长度规范

                     

贡献者: addis

预备知识 偶极子近似(量子力学),库仑规范(量子力学)

  1本文使用原子单位制。我们只在使用偶极子近似下讨论长度规范(length gauge),因为我们接下来需要矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} (t)$ 与位置无关。当空间中存在静止的电荷分布时,我们可以把标量势能分为 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \varphi(t)$ 两部分。前者由静止电荷根据库仑定律计算,不参与规范变换,在这里我们甚至可以不把它看成电磁力而只是某种其他势能。 注意以下 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是所选规范下的广义动量算符(式 2

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} (t) = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla ~. \end{equation}

   令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _C, \varphi_C, \Psi_C$ 代表库仑规范,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} _L, \varphi_L, \Psi_L$ 代表长度规范。将后者代入与规范无关的哈密顿量(式 3 )得

\begin{equation} H_L = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} _L \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} _L) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _L^2 + q \varphi_L + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~. \end{equation}

   长度规范的思路是:如果使 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _L \equiv 0$,就可以简化该式。我们令规范变换(式 5 式 9 )中

\begin{equation} \Psi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi_L\right) \Psi_L( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~, \end{equation}
\begin{equation} \chi_L( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C(t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ~. \end{equation}
再利用 $- \partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _C/\partial t = \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t)$(式 4 ,$ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} $ 是除原子核库仑电场以外的含时电场),有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} _L = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C - \boldsymbol\nabla \chi_L = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}
长度规范下矢势为零。此时广义动量(式 2 )变为普通动量
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla ~. \end{equation}
再看标势的变换,使用 $\varphi_C = 0$(式 3 ):
\begin{equation} \varphi_L(t) = \varphi_C + \frac{\partial \chi_L}{\partial t} = - \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ~. \end{equation}
由于形式不变,把式 5 式 7 代入式 2 得长度规范下的哈密顿算符为
\begin{equation} H_L = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - q \boldsymbol{\mathbf{\mathcal{E}}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ~. \end{equation}
长度规范下的薛定谔方程为
\begin{equation} H_L \Psi_L = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_L~. \end{equation}


1. ^ 本文参考 [47]


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