平面曲线的曲率和曲率半径(极简微积分)

                     

贡献者: addis; ACertainUser

预备知识 1 切线,极坐标系

  1我们来看一个平面上的一个光滑曲线(即处处存在切线),我们如何描述它某点处的弯曲程度呢?一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段,然后做一个尽量与它吻合的圆,当这小段的长度趋近于 0 时,这个圆可以唯一确定。我们把这个圆叫做密切圆(osculating circle),把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径(radius of curvature) 常记为 ρ,曲率半径的倒数 1/ρ 叫做曲率(curvature)。下面我们来具体定义曲率半径。

图
图 1:密切圆和曲率半径

   我们先来看一个半径为 R 的圆的一小段圆弧,令其长度为 Δl。作这段圆弧两端的切线,令它们的夹角为 Δθ,那么显然满足 RΔθ=Δl

   同理,对于图 1 中光滑曲线上一点,取该点附近长度为 Δl 的一段,在其两端分别作切线,令夹角为 Δθ 并分别作切线的垂直线,那么当 Δl0 时两个切线在切点处的垂直线的交点就是密切圆的圆心。此时密切圆的半径,即曲率半径 ρ 就是

(1)ρ=limΔl0ΔlΔθ .
曲率的具体的计算公式取决于使用什么方式定义曲线,最常见描述方式就是在直角坐标系中通过函数 y(x) 来定义曲线。此时点 (x,y) 处的曲率半径为(y˙,y¨ 分别表示导数和二阶导数)
(2)ρ=(1+y˙2)3/2y¨ .
如果通过极坐标函数 r(θ) 定义曲线,则点 (r,θ) 处的曲率半径为
(3)ρ=(r2+r˙2)3/2r2+2r˙2rr¨ .
推导见下文。

1. 直角坐标系的推导

预备知识 2 高阶导数,一元函数的微分

  

未完成:需要画图
平面上曲线的最常见描述方式就是通过定义函数 y(x)。我们可以通过导数计算曲线上某点切线关于 x 轴的夹角 θ
(4)y˙ΔyΔx=tanθ .
曲线很短时
(5)ΔlΔxcosθ .
其中
(6)cosθ=11+tan2θ=11+y˙2 .
为了得到 Δθ,我们对式 4 两边做微分,近似有
(7)y¨ΔxΔθcos2θ ,
其中 Δθ 就是 Δx 对应的一小段曲线两端切线的夹角。所以由式 1 ,曲率半径为(在取极限后精确成立)
(8)ρ=limΔl0ΔlΔθ=1y¨cos3θ=(1+y˙2)3/2y¨ .

2. 极坐标系的推导

   极坐标系中,同样可以用函数 r(θ) 描述曲线。为了方便,也可以姑且把上面的 Δ 都写成 d 并取等号。令

(9)drrdθ=tanα ,
未完成:需要画图
(10)r˙=rtanα .
长度微分为
(11)dl=rdθcosα .
微分
(12)r¨dθ=r˙tanαdθ+rcos2αdα .
(13)dαdθ=(r¨r˙tanα)cos2αr=r¨r˙tanαr(t+tan2α) .
注意切线方向的微分是 dθdα。所以
(14)ρ=dldθdα=dl/dθ1dα/dθ .
式 1 式 13 代入,再使用式 10 消去 α
(15)ρ=(r2+r˙2)3/2r2+2r˙2rr¨ .


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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