平面曲线的曲率和曲率半径（简明微积分）

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识 1　切线，极坐标系

　　¹我们来看一个平面上的一个光滑曲线（即处处存在切线），我们如何描述它某点处的弯曲程度呢？一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段，然后做一个尽量与它吻合的圆，当这小段的长度趋近于 0 时，这个圆可以唯一确定。我们把这个圆叫做密切圆（osculating circle），把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径（radius of curvature） 常记为 $\rho$，曲率半径的倒数 $1/\rho$ 叫做曲率（curvature）。下面我们来具体定义曲率半径。

图 1：密切圆和曲率半径

　　我们先来看一个半径为 $R$ 的圆的一小段圆弧，令其长度为 $\Delta l$。作这段圆弧两端的切线，令它们的夹角为 $\Delta \theta$，那么显然满足 $R \Delta\theta = \Delta l$。同理对于图 1 中光滑曲线上一点，取该点附近长度为 $\Delta l$ 的一段，在其两端分别作切线，令夹角为 $\Delta\theta$ 并分别作切线的垂直线，那么当 $\Delta l \to 0$ 时两个垂直线的交点就是密切圆的圆心。此时密切圆的半径，即曲率半径 $\rho$ 就是

\begin{equation} \rho = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta \theta}~. \end{equation}

曲率的具体的计算公式取决于使用什么方式定义曲线，最常见描述方式就是在直角坐标系中通过函数 $y(x)$ 来定义，点 $(x, y)$ 处的曲率半径为（$\dot y, \ddot y$ 分别表示导数和二阶导数）

\begin{equation} \rho = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y}~. \end{equation}

如果通过极坐标函数 $r(\theta)$ 定义曲线，则点 $(r, \theta)$ 处的曲率半径为

\begin{equation} \rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~. \end{equation}

推导见下文。

1. 直角坐标系的推导

预备知识 2　高阶导数，一元函数的微分

　　平面上曲线的最常见描述方式就是通过定义函数 $y(x)$。我们可以通过导数计算曲线上某点切线关于 $x$ 轴的夹角 $\theta$。

\begin{equation} \dot y = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} = \tan \theta~. \end{equation}

曲线长度的微分为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{l} = \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\cos\theta}~. \end{equation}

其中

\begin{equation} \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \dot y^2}}~. \end{equation}

为了得到 $ \,\mathrm{d}{\theta} $，我们对式 4 两边做微分得

\begin{equation} \ddot y \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\cos^2\theta} \,\mathrm{d}{\theta} ~, \end{equation}

其中 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 就是 $ \,\mathrm{d}{x} $ 对应的一小段曲线两端切线的夹角。所以曲率半径为

\begin{equation} \rho = \frac{\mathrm{d}{l}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{1}{\ddot y\cos^3\theta} = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y}~. \end{equation}

2. 极坐标系的推导

　　极坐标系中，同样可以用函数 $r(\theta)$ 描述曲线。令

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{r} }{r \,\mathrm{d}{\theta} } = \tan\alpha~. \end{equation}

即

\begin{equation} \dot r = r\tan\alpha~. \end{equation}

长度微分为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{l} = \frac{r \,\mathrm{d}{\theta} }{\cos\alpha}~. \end{equation}

微分

\begin{equation} \ddot r \,\mathrm{d}{\theta} = \dot r\tan\alpha \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{r}{\cos^2\alpha} \,\mathrm{d}{\alpha} ~. \end{equation}

即

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\alpha}}{\mathrm{d}{\theta}} = (\ddot r - \dot r \tan\alpha) \frac{\cos^2\alpha}{r} = \frac{\ddot r - \dot r\tan\alpha}{r(t + \tan^2\alpha)}~. \end{equation}

注意切线方向的微分是 $ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} $。所以

\begin{equation} \rho = \frac{ \,\mathrm{d}{l} }{ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} } = \frac{ \,\mathrm{d}{l} / \,\mathrm{d}{\theta} }{1 - \,\mathrm{d}{\alpha} / \,\mathrm{d}{\theta} }~. \end{equation}

把式 1 和式 13 代入，再使用式 10 消去 $\alpha$ 得

\begin{equation} \rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~. \end{equation}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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