量子力学的基本假设

贡献者： addis

1. 一维的情况

• 参考 [1]
• 粒子的状态由 Hilbert 空间中的波函数 $ \left\lvert \psi(t) \right\rangle $ 表示。
• 要得到一个物理量 $\omega(x, p)$ 对应的算符，就把 $x$ 和 $p$ 换成对应的算符 $ \hat{x} $ 和 $ \hat{p} $。这两个算符的定义为
  \begin{equation} \left\langle x \right\rvert \hat{x} \left\lvert x' \right\rangle = x\delta(x-x')~, \end{equation}
  \begin{equation} \left\langle x \right\rvert \hat{p} \left\lvert x' \right\rangle = - \mathrm{i} \hbar \delta'(x-x')~. \end{equation}
• 找到哈密顿量对应的哈密顿算符，波函数的演化由薛定谔方程决定
  \begin{equation} \hat{H} \left\lvert \psi(t) \right\rangle = \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left\lvert \psi(t) \right\rangle ~. \end{equation}
• 如果要测量一个物理量 $ \hat{\Omega} (x, p)$，那么先求出所有的归一化本征函数 $ \left\lvert \omega_i \right\rangle $ 和对应的本征值 $\omega_i$，测量到 $\omega_i$ 的概率为 $ \left\lvert \left\langle \omega \middle| \psi \right\rangle \right\rvert ^2$。测量完之后波函数由 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 变为 $ \left\lvert \omega_i \right\rangle $。

　　 注意这里的 $x$ 和 $p$ 分别是哈密顿方程中的广义坐标和广义动量，而不必是位置和动量。

　　 希尔伯特空间既包括可以正常归一化的波函数，也包括能用狄拉克 $\delta$ 函数归一化的波函数。

　　 如果经典哈密顿量中出现了 $xp$ 项，那么算符要写成 $( \hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x} )/2$ 以保证物理量的算符是 Hermitian 矩阵。如果出现了 $x$ 和 $p$ 的更高次项，就只能靠实验判断。

　　 本文参考 [1]。

[1] ^ R. Shankar. Principles of Quantum Mechanics 2ed