贡献者： addis
当我们把一个通有电流的线圈放置在磁场中时，这个线圈往往回受到安培力产生的力矩。本文讨论如何计算一些简单的情况，先看一道例题。
例 1 匀强磁场中的长方形线圈
假设一个粗细可以忽略不计的长方形电流环路被放置在匀强磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中（图未完成），两条边的边长分别为 $a, b$，电流为 $I$。线圈平面的法向量（由右手定则定义）和磁场夹角为 $\theta$，边长为 $a$ 边始终垂直于磁场。求线圈所受力矩。
未完成：解：力矩的方向使得线圈的法向磁场的方向转动，大小正比于 $\sin\theta$。
为了更好地表示这个结果，定义磁矩（magnetic moment）1为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = I \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向是线圈的法向量，模长等于线圈的面积，我们不妨把它叫做面积矢量。根据
矢量叉乘的几何定义，线圈所受力矩为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
事实上，可以证明这个结论与线圈的形状无关，线圈甚至可以不在同一个平面上（此时需要重新定义 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $），详见 “
磁场中闭合电流的力矩”。另外，当我们由多匝线圈时，只需将结果乘以匝数即可。
1. 旋转的电荷
对于绕轴做圆周运动的点电荷，令角速度为 $\omega$，等效电流为 $q/T$，$T = 2\pi/\omega$ 是转动周期，圆周面积 $A = \pi r^2$，代入式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{1}{2} q\omega r^2~.
\end{equation}
例 2 带电粒子经典圆周运动的磁矩
设一个带电粒子的电荷为 $q$，并且以匀速 $v$ 绕 $z$ 轴上半径为 $r$ 的圆做圆周运动，那么它所产生的电流为：
\begin{equation}
I=\frac{qv}{2\pi r}~.
\end{equation}
那么，它的磁矩为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{qv}{2\pi r}\pi r^2 \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }=\frac{qvr}{2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} } ~.
\end{equation}
由于其角动量为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} =mvr\hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }~.
\end{equation}
因此，磁矩与角动量的经典关系为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} ~.
\end{equation}
2. 带电圆环的磁旋比
令圆环净电荷为 $q$，旋转周期为 $T$，电流为 $q/T$，面积为 $A= \pi r^2$，因此磁矩为
\begin{equation}
\mu=\frac{q\pi r^2}{T}~.
\end{equation}
假设圆环的质量为 $m$，那么由于角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = I \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $，
圆环转动惯量为 $I = mr^2$，角速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = 2\pi/T$，因此角动量为
\begin{equation}
L = \frac{2\pi m r^2}{T}~,
\end{equation}
显然对于这样的带电圆环体，磁旋比为：
\begin{equation}
\gamma = \frac{\mu}{L} = \frac{q}{2m}~,
\end{equation}
注意到它和 $r$ 或者 $T$ 是无关的。此外，如果考虑更加复杂的球体，我们也可以将其分割为小的圆环，在将所有圆环累加在一起来得到 $\mu,S$ 的取值。此外，$ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 的方向当电荷为正时是同向的，当电荷为负时是相反的，因此：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} ~.
\end{equation}
1. ^ 也叫磁偶极子，见 “磁多极矩”。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。