量子力学的基本假设

贡献者： addis

1. 一维的情况

• 参考 [1]
• 粒子的状态由 Hilbert 空间中的波函数 $|\psi (t)⟩$ 表示。
• 要得到一个物理量 $\omega (x,p)$ 对应的算符，就把 $x$ 和 $p$ 换成对应的算符 $\hat{x}$ 和 $\hat{p}$。这两个算符的定义为
  $$\begin{array}{}\text{(1)}& ⟨x|\hat{x}|x^{\prime }⟩=x\delta (x-x^{\prime }),\end{array}$$
  $$\begin{array}{}\text{(2)}& ⟨x|\hat{p}|x^{\prime }⟩=-\mathrm{i}\hslash {\delta }^{\prime }(x-x^{\prime }).\end{array}$$
• 找到哈密顿量对应的哈密顿算符，波函数的演化由薛定谔方程决定
  $$\begin{array}{}\text{(3)}& \hat{H}|\psi (t)⟩=\mathrm{i}\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi (t)⟩.\end{array}$$
• 如果要测量一个物理量 $\hat{\mathrm{\Omega }}(x,p)$，那么先求出所有的归一化本征函数 $|{\omega }_i⟩$ 和对应的本征值 ${\omega }_i$，测量到 ${\omega }_i$ 的概率为 ${\left|⟨\omega |\psi ⟩\right|}^2$。测量完之后波函数由 $|\psi ⟩$ 变为 $|{\omega }_i⟩$。

　　 注意这里的 $x$ 和 $p$ 分别是哈密顿方程中的广义坐标和广义动量，而不必是位置和动量。

　　 希尔伯特空间既包括可以正常归一化的波函数，也包括能用狄拉克 $\delta$ 函数归一化的波函数。

　　 如果经典哈密顿量中出现了 $xp$ 项，那么算符要写成 $(\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x})/2$ 以保证物理量的算符是 Hermitian 矩阵。如果出现了 $x$ 和 $p$ 的更高次项，就只能靠实验判断。

　　 本文参考 [1]。

[1] ^ R. Shankar. Principles of Quantum Mechanics 2ed