平面曲线的曲率和曲率半径(极简微积分)

                     

贡献者: addis; ACertainUser

预备知识 1 切线,极坐标系

  1我们来看一个平面上的一个光滑曲线(即处处存在切线),我们如何描述它某点处的弯曲程度呢?一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段,然后做一个尽量与它吻合的圆,当这小段的长度趋近于 0 时,这个圆可以唯一确定。我们把这个圆叫做密切圆(osculating circle),把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径(radius of curvature) 常记为 $\rho$,曲率半径的倒数 $1/\rho$ 叫做曲率(curvature)。下面我们来具体定义曲率半径。

图
图 1:密切圆和曲率半径

   我们先来看一个半径为 $R$ 的圆的一小段圆弧,令其长度为 $\Delta l$。作这段圆弧两端的切线,令它们的夹角为 $\Delta \theta$,那么显然满足 $R \Delta\theta = \Delta l$。

   同理,对于图 1 中光滑曲线上一点,取该点附近长度为 $\Delta l$ 的一段,在其两端分别作切线,令夹角为 $\Delta\theta$ 并分别作切线的垂直线,那么当 $\Delta l \to 0$ 时两个切线在切点处的垂直线的交点就是密切圆的圆心。此时密切圆的半径,即曲率半径 $\rho$ 就是

\begin{equation} \rho = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta \theta}~. \end{equation}
曲率的具体的计算公式取决于使用什么方式定义曲线,最常见描述方式就是在直角坐标系中通过函数 $y(x)$ 来定义曲线。此时点 $(x, y)$ 处的曲率半径为($\dot y, \ddot y$ 分别表示导数和二阶导数)
\begin{equation} \rho = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y}~. \end{equation}
如果通过极坐标函数 $r(\theta)$ 定义曲线,则点 $(r, \theta)$ 处的曲率半径为
\begin{equation} \rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~. \end{equation}
推导见下文。

1. 直角坐标系的推导

预备知识 2 高阶导数,一元函数的微分

  

未完成:需要画图
平面上曲线的最常见描述方式就是通过定义函数 $y(x)$。我们可以通过导数计算曲线上某点切线关于 $x$ 轴的夹角 $\theta$。
\begin{equation} \dot y \approx \frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan \theta~. \end{equation}
曲线很短时
\begin{equation} \Delta{l} \approx \frac{\Delta{x}}{\cos\theta}~. \end{equation}
其中
\begin{equation} \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \dot y^2}}~. \end{equation}
为了得到 $\Delta{\theta}$,我们对式 4 两边做微分,近似有
\begin{equation} \ddot y \Delta{x} \approx \frac{\Delta{\theta}}{\cos^2\theta}~, \end{equation}
其中 $\Delta{\theta}$ 就是 $\Delta{x}$ 对应的一小段曲线两端切线的夹角。所以由式 1 ,曲率半径为(在取极限后精确成立)
\begin{equation} \rho = \lim_{\Delta l\to 0}\frac{\Delta l}{\Delta \theta} = \frac{1}{\ddot y\cos^3\theta} = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y}~. \end{equation}

2. 极坐标系的推导

   极坐标系中,同样可以用函数 $r(\theta)$ 描述曲线。为了方便,也可以姑且把上面的 $\Delta$ 都写成 $ \,\mathrm{d}{} $ 并取等号。令

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{r} }{r \,\mathrm{d}{\theta} } = \tan\alpha~, \end{equation}
未完成:需要画图
\begin{equation} \dot r = r\tan\alpha~. \end{equation}
长度微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{l} = \frac{r \,\mathrm{d}{\theta} }{\cos\alpha}~. \end{equation}
微分
\begin{equation} \ddot r \,\mathrm{d}{\theta} = \dot r\tan\alpha \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{r}{\cos^2\alpha} \,\mathrm{d}{\alpha} ~. \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\alpha}}{\mathrm{d}{\theta}} = (\ddot r - \dot r \tan\alpha) \frac{\cos^2\alpha}{r} = \frac{\ddot r - \dot r\tan\alpha}{r(t + \tan^2\alpha)}~. \end{equation}
注意切线方向的微分是 $ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} $。所以
\begin{equation} \rho = \frac{ \,\mathrm{d}{l} }{ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} } = \frac{ \,\mathrm{d}{l} / \,\mathrm{d}{\theta} }{1 - \,\mathrm{d}{\alpha} / \,\mathrm{d}{\theta} }~. \end{equation}
式 1 式 13 代入,再使用式 10 消去 $\alpha$ 得
\begin{equation} \rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~. \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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