贡献者： addis
1. 哈密顿量
拉格朗日力学中使用 $N$ 个广义坐标 $q_1,\dots,q_N$ 和 $N$ 个广义速度 $\dot q_1,\dots,\dot q_N$ 来描述力学系统的状态，我们分别简记为 $q$ 和 $\dot q$。而在哈密顿力学中，系统的状态由广义坐标和对应的 $N$ 广义动量（generalized momentum） $p_1, \dots, p_N$，来描述，简记为 $p$。我们定义广义动量为（式 15 ）
\begin{equation}
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \qquad (i = 1,\dots,N)~,
\end{equation}
$p$ 也可以叫做
正则动量（canonical momentum）或者
共轭动量（conjugate momentum）。
定义系统的哈密顿量（Hamiltonian）为
\begin{equation}
H(q,p,t) = \sum_i \dot q_i p_i - L~,
\end{equation}
其中 $L$ 为拉格朗日量（
式 1 ）。我们在能量积分（
式 10 ）中见到过，但在哈密顿力学中，我们必须要把等式右边的每个 $\dot q_i$ 表示为 $(q,p,t)$ 的函数。这可以通过解方程组
式 1 求得。
从拉格朗日函数 $L$ 变为哈密顿量 $H$ 的这种变换，叫做勒让德变换（Legendre transformation）。
2. 哈密顿量与能量
当拉格朗日量 $L$ 等于系统动能减势能时，哈密顿量等于系统能量。所以当我们在构建一个系统的拉格朗日量时，往往不需要做勒让德变换，而是直接用广义坐标和广义动量写出系统能量。另外，
证明
将系统看做质点系，由于 $L = T - V$ 且 $V$ 与 $\dot q$ 无关，有
\begin{equation}
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial}{\partial{\dot q_i}} \sum_j \frac12 m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j^2
= \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \frac{\partial \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j}{\partial \dot q_i}
= \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} ~,
\end{equation}
其中最后一步利用了
式 5 。所以
\begin{equation}
\sum_i \dot q_i p_i = \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \sum_i \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \frac{\mathrm{d}{q_i}}{\mathrm{d}{t}}
= \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j^2 = 2T~,
\end{equation}
其中第二步用到了 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j(q_1,\dots,q_N)$ 的
全微分，注意该函数不能
显含 $t$。上式代回
式 2 ，有 $H = 2T - (T - V) = T + V$ 即系统总能量。证毕。
3. 哈密顿方程
哈密顿方程（Hamilton's equations）也叫哈密顿正则方程（Hamilton's canonical equations）是一组关于广义坐标和广义动量的微分方程组，共有 $2N$ 条方程：
\begin{equation}
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} ~,
\qquad
\dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i}
\qquad
(i = 1\dots N)
\end{equation}
推导见下文。与拉格朗日方程相比，虽然方程的个数多了一倍，但是方程却由二阶变为了一阶。可见在方程中，$q$ 和 $p$ 是对称的，具有同样的地位。
例 1 直角坐标系中的质点运动
直角坐标系中一个质点的拉格朗日量为 $L = m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2)/2 - V$，易得共轭动量就是通常定义的动量（用 $x_1,x_2,x_3$ 表示 $x, y, z$）
\begin{equation}
p_{x_i} = \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} = m\dot x_i \qquad \text{(i = 1,2,3)}~.
\end{equation}
哈密顿量等于总能量（注意要写成 $x_i$ 和 $p_{x_i}$ 的函数，不能含有 $\dot x_i$）为
\begin{equation}
H = \sum_i \frac{p_{x_i}^2}{2m} + V~,
\end{equation}
代入哈密顿方程得
\begin{equation}
\dot x_i = \frac{p_{x_i}}{m}~,
\qquad
\dot p_{x_i} = - \frac{\partial V}{\partial x_i}
\qquad (i = 1,2,3)
\end{equation}
显然上式的第一条是（普通）动量与速度的关系，第二条则是牛顿第二定律。
例 2 中心力场问题
在式 2 的基础上，广义坐标 $r, \theta$ 的广义动量分别为 $p_r = m\dot r$ 和 $L = mr^2\dot \theta$。可以写出质点的哈密顿量（即能量）为
\begin{equation}
H = T + V = \frac12 m(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2) + V(r) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)~,
\end{equation}
代入哈密顿方程得
\begin{equation}
m\ddot r = mr \dot \theta^2 - \frac{\partial V}{\partial r} ~,
\end{equation}
以及角动量守恒 $\dot L = 0$。
额外的广义力
在 “拉格朗日方程（额外广义力）” 中，我们讨论了若存在额外广义力 $Q_i^{(e)}$ 该如何拓展哈密顿方程。那么同样地，哈密顿正则方程式 5 也可以拓展为
\begin{equation}
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} ~,
\qquad
\dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} + Q_i^{(e)}
\qquad
(i = 1\dots N)~,
\end{equation}
该式和牛顿三定律是等效的。
4. 哈密顿正则方程的推导
现在推导式 11 。对式 2 全微分，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{H} = \sum_i \dot q_i \,\mathrm{d}{p_i} + \sum_i p_i \,\mathrm{d}{\dot q_i} - \,\mathrm{d}{L} ~,
\end{equation}
其中对拉格朗日量全微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{L} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \,\mathrm{d}{\dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
将含广义力的拉格朗日方程（
式 3 ）的右边和广义动量的定义（
式 15 ）代入该式，得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{L} = \sum_i (\dot p_i - Q_i^{(e)}) \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i p_i \,\mathrm{d}{\dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
代入
式 12 ，得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{H} = - \sum_i (\dot p_i - Q_i^{(e)}) \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \dot q_i \,\mathrm{d}{p_i} - \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
由于 $H$ 是 $p_i, q_i, t$ 的函数，其全微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{H} = \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i} \,\mathrm{d}{p_i} + \frac{\partial H}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
最后，对比以上两式可得哈密顿正则方程的拓展形式（
式 11 ），以及
\begin{equation}
\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} ~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。