平面曲率和曲率半径(简明微积分)

             

预备知识 切线,极坐标系

  1我们来看一个平面上的一个光滑曲线(即处处存在切线),我们如何描述它某点处的弯曲程度呢?一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段,然后做一个尽量与它吻合的圆,当这小段的长度趋近于 0 时,这个圆可以唯一确定.我们把这个圆叫做密切圆(osculating circle),把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径(radius of curvature),曲率半径的倒数 $1/R$ 叫做曲率(curvature)

   我们先来看一个半径为 $R$ 的圆的一小段圆弧,令其长度为 $\Delta l$.作这段圆弧两端的切线,令它们的夹角为 $\Delta \theta$,那么显然满足 $R \Delta\theta = \Delta l$.同理,对于任意光滑曲线上长度为 $\Delta l$ 的一段,我们也可以做相同的方法定义曲率半径 $R$,但需要令 $\Delta l \to 0$

\begin{equation} R = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta \theta} \end{equation}
曲率的具体的计算公式取决于使用什么方式定义曲线,最常见描述方式就是在直角坐标系中通过函数 $y(x)$ 来定义,点 $(x, y)$ 处的曲率半径为($\dot y, \ddot y$ 分别表示导数和二阶导数)
\begin{equation} R = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y} \end{equation}
如果通过极坐标函数 $r(\theta)$ 定义曲线,则点 $(r, \theta)$ 处的曲率半径为
\begin{equation} R = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r} \end{equation}

1. 直角坐标系的推导

预备知识 高阶导数,一元函数的微分

   平面上曲线的最常见描述方式就是通过定义函数 $y(x)$.我们可以通过导数计算曲线上某点切线关于 $x$ 轴的夹角 $\theta$.

\begin{equation} \dot y = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} = \tan \theta \end{equation}
曲线长度的微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{l} = \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\cos\theta} \end{equation}
其中
\begin{equation} \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \dot y^2}} \end{equation}
为了得到 $ \,\mathrm{d}{\theta} $,我们对式 4 两边做微分得
\begin{equation} \ddot y \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\cos^2\theta} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
所以曲率半径为
\begin{equation} R = \frac{\mathrm{d}{l}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{1}{\ddot y\cos^3\theta} = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y} \end{equation}

2. 极坐标系的推导

   极坐标系中,同样可以用函数 $r(\theta)$ 描述曲线. 令

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{r} }{r \,\mathrm{d}{\theta} } = \tan\alpha \end{equation}
\begin{equation} \dot r = r\tan\alpha \end{equation}
长度微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{l} = \frac{r \,\mathrm{d}{\theta} }{\cos\alpha} \end{equation}
微分
\begin{equation} \ddot r \,\mathrm{d}{\theta} = \dot r\tan\alpha \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{r}{\cos^2\alpha} \,\mathrm{d}{\alpha} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\alpha}}{\mathrm{d}{\theta}} = (\ddot r - \dot r \tan\alpha) \frac{\cos^2\alpha}{r} = \frac{\ddot r - \dot r\tan\alpha}{r(t + \tan^2\alpha)} \end{equation}
注意切线方向的微分是 $ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} $.所以
\begin{equation} R = \frac{ \,\mathrm{d}{l} }{ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} } = \frac{ \,\mathrm{d}{l} / \,\mathrm{d}{\theta} }{1 - \,\mathrm{d}{\alpha} / \,\mathrm{d}{\theta} } \end{equation}
式 1 式 13 代入,再使用式 10 消去 $\alpha$ 得
\begin{equation} R = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r} \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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