库仑规范（量子力学）

贡献者： addis

预备知识　电磁场中的单粒子薛定谔方程，库仑规范（电动力学）

　　¹规范不变的哈密顿量为（式 1 ）

\begin{matrix} (1) & H = \frac{1}{2 m} (p - q A)^{2} + q φ + V (r) . \end{matrix}

　　库仑规范推导起来较为简单，用角标 $C$ 表示库仑规范，则矢势满足 $\nabla \cdot A_{C} = 0$ ，标势 $φ_{C}$ 满足（式 5 ）

\begin{matrix} (2) & φ_{C} (r, t) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}, t)}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'} . \end{matrix}

但原子核的库仑势能一般包含在式 1 的

V (r)

而不是

φ

中（根据子节 3 这没问题，包含在

φ

中也没问题），空间中也无其他电荷，所以有（式 6 ，式 7 ）

\begin{matrix} (3) & φ_{C} \equiv 0 . \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & E (t) = - \frac{\partial A_{C}}{\partial t} . \end{matrix}

　　结合矢量算符法则式 3 得

\begin{matrix} (5) & \nabla \cdot (A_{C} Ψ) = (\nabla \cdot A_{C}) Ψ + A_{C} \cdot (\nabla Ψ) = A_{C} \cdot (\nabla Ψ), \end{matrix}

所以式 1 （式 3 ）简化为

\begin{matrix} (6) & H_{L} = - \frac{1}{2 m} \nabla^{2} + i \frac{q}{m} A_{C} \cdot \nabla + \frac{q^{2}}{2 m} A_{C}^{2} . \end{matrix}

1. ^ 本文参考 [1]。

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed

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