磁矩
贡献者： addis
当我们把一个通有电流的线圈放置在磁场中时，这个线圈往往回受到安培力产生的力矩。本文讨论如何计算一些简单的情况，先看一道例题。
例 1 匀强磁场中的长方形线圈
假设一个粗细可以忽略不计的长方形电流环路被放置在匀强磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中（图未完成），两条边的边长分别为 $a, b$，电流为 $I$。线圈平面的法向量（由右手定则定义）和磁场夹角为 $\theta$，边长为 $a$ 边始终垂直于磁场。求线圈所受力矩。
解：（未完成）力矩的方向使得线圈的法向磁场的方向转动，大小正比于 $\sin\theta$。
为了更好地表示这个结果，定义磁矩（magnetic moment）1为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = I \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向是线圈的法向量，模长等于线圈的面积，我们不妨把它叫做面积矢量。根据矢量叉乘
的几何定义，线圈所受力矩为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
事实上，可以证明这个结论与线圈的形状无关，线圈甚至可以不在同一个平面上（此时需要重新定义 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $），详见 “磁场中闭合电流的力矩
”。另外，当我们由多匝线圈时，只需将结果乘以匝数即可。
1. 旋转的电荷
对于绕轴做圆周运动的点电荷，令角速度为 $\omega$，等效电流为 $q/T$，$T = 2\pi/\omega$ 是转动周期，圆周面积 $A = \pi r^2$，代入式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{1}{2} q\omega r^2~.
\end{equation}
例 2 带电粒子经典圆周运动的磁矩
设一个带电粒子的电荷为 $q$，并且以匀速 $v$ 绕 $z$ 轴上半径为 $r$ 的圆做圆周运动，那么它所产生的电流为：
\begin{equation}
I=\frac{qv}{2\pi r}~.
\end{equation}
那么，它的磁矩为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{qv}{2\pi r}\pi r^2 \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }=\frac{qvr}{2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} } ~.
\end{equation}
由于其角动量为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} =mvr\hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }~.
\end{equation}
因此，磁矩与角动量的经典关系为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} ~.
\end{equation}
2. 磁子的进动
未完成：未完成
若
1. ^ 也叫磁偶极子，见 “磁多极矩”。
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