, t) = \sum_{i} {\dot{q}}_{i} p_{i} - L, \end{matrix}

其中

L

为拉格朗日量（式 1 ）。我们在能量积分（式 10 ）中见到过，但在哈密顿力学中，我们必须要把等式右边的每个

{\dot{q}}_{i}

表示为

(q, p, t)

的函数。这可以通过解方程组式 1 求得。

　　从拉格朗日函数 $L$ 变为哈密顿量 $H$ 的这种变换，叫做勒让德变换（Legendre transformation）。

2. 哈密顿量与能量

　　当拉格朗日量 $L$ 等于系统动能减势能时，哈密顿量等于系统能量。所以当我们在构建一个系统的拉格朗日量时，往往不需要做勒让德变换，而是直接用广义坐标和广义动量写出系统能量。另外，

证明

　　将系统看做质点系，由于 $L = T - V$ 且 $V$ 与 $\dot{q}$ 无关，有

\begin{matrix} (3) & p_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{i}} \sum_{j} \frac{1}{2} m_{j} {\dot{r}}_{j}^{2} = \sum_{j} m_{j} {\dot{r}}_{j} \frac{\partial {\dot{r}}_{j}}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \sum_{j} m_{j} {\dot{r}}_{j} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}}, \end{matrix}

其中最后一步利用了式 5 。所以

\begin{matrix} (4) & \sum_{i} {\dot{q}}_{i} p_{i} = \sum_{j} m_{j} {\dot{r}}_{j} \sum_{i} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t} = \sum_{j} m_{j} {\dot{r}}_{j}^{2} = 2 T, \end{matrix}

其中第二步用到了

r_{j} (q_{1}, \dots, q_{N})

的全微分，注意该函数不能显含

t

。上式代回式 2 ，有

H = 2 T - (T - V) = T + V

即系统总能量。证毕。

3. 哈密顿方程

　　 哈密顿方程（Hamilton's equations）也叫哈密顿正则方程（Hamilton's canonical equations）是一组关于广义坐标和广义动量的微分方程组，共有 $2 N$ 条方程：

\begin{matrix} (5) & {\dot{q}}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}, {\dot{p}}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} (i = 1 \dots N) \end{matrix}

推导见下文。与拉格朗日方程相比，虽然方程的个数多了一倍，但是方程却由二阶变为了一阶。可见在方程中，

q

和

p

是对称的，具有同样的地位。

例 1　直角坐标系中的质点运动

　　直角坐标系中一个质点的拉格朗日量为 $L = m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) / 2 - V$ ，易得共轭动量就是通常定义的动量（用 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 表示 $x, y, z$ ）

\begin{matrix} (6) & p_{x_{i}} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_{i}} = m {\dot{x}}_{i} (i = 1,2,3) . \end{matrix}

哈密顿量等于总能量（注意要写成

x_{i}

和

p_{x_{i}}

的函数，不能含有

{\dot{x}}_{i}

）为

\begin{matrix} (7) & H = \sum_{i} \frac{p_{x_{i}}^{2}}{2 m} + V, \end{matrix}

代入哈密顿方程得

\begin{matrix} (8) & {\dot{x}}_{i} = \frac{p_{x_{i}}}{m}, {\dot{p}}_{x_{i}} = - \frac{\partial V}{\partial x_{i}} (i = 1, 2, 3) \end{matrix}

显然上式的第一条是（普通）动量与速度的关系，第二条则是牛顿第二定律。

例 2　中心力场问题

　　在式 2 的基础上，广义坐标 $r, θ$ 的广义动量分别为 $p_{r} = m \dot{r}$ 和 $L = m r^{2} \dot{θ}$ 。可以写出质点的哈密顿量（即能量）为

\begin{matrix} (9) & H = T + V = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) + V (r) = \frac{p_{r}^{2}}{2 m} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + V (r), \end{matrix}

代入哈密顿方程得

\begin{matrix} (10) & m \ddot{r} = m r {\dot{θ}}^{2} - \frac{\partial V}{\partial r}, \end{matrix}

以及角动量守恒

\dot{L} = 0

。

额外的广义力

　　在 “拉格朗日方程（额外广义力）” 中，我们讨论了若存在额外广义力 $Q_{i}^{(e)}$ 该如何拓展哈密顿方程。那么同样地，哈密顿正则方程式 5 也可以拓展为

\begin{matrix} (11) & {\dot{q}}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}, {\dot{p}}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}} + Q_{i}^{(e)} (i = 1 \dots N), \end{matrix}

该式和牛顿三定律是等效的。

4. 哈密顿正则方程的推导

　　现在推导式 11 。对式 2 全微分，有

\begin{matrix} (12) & d H = \sum_{i} {\dot{q}}_{i} d p_{i} + \sum_{i} p_{i} d {\dot{q}}_{i} - d L, \end{matrix}

其中对拉格朗日量全微分为

\begin{matrix} (13) & d L = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i} + \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} d {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial L}{\partial t} d t . \end{matrix}

将含广义力的拉格朗日方程（式 3 ）的右边和广义动量的定义（式 15 ）代入该式，得

\begin{matrix} (14) & d L = \sum_{i} ({\dot{p}}_{i} - Q_{i}^{(e)}) d q_{i} + \sum_{i} p_{i} d {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial L}{\partial t} d t, \end{matrix}

代入式 12 ，得

\begin{matrix} (15) & d H = - \sum_{i} ({\dot{p}}_{i} - Q_{i}^{(e)}) d q_{i} + \sum_{i} {\dot{q}}_{i} d p_{i} - \frac{\partial L}{\partial t} d t . \end{matrix}

由于

H

是

p_{i}, q_{i}, t

的函数，其全微分为

\begin{matrix} (16) & d H = \sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i} + \sum_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i} + \frac{\partial H}{\partial t} d t, \end{matrix}

最后，对比以上两式可得哈密顿正则方程的拓展形式（式 11 ），以及

\begin{matrix} (17) & \frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} . \end{matrix}

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