磁矩
贡献者: addis
当我们把一个通有电流的线圈放置在磁场中时,这个线圈往往回受到安培力产生的力矩。本文讨论如何计算一些简单的情况,先看一道例题。
例 1 匀强磁场中的长方形线圈
假设一个粗细可以忽略不计的长方形电流环路被放置在匀强磁场 中(图未完成),两条边的边长分别为 ,电流为 。线圈平面的法向量(由右手定则定义)和磁场夹角为 ,边长为 边始终垂直于磁场。求线圈所受力矩。
未完成:解:力矩的方向使得线圈的法向磁场的方向转动,大小正比于 。
为了更好地表示这个结果,定义磁矩(magnetic moment)1为
其中 的方向是线圈的法向量,模长等于线圈的面积,我们不妨把它叫做面积矢量。根据
矢量叉乘的几何定义,线圈所受力矩为
事实上,可以证明这个结论与线圈的形状无关,线圈甚至可以不在同一个平面上(此时需要重新定义 ),详见 “
磁场中闭合电流的力矩”。另外,当我们由多匝线圈时,只需将结果乘以匝数即可。
1. 旋转的电荷
对于绕轴做圆周运动的点电荷,令角速度为 ,等效电流为 , 是转动周期,圆周面积 ,代入式 1 得
例 2 带电粒子经典圆周运动的磁矩
设一个带电粒子的电荷为 ,并且以匀速 绕 轴上半径为 的圆做圆周运动,那么它所产生的电流为:
那么,它的磁矩为:
由于其角动量为:
因此,磁矩与角动量的经典关系为:
2. 带电圆环的磁旋比
令圆环净电荷为 ,旋转周期为 ,电流为 ,面积为 ,因此磁矩为
假设圆环的质量为 ,那么由于角动量为 ,
圆环转动惯量为 ,角速度为 ,因此角动量为
显然对于这样的带电圆环体,磁旋比为:
注意到它和 或者 是无关的。此外,如果考虑更加复杂的球体,我们也可以将其分割为小的圆环,在将所有圆环累加在一起来得到 的取值。此外, 和 的方向当电荷为正时是同向的,当电荷为负时是相反的,因此:
1. ^ 也叫磁偶极子,见 “磁多极矩”。
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