平面曲线的曲率和曲率半径(极简微积分)
贡献者: addis; ACertainUser
1我们来看一个平面上的一个光滑曲线(即处处存在切线),我们如何描述它某点处的弯曲程度呢?一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段,然后做一个尽量与它吻合的圆,当这小段的长度趋近于 0 时,这个圆可以唯一确定。我们把这个圆叫做密切圆(osculating circle),把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径(radius of curvature) 常记为 ,曲率半径的倒数 叫做曲率(curvature)。下面我们来具体定义曲率半径。
图 1:密切圆和曲率半径
我们先来看一个半径为 的圆的一小段圆弧,令其长度为 。作这段圆弧两端的切线,令它们的夹角为 ,那么显然满足 。
同理,对于图 1 中光滑曲线上一点,取该点附近长度为 的一段,在其两端分别作切线,令夹角为 并分别作切线的垂直线,那么当 时两个切线在切点处的垂直线的交点就是密切圆的圆心。此时密切圆的半径,即曲率半径 就是
曲率的具体的计算公式取决于使用什么方式定义曲线,最常见描述方式就是在直角坐标系中通过函数 来定义曲线。此时点 处的曲率半径为( 分别表示导数和二阶导数)
如果通过
极坐标函数 定义曲线,则点 处的曲率半径为
推导见下文。
1. 直角坐标系的推导
未完成:需要画图
平面上曲线的最常见描述方式就是通过定义函数 。我们可以通过
导数计算曲线上某点切线关于 轴的夹角 。
曲线很短时
其中
为了得到 ,我们对
式 4 两边做微分,近似有
其中 就是 对应的一小段曲线两端切线的夹角。所以由
式 1 ,曲率半径为(在取极限后精确成立)
2. 极坐标系的推导
极坐标系中,同样可以用函数 描述曲线。为了方便,也可以姑且把上面的 都写成 并取等号。令
未完成:需要画图
即
长度微分为
微分
即
注意切线方向的微分是 。所以
把
式 1 和
式 13 代入,再使用
式 10 消去 得
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
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