磁矩

             

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预备知识 力矩,安培力

   当我们把一个通有电流的线圈放置在磁场中时,这个线圈往往回受到安培力产生的力矩.本词条讨论如何计算一些简单的情况,先看一道例题.

例 1 匀强磁场中的长方形线圈

   假设一个粗细可以忽略不计的长方形电流环路被放置在匀强磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中(图未完成),两条边的边长分别为 $a, b$,电流为 $I$.线圈平面的法向量(由右手定则定义)和磁场夹角为 $\theta$,边长为 $a$ 边始终垂直于磁场.求线圈所受力矩.

   解:(未完成)力矩的方向使得线圈的法向磁场的方向转动,大小正比于 $\sin\theta$.

   为了更好地表示这个结果,定义磁矩(magnetic moment)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = I \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向是线圈的法向量,模长等于线圈的面积,我们不妨把它叫做面积矢量.根据矢量叉乘的几何定义,线圈所受力矩为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
事实上,可以证明这个结论与线圈的形状无关,线圈甚至可以不共面(此时需要重新定义 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $),详见 “磁场中闭合电流的力矩”.另外,当我们由多匝线圈时,只需将结果乘以匝数即可.

1. 旋转的电荷

   对于绕轴做圆周运动的点电荷,令角速度为 $\omega$,等效电流为 $q/T$,$T = 2\pi/\omega$ 是转动周期,圆周面积 $A = \pi r^2$,代入式 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{1}{2} q\omega r^2 \end{equation}

例 2 带电粒子经典圆周运动的磁矩

   设一个带电粒子的电荷为 $q$,并且以匀速 $v$ 绕 $z$ 轴上半径为 $r$ 的圆做圆周运动,那么它所产生的电流为:

\begin{equation} I=\frac{qv}{2\pi r} \end{equation}
那么,它的磁矩为:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{qv}{2\pi r}\pi r^2 \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }=\frac{qvr}{2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} } \end{equation}
由于其角动量为:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} =mvr\hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} } \end{equation}
因此,磁矩与角动量的经典关系为:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} \end{equation}


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