磁矩

贡献者： addis

预备知识　力矩，安培力

　　当我们把一个通有电流的线圈放置在磁场中时，这个线圈往往回受到安培力产生的力矩。本文讨论如何计算一些简单的情况，先看一道例题。

例 1　匀强磁场中的长方形线圈

　　假设一个粗细可以忽略不计的长方形电流环路被放置在匀强磁场 $B$ 中（图未完成），两条边的边长分别为 $a, b$ ，电流为 $I$ 。线圈平面的法向量（由右手定则定义）和磁场夹角为 $θ$ ，边长为 $a$ 边始终垂直于磁场。求线圈所受力矩。

未完成：解：力矩的方向使得线圈的法向磁场的方向转动，大小正比于

\sin θ

。

　　为了更好地表示这个结果，定义磁矩（magnetic moment）¹为

\begin{matrix} (1) & μ = I A . \end{matrix}

其中

A

的方向是线圈的法向量，模长等于线圈的面积，我们不妨把它叫做面积矢量。根据矢量叉乘的几何定义，线圈所受力矩为

\begin{matrix} (2) & τ = μ \times B . \end{matrix}

事实上，可以证明这个结论与线圈的形状无关，线圈甚至可以不在同一个平面上（此时需要重新定义

A

），详见 “磁场中闭合电流的力矩”。另外，当我们由多匝线圈时，只需将结果乘以匝数即可。

1. 旋转的电荷

　　对于绕轴做圆周运动的点电荷，令角速度为 $ω$ ，等效电流为 $q / T$ ， $T = 2 π / ω$ 是转动周期，圆周面积 $A = π r^{2}$ ，代入式 1 得

\begin{matrix} (3) & μ = \frac{1}{2} q ω r^{2} . \end{matrix}

例 2　带电粒子经典圆周运动的磁矩

　　设一个带电粒子的电荷为 $q$ ，并且以匀速 $v$ 绕 $z$ 轴上半径为 $r$ 的圆做圆周运动，那么它所产生的电流为：

\begin{matrix} (4) & I = \frac{q v}{2 π r} . \end{matrix}

那么，它的磁矩为：

\begin{matrix} (5) & μ = \frac{q v}{2 π r} π r^{2} \hat{z} = \frac{q v r}{2} \hat{z} . \end{matrix}

由于其角动量为：

\begin{matrix} (6) & L = m v r \hat{z} . \end{matrix}

因此，磁矩与角动量的经典关系为：

\begin{matrix} (7) & μ = \frac{q}{2 m} L . \end{matrix}

2. 带电圆环的磁旋比

　　令圆环净电荷为 $q$ ，旋转周期为 $T$ ，电流为 $q / T$ ，面积为 $A = π r^{2}$ ，因此磁矩为

\begin{matrix} (8) & μ = \frac{q π r^{2}}{T} . \end{matrix}

假设圆环的质量为

m

，那么由于角动量为

L = I ω

，圆环转动惯量为

I = m r^{2}

，角速度为

ω = 2 π / T

，因此角动量为

\begin{matrix} (9) & L = \frac{2 π m r^{2}}{T}, \end{matrix}

显然对于这样的带电圆环体，磁旋比为：

\begin{matrix} (10) & γ = \frac{μ}{L} = \frac{q}{2 m}, \end{matrix}

注意到它和

r

或者

T

是无关的。此外，如果考虑更加复杂的球体，我们也可以将其分割为小的圆环，在将所有圆环累加在一起来得到

μ, S

的取值。此外，

μ

和

S

的方向当电荷为正时是同向的，当电荷为负时是相反的，因此：

\begin{matrix} (11) & μ = \frac{q}{2 m} L . \end{matrix}

1. ^ 也叫磁偶极子，见 “磁多极矩”。

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磁矩

例 1 匀强磁场中的长方形线圈

1. 旋转的电荷

例 2 带电粒子经典圆周运动的磁矩

2. 带电圆环的磁旋比

例 1　匀强磁场中的长方形线圈

例 2　带电粒子经典圆周运动的磁矩