长度规范

贡献者： addis

预备知识　偶极子近似（量子力学），库仑规范（量子力学）

　　¹本文使用原子单位制。我们只在使用偶极子近似下讨论长度规范（length gauge），因为我们接下来需要矢势 $A (t)$ 与位置无关。当空间中存在静止的电荷分布时，我们可以把标量势能分为 $V (r) + φ (t)$ 两部分。前者由静止电荷根据库仑定律计算，不参与规范变换，在这里我们甚至可以不把它看成电磁力而只是某种其他势能。注意以下 $p$ 是所选规范下的广义动量算符（式 2 ）

\begin{matrix} (1) & p = m v + q A (t) = - i \nabla . \end{matrix}

　　令 $A_{C}, φ_{C}, Ψ_{C}$ 代表库仑规范， $A_{L}, φ_{L}, Ψ_{L}$ 代表长度规范。将后者代入与规范无关的哈密顿量（式 3 ）得

\begin{matrix} (2) & H_{L} = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{q}{2 m} (A_{L} \cdot p + p \cdot A_{L}) + \frac{q^{2}}{2 m} A_{L}^{2} + q φ_{L} + V (r) . \end{matrix}

　　长度规范的思路是：如果使 $A_{L} \equiv 0$ ，就可以简化该式。我们令规范变换（式 5 和式 9 ）中

\begin{matrix} (3) & Ψ_{C} (r, t) = \exp (i q χ_{L}) Ψ_{L} (r, t), \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & χ_{L} (r, t) = A_{C} (t) \cdot r . \end{matrix}

再利用

- \partial A_{C} / \partial t = E (t)

（式 4 ，

E

是除原子核库仑电场以外的含时电场），有

\begin{matrix} (5) & A_{L} = A_{C} - \nabla χ_{L} = 0 . \end{matrix}

即长度规范下矢势为零。此时广义动量（式 2 ）变为普通动量

\begin{matrix} (6) & p = m v = - i \nabla . \end{matrix}

再看标势的变换，使用

φ_{C} = 0

（式 3 ）：

\begin{matrix} (7) & φ_{L} (t) = φ_{C} + \frac{\partial χ_{L}}{\partial t} = - E (t) \cdot r . \end{matrix}

由于形式不变，把式 5 和式 7 代入式 2 得长度规范下的哈密顿算符为

\begin{matrix} (8) & H_{L} = \frac{p^{2}}{2 m} + V (r) - q E (t) \cdot r . \end{matrix}

长度规范下的薛定谔方程为

\begin{matrix} (9) & H_{L} Ψ_{L} = i \frac{\partial}{\partial t} Ψ_{L} . \end{matrix}

1. ^ 本文参考 [1]。

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed

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