磁矩

                     

贡献者: addis

预备知识 力矩,安培力

   当我们把一个通有电流的线圈放置在磁场中时,这个线圈往往回受到安培力产生的力矩。本文讨论如何计算一些简单的情况,先看一道例题。

例 1 匀强磁场中的长方形线圈

   假设一个粗细可以忽略不计的长方形电流环路被放置在匀强磁场 B 中(图未完成),两条边的边长分别为 a,b,电流为 I。线圈平面的法向量(由右手定则定义)和磁场夹角为 θ,边长为 a 边始终垂直于磁场。求线圈所受力矩。

  

未完成:解:力矩的方向使得线圈的法向磁场的方向转动,大小正比于 sinθ

   为了更好地表示这个结果,定义磁矩(magnetic moment)1

(1)μ=IA .
其中 A 的方向是线圈的法向量,模长等于线圈的面积,我们不妨把它叫做面积矢量。根据矢量叉乘的几何定义,线圈所受力矩为
(2)τ=μ×B .
事实上,可以证明这个结论与线圈的形状无关,线圈甚至可以不在同一个平面上(此时需要重新定义 A),详见 “磁场中闭合电流的力矩”。另外,当我们由多匝线圈时,只需将结果乘以匝数即可。

1. 旋转的电荷

   对于绕轴做圆周运动的点电荷,令角速度为 ω,等效电流为 q/TT=2π/ω 是转动周期,圆周面积 A=πr2,代入式 1

(3)μ=12qωr2 .

例 2 带电粒子经典圆周运动的磁矩

   设一个带电粒子的电荷为 q,并且以匀速 vz 轴上半径为 r 的圆做圆周运动,那么它所产生的电流为:

(4)I=qv2πr .
那么,它的磁矩为:
(5)μ=qv2πrπr2z^=qvr2z^ .
由于其角动量为:
(6)L=mvrz^ .
因此,磁矩与角动量的经典关系为:
(7)μ=q2mL .

2. 带电圆环的磁旋比

   令圆环净电荷为 q,旋转周期为 T,电流为 q/T,面积为 A=πr2,因此磁矩为

(8)μ=qπr2T .
假设圆环的质量为 m,那么由于角动量为 L=Iω圆环转动惯量I=mr2,角速度为 ω=2π/T,因此角动量为
(9)L=2πmr2T ,
显然对于这样的带电圆环体,磁旋比为:
(10)γ=μL=q2m ,
注意到它和 r 或者 T 是无关的。此外,如果考虑更加复杂的球体,我们也可以将其分割为小的圆环,在将所有圆环累加在一起来得到 μ,S 的取值。此外,μS 的方向当电荷为正时是同向的,当电荷为负时是相反的,因此:
(11)μ=q2mL .


1. ^ 也叫磁偶极子,见 “磁多极矩”。


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