拉格朗日电磁势

贡献者： addis

预备知识　电磁场标势和矢势，广义力，欧拉—拉格朗日方程（经典力学），哈密顿正则方程

　　由于（式 6 ）

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = Q_{i} . \end{matrix}

若非常规势能（或者称 “广义势”）

U (q_{1}, q_{2} . . . {\dot{q}}_{1}, {\dot{q}}_{2} . . ., t)

与广义力满足

\begin{matrix} (2) & Q_{i} = \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial U}{\partial q_{i}} . \end{matrix}

且定义拉格朗日量为

L = T - U

，则代入可得拉格朗日方程

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} . \end{matrix}

　　现在证明在任意电磁场中运动的点电荷的广义势为

\begin{matrix} (4) & U = q (Φ - A \cdot v) . \end{matrix}

其中

Φ

和

A

分别为点电荷所在位置的电磁标势和矢势，

v

为点电荷的速度。

　　另外还可以写出哈密顿量为

\begin{matrix} (5) & H = p \dot{q} - L = \frac{1}{2 m} (p - q A)^{2} + q Φ . \end{matrix}

1. 直角坐标中的证明

　　以下用直角坐标证明（令 $x_{1}, x_{2}, x_{3} = x, y, z$ ）

\begin{matrix} (6) & F_{i} = Q_{i} = \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial {\dot{x}}_{i}} - \frac{\partial U}{\partial x_{i}} . \end{matrix}

以

x

分量为例

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial \dot{x}} = - q \frac{d}{d t} A_{x} = - q [(\nabla A_{x}) \cdot v + \frac{\partial A_{x}}{\partial t}], \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & \frac{\partial U}{\partial x} = q (\frac{\partial Φ}{\partial x} - \frac{\partial A}{\partial x} \cdot v) . \end{matrix}

代入式 6 右边得

\begin{matrix} (9) & q [- \frac{\partial Φ}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial t} + v_{y} (\frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}) - v_{z} (\frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x})] . \end{matrix}

根据广义洛伦兹力及电磁势的定义

\begin{matrix} (10) & F = q (E + v \times B), E = - \nabla Φ - \frac{\partial A}{\partial t}, B = \nabla \times A . \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} F_{x} & = q (E_{x} + v_{y} B_{z} - v_{z} B_{y}) \\ = q [- \frac{\partial Φ}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial t} + v_{y} (\frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}) - v_{z} (\frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x})] . \end{aligned} \end{matrix}

对比可得式 6 在

x

方向成立，

y, z

分量的证明类似。另外容易证明多个点电荷组成的系统的非常规势等于每个点电荷的非常规势之和。

2. 广义坐标的证明

　　下面来证明对于任意广义坐标 ${q_{i}}$ ，式 4 都满足式 2 。首先令变换关系为

\begin{matrix} (12) & x_{i} = x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots, t) . \end{matrix}

其中

x_{i}

包括每个质点的

x, y, z

坐标，则

\begin{matrix} (13) & \frac{\partial U}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \sum_{j} \frac{\partial U}{\partial {\dot{x}}_{j}} \frac{\partial {\dot{x}}_{j}}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \sum_{j} \frac{\partial U}{\partial {\dot{x}}_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}, \end{matrix}

注意第二步用到了式 5 。对时间求全导数得

\begin{matrix} (14) & \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \sum_{j} \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial {\dot{x}}_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} + \sum_{j} \frac{\partial U}{\partial {\dot{x}}_{j}} \frac{d}{d t} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} . \end{matrix}

另外有

\begin{matrix} (15) & \frac{\partial U}{\partial q_{i}} = \sum_{j} \frac{\partial U}{\partial x_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} + \sum_{j} \frac{\partial U}{\partial {\dot{x}}_{j}} \frac{\partial {\dot{x}}_{j}}{\partial q_{i}}, \end{matrix}

易证式 14 和式 15 的右边第二项相等。将以上两式代入式 2 右边得（第二步利用了式 6 ）

\begin{matrix} (16) & \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial {\dot{x}}_{i}} - \frac{\partial U}{\partial x_{i}} = \sum_{j} \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial {\dot{x}}_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} - \sum_{j} \frac{\partial U}{\partial x_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} = \sum_{j} F_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}, \end{matrix}

而这恰好是

Q_{i}

的定义。证毕。

3. 哈密顿量

　　首先求广义动量

\begin{matrix} (17) & p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m v + q A, \end{matrix}

则哈密顿量为

\begin{matrix} (18) & H = p \dot{q} - L = \frac{1}{2 m} (p - q A)^{2} + q Φ . \end{matrix}

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