贡献者： addis
预备知识 偶极子近似（量子力学）
，库仑规范（量子力学）
1本文使用原子单位制。我们只在使用偶极子近似下讨论长度规范（length gauge），因为我们接下来需要矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} (t)$ 与位置无关。当空间中存在静止的电荷分布时，我们可以把标量势能分为 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \varphi(t)$ 两部分。前者由静止电荷根据库仑定律计算，不参与规范变换，在这里我们甚至可以不把它看成电磁力而只是某种其他势能。
注意以下 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是所选规范下的广义动量算符（式 2 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} (t) = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla ~.
\end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _C, \varphi_C, \Psi_C$ 代表库仑规范，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} _L, \varphi_L, \Psi_L$ 代表长度规范。将后者代入与规范无关的哈密顿量（式 3 ）得
\begin{equation}
H_L = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} _L \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} _L) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _L^2 + q \varphi_L + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
长度规范的思路是：如果使 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _L \equiv 0$，就可以简化该式。我们令规范变换（式 5 和式 9 ）中
\begin{equation}
\Psi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi_L\right) \Psi_L( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\chi_L( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C(t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
再利用 $- \partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _C/\partial t = \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t)$（
式 4 ，$ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} $ 是除原子核库仑电场以外的含时电场），有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _L = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C - \boldsymbol\nabla \chi_L = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
即
长度规范下矢势为零。此时广义动量（
式 2 ）变为普通动量
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla ~.
\end{equation}
再看标势的变换，使用 $\varphi_C = 0$（
式 3 ）：
\begin{equation}
\varphi_L(t) = \varphi_C + \frac{\partial \chi_L}{\partial t} = - \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
由于形式不变，把
式 5 和
式 7 代入
式 2 得长度规范下的哈密顿算符为
\begin{equation}
H_L = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - q \boldsymbol{\mathbf{\mathcal{E}}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
长度规范下的薛定谔方程为
\begin{equation}
H_L \Psi_L = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_L~.
\end{equation}
1. ^ 本文参考 [1]。
[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。