库仑规范(量子)

             

预备知识 电磁场中的单粒子薛定谔方程

   库仑规范推导起来较为简单,用角标 $C$ 表示库仑规范,则矢势满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C = 0$,标势 $\varphi_C$ 满足(式 6

\begin{equation} \varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'} \end{equation}
结合矢量算符法则式 3
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \Psi) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C) \Psi + \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla \Psi) = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla \Psi) \end{equation}
所以式 3 简化为
\begin{equation} H = -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \mathrm{i} \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2 + q\varphi_C \end{equation}

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