极坐标中的速度和加速度
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若已知某点的极坐标关于时间的函数 $r(t)$ 和 $\theta (t)$，求该点的速度和加速度。
极坐标中的位置矢量可以用 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 表示，注意其中径向单位矢量可以看做复合函数 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} [\theta(t)]$。根据定义，速度是位矢的一阶导数，在力学中经常在变量上面加一点表示对时间的一阶导数，两点表示二阶导数，根据矢量的求导法则
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \dot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
由链式法则和
式 1 ，上式中
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }}{\mathrm{d}{\theta}} \dot \theta = \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~,
\end{equation}
所以极坐标中的速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \dot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~.
\end{equation}
这是符合直觉的，
径向速度等于位矢模长的导数，而
角向速度等于位矢模长乘以角速度。
我们再来计算加速度，用同样的方法对速度求一阶导数得
\begin{equation} \begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{a}} &= \ddot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \dot r \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }}{\mathrm{d}{t}} + \dot r \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\ddot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\dot \theta \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} }}{\mathrm{d}{t}} \\
&= \ddot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \dot r \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \dot r \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\ddot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} - r{\dot \theta }^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \\
&= (\ddot r - r{\dot \theta}^2) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + (2\dot r\dot \theta + r\ddot\theta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}
\end{aligned} ~,\end{equation}
这个结论并不是那么显而易见。我们将加速度的径向和角向分量分别记为 $a_r$ 和 $a_\theta$，其中 $a_\theta$ 还可以记为另一种更紧凑形式即
\begin{equation}
a_\theta = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) ~.
\end{equation}
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