库仑规范(量子力学)

                     

贡献者: addis

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预备知识 电磁场中的单粒子薛定谔方程,库仑规范(电动力学)

  1规范不变的哈密顿量为(式 1

\begin{equation} H = \frac{1}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 + q\varphi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~. \end{equation}

   库仑规范推导起来较为简单,用角标 $C$ 表示库仑规范,则矢势满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C = 0$,标势 $\varphi_C$ 满足(式 5

\begin{equation} \varphi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'} ~. \end{equation}
但原子核的库仑势能一般包含在式 1 的 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 而不是 $\varphi$ 中(根据子节 3 这没问题,其实包含在 $\varphi$ 中也没问题),空间中也无其他电荷,所以有(式 6 式 7
\begin{equation} \varphi_C \equiv 0~. \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _C}{\partial t} ~. \end{equation}

   结合矢量算符法则式 3

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \Psi) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C) \Psi + \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla \Psi) = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla \Psi)~, \end{equation}
所以式 1 式 3 )简化为
\begin{equation} H_L = -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \mathrm{i} \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2~. \end{equation}


1. ^ 本文参考 [48]


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